二項(xiàng)式定理簡介

二項(xiàng)式定理簡介binomialtheorem二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。此定理指出：其中，二項(xiàng)式系數(shù)指...等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為其i項(xiàng)系數(shù)可表示為:...，即n取i的組合數(shù)目。因此系數(shù)亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal'sTriangle)二項(xiàng)式定理(BinomialTheorem)是指(a+b)n在n為正整數(shù)時(shí)的展開式。(a+b)n的系數(shù)表為：1n=011n=1121n=21331n=314641n=415101051n=51615201561n=6…………（左右兩端為1，其他數(shù)字等于正上方的兩個(gè)數(shù)字之和）發(fā)現(xiàn)歷程在我國被稱為「賈憲三角」或「楊輝三角」，一般認(rèn)為是北宋數(shù)學(xué)家賈憲所首創(chuàng)。它記載于楊輝的《詳解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西的著作《算術(shù)之鑰》(1427)中也給出了一個(gè)二項(xiàng)式定理系數(shù)表，他所用的計(jì)算方法與賈憲的完全相同。在歐洲，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他1527年出版的算術(shù)書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為「帕斯卡三角形」，因?yàn)榕了箍ㄔ?654年也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)果。無論如何，二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)，在我國比在歐洲至少要早300年。1665年，牛頓把二項(xiàng)式定理推廣到n為分?jǐn)?shù)與負(fù)數(shù)的情形，給出了的展開式。應(yīng)用二項(xiàng)式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應(yīng)用。1．熟練掌握二項(xiàng)式定理和通項(xiàng)公式，掌握楊輝三角的結(jié)構(gòu)規(guī)律二項(xiàng)式定理:叫二項(xiàng)式系數(shù)（0≤r≤n）.通項(xiàng)用Tr+1表示，為展開式的第r+1項(xiàng)，且,注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.2．掌握二項(xiàng)式系數(shù)的兩條性質(zhì)和幾個(gè)常用的組合恒等式.①對稱性：②增減性和最大值：先增后減n為奇數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為：Tn/2＋1n為偶數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，為：T(n+1)/2＋13．二項(xiàng)式從左到右使用為展開；從右到左使用為化簡，從而可用來求和或證明.掌握“賦值法”這種利用恒等式解決問題的思想.證明：n個(gè)（a+b）相乘，是從（a+b）中取一個(gè)字母a或b的積。所以（a+b）^n的展開式中每一項(xiàng)都是)a^k*b^(n-k)的形式。對于每一個(gè)a^k*b^(n-k)，是由k個(gè)(a+b)選了a,（a的系數(shù)為n個(gè)中取k個(gè)的組合數(shù)（就是那個(gè)C右上角一個(gè)數(shù)，右下角一個(gè)數(shù)））。（n-k）個(gè)(a+b)選了b得到的（b的系數(shù)同理）。由此得到二項(xiàng)式定理。二項(xiàng)式系數(shù)之和:2的n次方而且展開式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2的(n-1)次方二項(xiàng)式定理的推廣：二項(xiàng)式定理推廣到指數(shù)為非自然數(shù)的情況：形式為推廣公式注意：|x|<1(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n二項(xiàng)式的遞推二項(xiàng)式展開后各項(xiàng)的系數(shù)依次為：，，…，.其中，第1個(gè)數(shù)=1，從第2個(gè)數(shù)開始，后面的每一個(gè)數(shù)都可以用前面的那個(gè)數(shù)表示為這就是二項(xiàng)式展開“系數(shù)遞推”的依據(jù).二項(xiàng)式系數(shù)遞推實(shí)際上是組合數(shù)由到的遞推.加法定理來自二項(xiàng)式性質(zhì)將楊輝三角形中的每一個(gè)數(shù)，都用組合符號(hào)表示出來，則得圖右的三角形.自然，“肩挑兩數(shù)”的性質(zhì)可寫成組合的加法式.如這里，（1）相加兩數(shù)和是“下標(biāo)相等，上標(biāo)差1”的兩數(shù)；（2）其和是“下標(biāo)增1，上標(biāo)選大”的組合數(shù).一般地，楊輝三角形中第n+1行任意一數(shù)，“肩挑兩數(shù)”的結(jié)果為組合的加法定理：有了組合的加法定理，二項(xiàng)式(a+b)展開式的證明就變得非常簡便了.數(shù)形趣遇算式到算圖二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué).求二項(xiàng)式展開式系數(shù)的問題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問題.用系數(shù)通項(xiàng)公式來計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計(jì)算，稱作“圖算”.【圖算】常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生在展開后的第5、6兩項(xiàng).用“錯(cuò)位加法”很容易“加出”楊輝三角形第8行的第5個(gè)數(shù).簡圖如下：1464115101051……1520156…1……353521………7056…圖上得到=70，==56.故求得展開式中常數(shù)項(xiàng)為70–2×56=–42【點(diǎn)評】“式算”與“圖算”趣遇，各揚(yáng)所長，各補(bǔ)所短.<,/o:p>楊輝三角形本來就是二項(xiàng)式展開式的算圖.對楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：1，6，15，20，15，6，1那么他可以心算不動(dòng)筆，對本題做到一望而答.楊輝三角形在3年內(nèi)考了5個(gè)（相關(guān)的）題目，這正是高考改革強(qiáng)調(diào)“多想少算”、“邏輯思維與直覺思維并重”的結(jié)果.這5個(gè)考題都與二項(xiàng)式展開式的系數(shù)相關(guān)，說明數(shù)形結(jié)合思想正在高考命題中進(jìn)行深層次地滲透.利用二項(xiàng)式推出牛頓切線法開方開立方公式：設(shè)A=X^3,求X.稱為開立方。開立方有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的公式：X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3(n，n+1是下角標(biāo)）例如，A=5，,即求5介于1的3次方;至2的3次方;之間（1的3次方=1，2的3次方=8）初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們?nèi)0=1.9按照公式：第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數(shù)值,，即1.7。第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數(shù)，比前面多取一位數(shù)。第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099這種方法可以自動(dòng)調(diào)節(jié)，第一步與第三步取值偏大，但是計(jì)算出來以后輸出值會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)?。坏诙?，第四步輸入值偏小，輸出值自動(dòng)轉(zhuǎn)大。即5=1.7099^3;當(dāng)然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一個(gè),都是X1=1.7>。當(dāng)然，我們在實(shí)際中初始值最好采用中間值，即1.5。1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。如果用這個(gè)公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即X(n+1)=Xn+(A/Xn?Xn)1/2.例如，A=5：5介于2的平方至3的平方;之間。我們?nèi)〕跏贾?.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取中間值2.5。第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數(shù)2.2。第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位數(shù)。第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2