2024-2025學(xué)年上學(xué)期河北高二數(shù)學(xué)期末試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期河北高二數(shù)學(xué)期末一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）數(shù)列-15，17，-A．a(chǎn)n=(-1)n-13n+2 B．C．a(chǎn)n=(-1)n-12n+3 D2．（5分）（2020秋?德城區(qū)校級(jí)期中）直線3x﹣3y﹣5＝0的傾斜角為（）A．π6 B．π3 C．23π D3．（5分）（2023春?西山區(qū)校級(jí)期中）已知向量a→=(-3，2，7)，A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣54．（5分）（2016春?紅河州校級(jí)月考）若A（﹣1，2），B（0，﹣1），且直線AB⊥l，則直線l的斜率為（）A．﹣3 B．3 C．-13 D5．（5分）（2022秋?河北期中）已知A，B均為拋物線C：x2＝2py（p＞0）上的點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，且3AF→=7FBA．±55 B．±259 C．6．（5分）（2021秋?涼山州期末）過雙曲線C：x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)F2作x軸的垂線，與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)P，且滿足|F1A．2-1 B．2+1 C．2 D7．（5分）（2023春?河南月考）在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a3+a4+a5+a6＝25，那么a4＝（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）（2023秋?啟東市校級(jí)月考）已知等腰△ABC底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（4，0），C（0，﹣4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）A．y＝x B．y＝x（x≠2） C．y＝﹣x D．y＝﹣x（x≠2）二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2024春?相山區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f(x)=4lnx-A．曲線y＝f（x）在點(diǎn)x＝1處的切線方程為y=3x-B．函數(shù)f（x）的極小值為4ln2﹣1 C．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2） D．當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為4ln2﹣1，最小值為1（多選）10．（5分）（2022秋?晉中期末）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，a1＞0，公比q＞1，且T2021＜1，T2022＞1，則（）A．a(chǎn)2022＞1 B．當(dāng)n＝2021時(shí)，Tn最小 C．當(dāng)n＝1011時(shí)，Tn最小 D．存在n＜1011，使得anan+1＝an+2（多選）11．（5分）（2023秋?越秀區(qū)期末）已知向量a→A．若m＝1，則|aB．若a→∥b→，則C．“m＞-12”是“a→D．若m＝﹣1，則b→在a→（多選）12．（5分）（2023秋?河南期末）已知雙曲線E：x24-y2=1，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）分別在兩條漸近線上（不與原點(diǎn)O重合），點(diǎn)M是E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OM→=λOA→+μOB→(λ≠μ)A．kOA?kOB為定值 B．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，kOM為定值 C．λμ為定值 D．λμx1x2為定值三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?河北區(qū)期末）將直線x﹣y+c＝0向右平移一個(gè)單位后，被圓x2+y2＝5截得的弦長(zhǎng)為23，則c＝14．（5分）（2022春?西城區(qū)期末）設(shè)函數(shù)f（x）=lnxx，則f′（1）＝15．（5分）（2022秋?建甌市校級(jí)期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1C1D間的距離是．16．（5分）（2023秋?海安市校級(jí)期中）寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝．①2an+1＝an+an+2；②an+1＜an．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣1），且與直線l1：x+y﹣1＝0垂直．（1）求直線l的方程；（2）設(shè)圓C與直線l相切，且圓心為直線l1與直線l2：2x+y＝0的交點(diǎn)，求圓C的方程．18．（12分）（2024?河?xùn)|區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，滿足a1＝b2＝3，1+a2＝2b3，S2+S4＝2（S3+a3）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記cn=an，n=2k-1bn（Ⅲ）證明：k=1n19．（12分）（2023秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為12，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9．（1）求p的值；（2）若斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)．求線段|MN|的長(zhǎng)．20．（12分）（2022?攀枝花模擬）已知函數(shù)f（x）＝（x2﹣m）ex﹣1（m∈R）在（0，f（0））處的切線平行于x軸（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥ax+2alnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．21．（12分）（2024?房山區(qū)一模）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，EF＝2，AB＝4，AD＝2．（Ⅰ）求證：EF∥AB；（Ⅱ）求二面角F﹣BC﹣D的余弦值．22．（12分）（2023秋?濮陽(yáng)期中）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與E交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形BPFQ為平行四邊形，求l的方程．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期河北高二數(shù)學(xué)期末典型卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）數(shù)列-15，17，-A．a(chǎn)n=(-1)n-13n+2 B．C．a(chǎn)n=(-1)n-12n+3 D【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；數(shù)列的函數(shù)特性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】依次將n＝1，n＝2依次選項(xiàng)驗(yàn)證，即可求解．【解答】解：對(duì)于AC，當(dāng)n＝1時(shí)，a1=1對(duì)于B，當(dāng)n＝2時(shí)，a2=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的表示法，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2020秋?