上海市虹口區(qū)2024-2025學年高三上學期期終學生學習能力診斷測試（一模）數(shù)學試卷（含答案）

虹口區(qū)2024學年度第一學期期終學生學習能力診斷測試高三數(shù)學試卷2024.12考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本考試分設試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上的相應位置，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1．已知集合，，則．2．函數(shù)的定義域是________．3．若，則______．4．在的二項展開式中，項的系數(shù)為______．5．設且，則函數(shù)的圖像恒過的定點坐標為________．6．若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側面積為_______．(結果保留)7．已知非零復數(shù)滿足，，則的虛部為______．8．已知則的解集是______．第9題圖9．如圖，已知正三角形和正方形的邊長均為，且二面角的大小為，則_______．第9題圖10．雙曲線的左、右焦點分別為和，若以點為焦點的拋物線與在第一象限交于點，且，則的離心率為______．11．2024年10月30日“神舟十九號”載人飛船發(fā)射成功，標志著中國空間站建設進入新階段．在飛船豎直升空過程中，某位記者用照相機在同一位置以同一姿勢連續(xù)拍照兩次．已知“神舟十九號”飛船船體實際長度為，且在照片上飛船船體長度為，比較兩張照片，相對于照片中的同一固定參照物飛船上升了．假設該記者連按拍照鍵間的反應時間為，并忽略相機曝光時長，若用平均速度估算瞬時速度，則拍照時飛船的瞬時速度為________．（用含有、、、的式子表示）12．已知項數(shù)為的數(shù)列中任一項均為集合中的元素，且相鄰兩項滿足，.若中任意兩項都不相等，則滿足條件的數(shù)列有_______個．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑.13．已知，則“”是“”的（）條件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．已知事件和事件滿足，則下列說法正確的是（）．A．事件和事件獨立B．事件和事件互斥C．事件和事件對立D．事件和事件互斥15．已知邊長為的正四面體的內(nèi)切球（球面與四面體四個面都相切的球）的球心為，若空間中的動點滿足，、、，則點的軌跡所形成的幾何體的體積為（）．A．B．C．D．16．設數(shù)列的前四項分別為、、、，對于以下兩個命題，說法正確的是（）．①存在等比數(shù)列以及銳角，使成立．②對任意等差數(shù)列以及銳角，均不能使成立．A．①是真命題，②是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①是假命題，②是假命題三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應位置寫出必要步驟.17．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)設．(1)當函數(shù)的最小正周期為時，求在上的最大值；(2)若，且在中，角、、所對的邊長為、、，銳角滿足，，求的最小值．18．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)如圖，已知在四棱柱中，平面，、分別是、的中點．(1)求證：∥平面；第18題圖(2)若底面為梯形，∥，，，異面直線與所成角為．求直線與平面所成角的正弦值．第18題圖19．(本題滿分14分，第1小題4分，第2小題4分，第2小題6分)2024年法國奧運會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿意度，隨機調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為、、、、共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．第19題圖1第19題圖2(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數(shù)；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差．20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，右頂點為，上頂點為，設為上的一點．(1)當時，求的值；(2)若點坐標為，則在上是否存在點使的面積為，若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)已知點坐標為，過點和點的直線與橢圓交于另一點，當直線與軸和軸均不平行時，有，求實數(shù)的取值范圍．21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)設，.若函數(shù)滿足恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)設，若函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；(3)設函數(shù)的定義域為，且對任意以及，都有．若當時，恒有．求證：函數(shù)對任意實數(shù)均具有性質(zhì)．參考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.13122 13.C 14.B 15.A 16.A17.（1）因為函數(shù)的最小正周期為，所以． 2分故． 4分由于，所以，故當，即時，取到最大值． 6分（2）當，所以．故當時，，即，由于為銳角，解得． 8分因為，可得． 10分所以． 12分等號當且僅當時成立，此時的最小值為． 14分18.（1）連接交于點，連接．由于是四棱柱且平面，故四邊形為矩形，所以點為的中點，即與平行，且． 2分由于與平行，且，故與平行且相等，故四邊形為平行四邊形，所以與平行． 4分因為不在平面上，在平面上， 6分所以平面．（2）由于異面直線與所成角為且與平行，為與所成角（或其補角），所以，即． 8分以點為原點，分別以、、為、、軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，． 10分設為平面的一個法向量，則，取，可得． 12分設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為． 14分19.（1）， 2分所以第35百分位數(shù)為第7位和第8位數(shù)的平均數(shù)，故為68． 4分（2）這20名觀眾有2名的評分大于等于90分，18名的評分小于90分． 6分所以至少有1人的評分大于等于90分的概率為． 8分（3）由于分層抽樣，故可得上的頻率為，上的頻率為．故評分位于上的頻數(shù)為，位于上的頻數(shù)為． 10分所以設這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，每個評分設為，；位于上的均值為73，方差為134.6，位于上的均值為與方差，每個評分設為，．所以，解得． 12分，即，解得． 14分所以位于上的均值為，方差為．20.（1）當時，． 2分故． 4分（2）若存在這樣的點，由題可知，點到直線的距離． 6分故點為與直線相距且與直線平行的直線與橢圓的交點．直線，設，則，解得或者． 8分當時，，解得或；當時，，方程組無解，所以存在這樣的點，且坐標為或． 10分（3）由題可知，直線的斜率必存在且不為零，設．則，化簡得（*），設，，故． 12分因為，由于，可得． 14分取線段的中點，有．所以點的坐標為，故，化簡得，有． 16分由于方程（*）有兩個不同的解，故，代入化簡得，故． 18分21.（1）記顯然是偶函數(shù).當時，，故， 2分所以對恒成立，具有性質(zhì). 4分（2）,當時，嚴格增；當時，嚴格減. 6分函數(shù)具有性質(zhì)，故對恒成立.若，則，函數(shù)在上嚴格增，恒成立，此時函數(shù)具有性質(zhì).若，則函數(shù)在上嚴格減，，故函數(shù)不具有性質(zhì). 8分 若，則函數(shù)在上嚴格增，“對恒成立”等價于“對恒成立”.而在上嚴格減，在上嚴