新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)49球的表面積和體積北師大版必修第二冊(cè)

課時(shí)作業(yè)49球的表面積和體積[練基礎(chǔ)]1．若一個(gè)圓錐的底面半徑和一個(gè)半球的半徑相等，體積也相等，則它們的高度之比為()A．2:1B．2:3C．2:πD．2:52．一平面截一球得到直徑為2eq\r(5)cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是2cm，則該球的體積是()A．12πcm3B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3D．108πcm33．已知一長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，長(zhǎng)方體的全部頂點(diǎn)都在同一球面上．若球的體積為eq\f(32,3)π，則該長(zhǎng)方體的體積為()A.eq\r(2)B.eq\r(14)C.eq\f(\r(78),3)D．144．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是()A．16πB．20πC．24πD．32π5．圓柱形玻璃容器內(nèi)盛有高度為12cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是_______cm.6．如圖，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的體積．(其中∠BAC＝30°)[提實(shí)力]7．[多選題]如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為2πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:28．已知三棱錐P-ABC的全部棱長(zhǎng)都相等且長(zhǎng)度為1，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為________．9．求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比．[戰(zhàn)疑難]10．一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972π的球，在圓錐里又有一個(gè)內(nèi)切球．求：(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐內(nèi)切球的體積．課時(shí)作業(yè)49球的表面積和體積1．解析：設(shè)半球的半徑為r，圓錐的高為h，則eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)，所以h＝2r，故選A.答案：A2．解析：設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示，在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r(5)cm，OO1＝2cm，∴球的半徑R＝OA＝eq\r(22＋\r(5)2)＝3(cm)，∴球的體積V＝eq\f(4,3)×π×33＝36π(cm3)．答案：B3．解析：設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，解得R＝2.因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為4.設(shè)長(zhǎng)方體的高為x，則eq\r(12＋12＋x2)＝4，解得x＝eq\r(14)，所以該長(zhǎng)方體的體積為1×1×eq\r(14)＝eq\r(14).故選B.答案：B4．解析：設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a，則S底＝a2，∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a＝2.又正四棱柱內(nèi)接于球，設(shè)球半徑為R，則(2R)2＝22＋22＋42＝24，∴R＝eq\r(6)，∴球的表面積為4πR2＝24π.故選C.答案：C5．解析：設(shè)球半徑為rcm，則由3V球＋V水＝V圓柱可得3×eq\f(4,3)πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半徑是6cm.答案：66．解析：過C作CO1⊥AB于O1，在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R.AO1＝AC·sin60°＝eq\f(3,2)R，BO1＝AB－AO1＝eq\f(R,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3.V圓錐AO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2·eq\f(3,2)R＝eq\f(3,8)πR3，V圓錐BO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2·eq\f(1,2)R＝eq\f(1,8)πR3，V幾何體＝V球－V圓錐AO1－V圓錐BO1＝eq\f(4,3)πR3－eq\f(3,8)πR3－eq\f(1,8)πR3＝eq\f(5,6)πR3.7．解析：依題意得球的半徑為R，則圓柱的側(cè)面積為2πR×2R＝4πR2，∴A錯(cuò)誤；圓錐的側(cè)面積為πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，∴B錯(cuò)誤；球面面積為4πR2，∵圓柱的側(cè)面積為4πR2，∴C正確；∵V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圓柱V圓錐V球＝2πR3eq\f(2,3)πR3eq\f(4,3)πR3＝312，∴D正確．故選CD.答案：CD8．解析：因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1的正四面體的底面積S＝eq\f(\r(3),4)，高h(yuǎn)＝eq\f(\r(6),3)，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(2),12).設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則球心到各個(gè)底面的距離都為r，且球心與各個(gè)底面構(gòu)成的三棱錐的體積都是V′＝eq\f(1,3)Sr，所以V＝4V′，即eq\f(\r(2),12)＝4×eq\f(1,3)Sr，從而r＝eq\f(\r(6),12).故內(nèi)切球的表面積為4πr2＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)9.解析：如圖，等邊△SAB為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圓O1.設(shè)球的半徑O1O＝R，則它的外切圓柱的高為2R，底面半徑為R，由tan∠OBO1＝eq\f(OO1,OB)得：OB＝eq\f(R,tan30°)＝eq\r(3)R.∴SO＝OB×tan60°＝eq\r(3)R·eq\r(3)＝3R∴V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，V錐＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)R)2·3R＝3πR3，∴V球V柱V錐＝469.10．解析：(1)如圖所示，作出軸截面，則等腰三角形SAB內(nèi)接于圓O，而圓O1內(nèi)切于△SAB.設(shè)圓O的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝972π，∴R＝9，∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.連接AE，又SE是圓O的直徑，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12eq\r(2).∵AB⊥SD，D為AB中點(diǎn)，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq\r(2).∴S圓錐側(cè)＝π×AD×SA＝π×4eq\r(2)×12eq\r(2)＝96π.(2)設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，即