德城區(qū)校級(jí)期中）直線3x﹣3y﹣5＝0的傾斜角為（）A．π6 B．π3 C．23π D【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】把直線方程化為斜截式，求出直線的斜率，由斜率公式求出直線的傾斜角．【解答】解：由直線3x﹣3y﹣5＝0得，y=33x∴斜率k=33，∴直線的傾斜角為故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由直線方程求直線傾斜角，以及斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）（2023春?西山區(qū)校級(jí)期中）已知向量a→=(-3，2，7)，A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】向量垂直時(shí)，數(shù)量積等于零，向量數(shù)量積用坐標(biāo)進(jìn)行表示即可．【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→=(-3，2，所以a→?b→=0，即（﹣3）×1+2x+7×（﹣1）＝2x則x＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（2016春?紅河州校級(jí)月考）若A（﹣1，2），B（0，﹣1），且直線AB⊥l，則直線l的斜率為（）A．﹣3 B．3 C．-13 D【考點(diǎn)】直線的斜率．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【答案】D【分析】求出直線AB的斜率，利用直線AB⊥l，求出直線l的斜率．【解答】解：∵A（﹣1，2），B（0，﹣1），∴kAB=2+1-1-0∵直線AB⊥l，∴直線l的斜率為13故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率，考查兩條直線垂直關(guān)系的運(yùn)用，比較基礎(chǔ)．5．（5分）（2022秋?河北期中）已知A，B均為拋物線C：x2＝2py（p＞0）上的點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，且3AF→=7FBA．±55 B．±259 C．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】當(dāng)直線AB的斜率大于0時(shí)，過A，B作準(zhǔn)線的垂線，作BG⊥AD，根據(jù)3AF→=7FB→，設(shè)|AF|＝7x，|BF|＝3x，推出|AG|，|BG|的值，計(jì)算kAB＝tan∠ABG，同理計(jì)算當(dāng)直線AB的斜率小于0【解答】解：當(dāng)直線AB的斜率大于0時(shí)，如圖，過A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為D，E，過B作BG⊥AD，G為垂足，因?yàn)?AF→=7FB→，所以可設(shè)|AF|＝7x，|BF|因?yàn)锳，B均在C上，所以|AD|＝|AF|＝7x，|BF|＝|BE|＝3x，|AG|＝|AD|﹣|BE|＝4x，|AB|＝10x，故|(10x)2-(4x)則kAB＝tan∠ABG=AG當(dāng)直線AB的斜率小于0時(shí)，同理可得kAB=-故直線AB的斜率為±221故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．6．（5分）（2021秋?涼山州期末）過雙曲線C：x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)F2作x軸的垂線，與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)P，且滿足|F1A．2-1 B．2+1 C．2 D【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意求出|PF2|=b2a，再由|F1F2|＝|PF2|，可得b2a=2c，再將【解答】解：由題意得F2（c，0），當(dāng)x＝c時(shí)，c2a2因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以P(c，所以|PF因?yàn)閨F1F2|＝|PF2|，所以b2所以c2﹣a2＝2ac，所以e2﹣2e﹣1＝0，所以e=2±因?yàn)閑＞1，所以e=2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率的求解等知識(shí)，屬于中等題．7．（5分）（2023春?河南月考）在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a3+a4+a5+a6＝25，那么a4＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a3+a4+a5+a6＝5a4＝25，變形可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a3+a4+a5+a6＝25，而a2+a3+a4+a5+a6＝5a4＝25，變形可得a4＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）（2023秋?啟東市校級(jí)月考）已知等腰△ABC底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（4，0），C（0，﹣4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）A．y＝x B．y＝x（x≠2） C．y＝﹣x D．y＝﹣x（x≠2）【考點(diǎn)】軌跡方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)AB＝AC，可得頂點(diǎn)A的軌跡是BC的垂直平分線（除去交點(diǎn)），即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB＝AC，∴頂點(diǎn)A的軌跡是BC的垂直平分線（除去交點(diǎn)），∵B（4，0），C（0，﹣4），∴kBC＝1，BC的中點(diǎn)（2，﹣2），與直線BC垂直的直線的斜率為﹣1，∴頂點(diǎn)A的軌跡方程是y+2＝﹣（x﹣2），即y＝﹣x（x≠2），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2024春?相山區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f(x)=4lnx-A．曲線y＝f（x）在點(diǎn)x＝1處的切線方程為y=3x-B．函數(shù)f（x）的極小值為4ln2﹣1 C．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2） D．當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為4ln2﹣1，最小值為1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意求解判斷即可，對(duì)于BC，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；對(duì)于D，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的最值．【解答】解：由f(x)=4lnx-12對(duì)于A，因?yàn)閒(1)=4ln1-12所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)x＝1處的切線方程為y-12=3(x-1)，即對(duì)于B，由f'(x)=4-x2x=0，得x當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取極大值f（2）＝4ln2﹣1，無極小值，所以B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)BC，可知當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，2）上單調(diào)遞增，在（2，e]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值為f（2）＝4ln2﹣1，因?yàn)閒(1)=1所以f（x）的最小值為f(1)=12，所以故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．（多選）10．（5分）（2022秋?晉中期末）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，a1＞0，公比q＞1，且T2021＜1，T2022＞1，則（）A．a(chǎn)2022＞1 B．當(dāng)n＝2021時(shí)，Tn最小 C．當(dāng)n＝1011時(shí)，Tn最小 D．存在n＜1011，使得anan+1＝an+2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】選項(xiàng)A，利用a1＞0，q＞1，得到an＞0，再利用條件即可得到結(jié)果；選項(xiàng)B和C，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合條件即可判斷出B和C的正誤；選項(xiàng)D，結(jié)合條件，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由于a1＞0，q＞1，所以an=a1qn-1＞0，又a1a2?a2021＜1，a1a2?a對(duì)于B和C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，a1故a1a2?a2021a1a2022＝a2a2021＝?＝a1011a1012，于是a1a2?a2022=(a1011a1012)1011＞1，則a1011a1012＞1，故a1012＞1，故當(dāng)對(duì)于D，因?yàn)閍1＞0，q＞1，所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)n＜1011時(shí)，an＜a1011＜1，故anan+1＜an+1＜an+2，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（5分）（2023秋?越秀區(qū)期末）已知向量a→A．若m＝1，則|aB．若a→∥b→，則C．“m＞-12”是“a→D．若m＝﹣1，則b→在a→【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量的投影向量；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；命題的真假判斷與應(yīng)用；平面向量的概念與平面向量的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】A項(xiàng)，利用向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算；B項(xiàng)，利用向量共線的坐標(biāo)條件求解；C項(xiàng)，由共線反向特例可知；D項(xiàng)，結(jié)合數(shù)量積與單位向量表示投影向量即可．【解答】解：選項(xiàng)A，若m＝1，則a→=(1，則a→則|a故|a→-選項(xiàng)B，a→若a→∥b→，則m﹣2＝0，解得m＝選項(xiàng)C，a→若m＞-12，則a→?b→＜0即“m＞-12”是“a→與選項(xiàng)D，若m＝﹣1，則a→=(-1，則a→則b→在a→上的投影向量的坐標(biāo)(a故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．（多選）12．（5分）（2023秋?河南期末）已知雙曲線E：x24-y2=1，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）分別在兩條漸近線上（不與原點(diǎn)O重合），點(diǎn)M是E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OM→=λOA→+μOB→(λ≠μ)A．kOA?kOB為定值 B．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，kOM為定值 C．λμ為定值 D．λμx1x2為定值【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】求出雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=12x上，點(diǎn)B在漸近線y=-12x上，即可得y1x1=12，y2x2=-12，由此可判斷A；當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x2＝x1，y2＝﹣y1，結(jié)合kOM=y0x0，化簡(jiǎn)，可判斷B；結(jié)合向量OM→=λOA→+μOB→【解答】解：由題意得雙曲線E：x2不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=12x上，點(diǎn)B則y1x1故kOA?k設(shè)M（x0，y0），由OM→=λOA→+μOB→(λ≠μ)，得（x0，y0）＝λ（x1，y1）+即x0當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x2＝x1，y2＝﹣y1，kOM=y把x0=λx1+μ整理得λ2再由y1=12x1，y2=-12x2，得4λμx1x即λμ不為定值，λμx1x2為定值，C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?河北區(qū)期末）將直線x﹣y+c＝0向右平移一個(gè)單位后，被圓x2+y2＝5截得的弦長(zhǎng)為23，則c＝3或﹣1【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】3或﹣1．【分析】由題意得到新直線方程為x﹣y+c﹣1＝0，利用垂徑定理即可求解．【解答】解：將直線x﹣y+c＝0向右平移一個(gè)單位后，得到新直線方程為x﹣y+c﹣1＝0，因?yàn)閳A的方程為x2+y2＝5，則圓心為（0，0），半徑為5，又新直線被圓x2+y2＝5截得的弦長(zhǎng)為23所以圓心（0，0）到x﹣y+c﹣1＝0的距離為|c-1|2解得c＝3或﹣1．故答案為：3或﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．14．（5分）（2022春?西城區(qū)期末）設(shè)函數(shù)f（x）=lnxx，則f′（1）＝1【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用求導(dǎo)法則，先求出f′（x），再求f′（1）．【解答】解：f′（x）=(lnx)'×x-lnx×x'x2=1-lnxx2故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）（2022秋?建甌市校級(jí)期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1C1D間的距離是33【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】33【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所成直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出平面AB1C與平面A1C1D間的距離．【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所成直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），設(shè)平面AB1C的法向量為m→=（x，y，AB1→=（1，0，1），AC→=（1，1，0），DA1→=（0，﹣1，則m→?AB1→=x+z=0m→?AC→=x+y=0設(shè)平面A1C1D的法向量為n→=（a，b，則n→?DA1→=-b+c=0n→?DC1∵m→=n→，平面AB1C與平面A1∴平面AB1C∥平面A1C1D，AD→=（0，1，∴平面AB1C與平面A1C1D間的距離為d=|故答案為：33【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面的距離、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．（5分）（2023秋?海安市校級(jí)期中）寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝﹣n（答案不唯一）．①2an+1＝an+an+2；②an+1＜an．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】﹣n（答案不唯一）．【分析】由題意可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且為遞減數(shù)列，即可得解．【解答】解：因?yàn)?an+1＝an+an+2，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因?yàn)閍n+1＜an，所以數(shù)列數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則可取an＝﹣n．故答案為：﹣n（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣1），且與直線l1：x+y﹣1＝0垂直．（1）求直線l的方程；（2）設(shè)圓C與直線l相切，且圓心為直線l1與直線l2：2x+y＝0的交點(diǎn)，求圓C的方程．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】（1）直線l的方程為x﹣y﹣3＝0；（2）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y﹣2）2＝18．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，以及直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣1），即可求解；（2）求出圓心坐標(biāo)，利用圓C與直線l相切，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）∵直線l與直線l1：x+y﹣1＝0垂直，∴可設(shè)直線l的方程為x﹣y+m＝0，∵直線l過點(diǎn)A（2，﹣1），∴2﹣（﹣1）+m＝0，解得m＝﹣3，∴直線l的方程為x﹣y﹣3＝0；（2）由x+y-1=02x+y=0，可得x＝﹣1，y∴圓心為（﹣1，2）∵圓C與直線l相切，∴半徑r等于圓心到直線l的距離d=|-1-2-3|12∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y﹣2）2＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．18．（12分）（2024?河?xùn)|區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，滿足a1＝b2＝3，1+a2＝2b3，S2+S4＝2（S3+a3）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記cn=an，n=2k-1bn（Ⅲ）證明：k=1n【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）an＝3n，bn＝2n﹣1；（Ⅱ）k=12nckck+1=（5n2【分析】（Ⅰ）通過題目中給出條件先求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再求出{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）寫出k=12n（Ⅲ）驗(yàn)證n＝1時(shí)不等式成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【解答】解：（Ⅰ）由S2+S4＝2（S3+a3），得2S2+a3+a4＝2S2+4a3，即a4＝3a3，所以等比數(shù)列{an}的公比為3，an＝3n，所以a2＝9，由1+a2＝2b3，得b3＝5，所以等差數(shù)列{bn}的公差為2，bn＝2n﹣1；（Ⅱ）由題意，得k=12nckck+1=3×1+1×3+33×3+3×35+…+32n﹣1×（2n﹣1）+（2n﹣1＝1×3+3×33+…+（2n﹣1）×32n﹣1+1×33+3×35+…+（2n﹣1）×32n+1，令Sn＝1×3+3×33+…+（2n﹣1）×32n﹣1，則9Sn＝33+3×35+…+（2n﹣1）×32n+1，則Sn﹣9Sn＝3+2×33+…+2×32n﹣1﹣（2n﹣1）×32n+1＝3+2×27×（1﹣9n﹣1）÷（1﹣9）﹣（2n﹣1）32n+1，化簡(jiǎn)得，Sn＝（n4-532）?32令Tn＝1×33+3×35+…+（2n﹣1）×32n+1，同理得，Tn＝（n4-532）?32所以有，k=12nckck+1=Sn+Tn＝（5n2（Ⅲ）證明：當(dāng)n＝1，不等式左側(cè)=4×3-13×5=1115假設(shè)當(dāng)n＝m﹣1（m≥2，m∈Z）時(shí)，不等式成立，要證n＝m時(shí)，不等式依然成立，只需證，（4m?3m﹣1）÷（2n+1）÷（2n+3）＜3m+1÷（2m+3）﹣3m÷（2m+1），只需證，（4m?3m﹣1）÷（2n+1）÷（2n+3）＜（6m+3﹣2m﹣3）3m÷（2n+1）÷（2n+3）＝4m?3m÷（2n+1）÷（2n+3），顯然該式成立，所以原不等式得證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比、等差、差比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，并對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式進(jìn)行考查，具有一定計(jì)算量，屬中檔題．19．（12分）（2023秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為12，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9．（1）求p的值；（2）若斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)．求線段|MN|的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）6；（2）24．【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合距離公式，即可求解；（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）不妨設(shè)A（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以y2＝2px（p＞0），因?yàn)辄c(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為12，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以AF=9+p解得p＝6；（2）由（1）知拋物線C：y2＝12x，焦點(diǎn)F（3，0），此時(shí)直線l的方程為y＝x﹣3，聯(lián)立y2=12xy=x-3，消去y并整理得x2﹣18x+9此時(shí)Δ＝182﹣4×9＞0，不妨設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由韋達(dá)定理得x1+x2＝18，則|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+p＝18+6＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）（2022?攀枝花模擬）已知函數(shù)f（x）＝（x2﹣m）ex﹣1（m∈R）在（0，f（0））處的切線平行于x軸（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥ax+2alnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維．【答案】（1）函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），遞減區(qū)間是（﹣2，0）．（2）1．【分析】（1）根據(jù)給定的條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出m，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案．（2）由（1）中信息，將不等式等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)g（t）＝alnt﹣t+1，t＞0，再利用導(dǎo)數(shù)探討g（t）≤0恒成立即可推理出答案．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝（x2﹣m）ex﹣1的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f′（x）＝（x2+2x﹣m）ex，依題意，f′（0）＝0，解得m＝0，此時(shí)f（0）＝﹣1，所以函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線為y＝﹣1，符合題意，因此，m＝0，f（x）＝x2ex﹣1，f′（x）＝（x2+2x）ex＝x（x+2）ex，當(dāng)x＜﹣2或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，0）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），遞減區(qū)間是（﹣2，0）．（2）由（1）知，f（x）＝x2ex﹣1，不等式f（x）≥ax+2alnx?a（x+2lnx）≤x2ex﹣1?aln（x2ex）≤x2ex﹣1，因此，?x＞0，不等式f（x）≥ax+2alnx成立，等價(jià)于?x＞0，不等式aln（x2ex）≤x2ex﹣1成立，令t＝x2ex，x＞0，由（1）知函數(shù)t＝x2ex在（0，+∞）上單調(diào)遞增，?x＞0，t＞0恒成立，于是得?t＞0，不等式aln≤t﹣1成立，即alnt﹣t+1≤0對(duì)?t＞0恒成立，令g（t）＝alnt﹣t+1，t＞0，求導(dǎo)得g′（t）=at當(dāng)a≤0時(shí)，g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，而g（1）＝0，所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）＞0，不符合題，當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)0＜t＜a時(shí)，g′（t）＞0，當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＜0，則g（t）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝a時(shí)，g（t）max＝g（a）＝alna﹣a+1，從而有alna﹣a+1≤0，令h（x）＝xlnx﹣x+1，x＞0，則h′（x）＝lnx，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，即h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則?x＞0，h（x）≥h（1）＝0，從而有alna﹣a+1≥0，所以，alna﹣a+1＝0，則a＝1，所以實(shí)數(shù)a的值是1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的恒成立問題，解題關(guān)鍵是將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．21．（12分）（2024?房山區(qū)一模）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，EF＝2，AB＝4，AD＝2．（Ⅰ）求證：EF∥AB；（Ⅱ）求二面角F﹣BC﹣D的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行．【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；向量法；綜合法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）27【分析】（Ⅰ）由AB∥DC，證明AB∥平面CDEF，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理，即可證明EF∥AB；（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連接EO，得出EO⊥平面ABCD，過點(diǎn)O作OM∥AB，交BC于點(diǎn)M，得出OM⊥AD，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出平面的法向量，可以法向量求二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：矩形ABCD中，AB∥DC，AB?平面CDEF，DC?平面CDEF，所以AB∥平面CDEF，又因?yàn)锳B?平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以EF∥AB；（Ⅱ）解：取AD的中點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)椤鰽DE為正三角形，所以EO⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，且平面ADE∩平面ABCD＝AD，EO?平面ADE，所以EO⊥平面ABCD，過點(diǎn)O作OM∥AB，交BC于點(diǎn)M，則OM⊥AD，分別以O(shè)A、OM、OE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示：因?yàn)镋F＝2，AB＝4，AD＝2，所以O(shè)（0，0，0），B（1，4，0），C（﹣1，4，0），F(xiàn)（0，2，3），則BC→=（﹣2，0，0），CF→=（1，﹣設(shè)平面BCF的法向量為m→=（x，y，z），則m→?BC→=0m→?CF→=0，即-2x=0x-2y+3z=0，解得x＝又平面BCD的一個(gè)法向量為n→=（0，0，1），所以cos＜m由圖可知，二面角F﹣BC﹣D是銳角，所以二面角的余弦值為27【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了二面角的大小計(jì)算問題，是中檔題．22．（12分）（2023秋?濮陽(yáng)期中）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與E交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形BPFQ為平行四邊形，求l的方程．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）x﹣2y+3＝0．【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及a，b，c之間的關(guān)系，列出等式即可求解；（2）設(shè)出直線l的方程，將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算再進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓E的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，且B，F(xiàn)在直線x﹣y+2＝0上，令x＝0，解得y＝2，令y＝0，得到x＝﹣2，所以B（0，2），F(xiàn)（﹣2，0），即b＝2，c＝2，又a=2則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）因?yàn)樗倪呅蜝PFQ為平行四邊形，所以直線經(jīng)過BF中點(diǎn)（﹣1，1），易知直線l的斜率存在，不妨設(shè)直線l的方程為y＝k（x+1）+1，P（x1，y1）Q（x2，y2），聯(lián)立y=k(x+1)+1x28+y24=1，消去y并整理得（1+2k2）x2+（4k2+4k）x+2k由韋達(dá)定理得x1+x易知BP→=(x因?yàn)樗倪呅蜝PFQ為平行四邊形，所以BP→即﹣y2x1+（2+x2）（y1﹣2）＝0，①因?yàn)镻，Q在直線l上，所以y1＝k（x1+1）+1，y2＝k（x2+1）+1，②聯(lián)立①②，可得（k﹣1）（x1+x2）+2k﹣2＝0，即（k﹣1）（x1+x2+2）＝0，又x1所以(k-即(k-解得k=12或k＝因?yàn)閗FB＝1，所以k＝1不符合題意，則直線l的方程為y=1即x﹣2y+3＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．?dāng)?shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)列及其有關(guān)概念，（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，又稱為首項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，..簡(jiǎn)記作{an}，此處的n是序號(hào)．3．?dāng)?shù)列的分類：按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分為兩類，有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；按項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類，可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列；4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，則稱這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．幾個(gè)認(rèn)識(shí)：（1）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求同數(shù)列的項(xiàng)，這與已知函數(shù)的解析式，求某一自變量的函數(shù)值是一致的．（2）有些數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，如2的近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，…時(shí)，所構(gòu)成的數(shù)列，1，1.4，1.41，1.414，…，此數(shù)列就沒有通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（前幾項(xiàng)）（n≥2，n∈N*）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．3．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn﹣1；前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-qn3、用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）對(duì)于等差數(shù)列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），當(dāng)d≠0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，an）是位于直線上的若干個(gè)點(diǎn)．當(dāng)d＞0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d＝0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；d＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù)．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．當(dāng)p＝0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)p≠0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題．（2）對(duì)于等比數(shù)列：an＝a1qn﹣1．可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解．當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．當(dāng)q＝1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列．當(dāng)q＜0時(shí)，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：數(shù)列{an}滿足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n+k∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故選：B．典例2：設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{Sn}也為等差數(shù)列，則SA．310B．212C．180D．121解：∵等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），設(shè)公差為d，則an＝1+（n﹣1）d，其前n項(xiàng)和為Sn=n[1+1+(n-1)d]∴SnS1=1，S2∵數(shù)列{Sn}∴2S∴22+d=1解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn+10由于{(1∴Sn+10an2≤故選：D．4．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．5．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，公差d，那么第n項(xiàng)為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項(xiàng)為am，則第n項(xiàng)為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點(diǎn)撥】eg1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是不是等差數(shù)列解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12+1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差數(shù)列考察了對(duì)概念的理解，除掉第一項(xiàng)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項(xiàng)放進(jìn)去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當(dāng)中常用到的方式，大家可以熟記一下．eg2：已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a﹣1，2a+1，a+7則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為解：∵等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．這個(gè)題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，即等差中項(xiàng)的特點(diǎn)，通過這個(gè)性質(zhì)然后解方程一樣求出首項(xiàng)和公差即可．【命題方向】求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一種很常見的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項(xiàng)的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握的知識(shí)點(diǎn)．6．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．7．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．8．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26，解得a1＝∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n-1)2×2=n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n點(diǎn)評(píng)：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．9．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2s1;;n=1（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f(1)（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=a（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．10．?dāng)?shù)列與不等式的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項(xiàng)放縮后求和；（3）先將通項(xiàng)放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明．常用的放縮方法有：2n-12n＜2n2n+1，1n3＜1n-1n+1=1n2＜1n2-11n2（n+1-n）=2n+11n+1【解題方法點(diǎn)撥】證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材．這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2+1＞|a|；（2）將分子或分母放大（或縮?。唬?）利用基本不等式；n(n+1)＜（4）二項(xiàng)式放縮；（5）利用常用結(jié)論；（6）利用函數(shù)單調(diào)性．（7）常見模型：①等差模型；②等比模型；③錯(cuò)位相減模型；④裂項(xiàng)相消模型；⑤二項(xiàng)式定理模型；⑥基本不等式模型．【命題方向】題型一：等比模型典例1：對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足a1-12（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：對(duì)于n≥2，2a解答：（Ⅰ）由a1-12當(dāng)n≥2時(shí)，得a1-12①﹣②得an∴an又a1-121+1=2綜上得an（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，2a∴2a∴當(dāng)n≥2時(shí)，2a題型二：裂項(xiàng)相消模型典例2：數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N*，總有an，Sn，an（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=1an2，數(shù)列{bn}的前n分析：（1）根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）進(jìn)而可判斷出數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．（2）由（1）知bn=1n2解答：（1）由已知：對(duì)于n∈N*，總有2Sn＝an+an∴2Sn-1=an-1+①﹣②得2an＝an+an2-an﹣1-an-12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（a∵an，an﹣1均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列又n＝1時(shí)，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈（2）解：由（1）可知bn=∴T（1）放縮的方向要一致．（2）放與縮要適度．（3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）．（4）用放縮法證明極其簡(jiǎn)單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象．所以對(duì)放縮法，只需要了解，不宜深入．11．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1＜0q12．導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠⑧[lnx]′=12、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g(x)]′=3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點(diǎn)撥】1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數(shù)；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，(lnx-2x對(duì)于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，(sinxx)'=故選C．13．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，∴對(duì)任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f'(x)+m（Ⅲ）求證：ln22解：（Ⅰ）f'(x)=a(1-x)當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(x)=x∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對(duì)于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)（Ⅲ）令a＝﹣1此時(shí)f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴l(xiāng)n214．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小；（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無極值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．（3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．15．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）=1x在（0，（2）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．16．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時(shí)備受青睞．我們?cè)诮獯疬@類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．17．平面向量的概念與平面向量的?！局R(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長(zhǎng)度為模，表示為|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長(zhǎng)度（或稱模），記作|AB零向量長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長(zhǎng)度為0單位向量長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．18．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c