《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第一課時(shí))》教學(xué)設(shè)計(jì)

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)一．教材及學(xué)情分析：本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》（人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著）選修1－1第二章第一節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》第一課時(shí)．在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題和實(shí)際問題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．在必修2中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個(gè)基本的幾何圖形．在選修1中，教材利用三種圓錐曲線進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題．由于教材以橢圓為重點(diǎn)交代求方程、利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法,在雙曲線、拋物線的教學(xué)中應(yīng)用和鞏固，因此“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”起到了承上啟下的重要作用．本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等．因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價(jià)值．根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫板的動(dòng)態(tài)作圖優(yōu)勢(shì)為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持．二．教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)與技能目標(biāo)：①理解橢圓的定義②掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡(jiǎn)橢圓方程的過程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力2．過程與方法目標(biāo)：①經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程，學(xué)習(xí)從具體實(shí)例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的歸納概括能力②學(xué)會(huì)用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程——解析法③對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的意識(shí)3．情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：①充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進(jìn)形成研究氛圍和合作意識(shí)②重視知識(shí)的形成過程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過學(xué)習(xí)新知識(shí)體會(huì)到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣③通過對(duì)橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)④通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡(jiǎn),增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美⑤利用橢圓知識(shí)解決實(shí)際問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識(shí)的力量，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心三．重、難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、坐標(biāo)化的基本思想難點(diǎn)：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。（2）橢圓定義中常數(shù)加以限制的原因。關(guān)鍵：含有兩個(gè)根式的等式化簡(jiǎn)四．教法新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過程．本節(jié)課采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，按照“創(chuàng)設(shè)情境——學(xué)生活動(dòng)——意義建構(gòu)——數(shù)學(xué)理論——數(shù)學(xué)應(yīng)用——回顧反思——鞏固提高”的程序設(shè)計(jì)教學(xué)過程，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人．五．學(xué)法遵循以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，發(fā)展為主旨的現(xiàn)代教育原則。采用了以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題；以學(xué)生主動(dòng)探索、積極參與、共同交流與協(xié)作為主體，于問題的分析和解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)和發(fā)展。六．教學(xué)準(zhǔn)備一個(gè)PowerPoint課件，一個(gè)幾何畫板課件，畫橢圓工具（兩顆圖釘、一根細(xì)繩，一張白紙）。七.課型新授課八．教學(xué)程序教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）創(chuàng)設(shè)情境認(rèn)識(shí)橢圓由太陽系各大行星運(yùn)行系統(tǒng)動(dòng)畫影片切入，逐漸構(gòu)納出地球的運(yùn)行軌跡，初步給出橢圓的表面映象認(rèn)識(shí)。此時(shí)充分借助多媒體強(qiáng)大播放功能形象生動(dòng)地演示各行星的運(yùn)行軌跡，再重點(diǎn)突出地球的運(yùn)行軌跡。這樣有助于吸引學(xué)生的注意力。然后再借助圖片展示木衛(wèi)星的橢圓形光環(huán)，茶杯杯口的橢圓形立體視覺效果圖，進(jìn)一步加深對(duì)橢圓的表面映象認(rèn)識(shí)。讓學(xué)生對(duì)橢圓有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，藉此產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣及學(xué)習(xí)橢圓的必要性。（二）意義建構(gòu)橢

圓

的

定

義實(shí)際生活中這樣的圖形很多，如何用現(xiàn)有的工具畫出圖形誰能畫出最漂亮、最完美的的一個(gè)橢圓呢教師與學(xué)生一起找出上述問題的解決方案，并一同用給的工具畫出圖形，與上述圖形相似——橢圓。學(xué)生分組試驗(yàn):(1)取一條細(xì)繩；(2)把細(xì)繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點(diǎn)、；(3)用鉛筆尖（）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)觀察畫出的圖形是什么（教師巡視指導(dǎo)，展示學(xué)生成果）問：哪些量是固定的、不變的哪些量是變化的[學(xué)生討論、作答]問：橢圓如何定義[學(xué)生討論、作答]形成概念：到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。問：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴(yán)密、經(jīng)得起推敲．那么，這個(gè)常數(shù)可以是任意正實(shí)數(shù)嗎有什么限制條件嗎引導(dǎo)學(xué)生回答：點(diǎn)的距離小于繩子的長(zhǎng)即，從而意識(shí)到在“定義”中需要加上“常數(shù)>”的限制．深化問題：若常數(shù)=或常數(shù)<,情況會(huì)發(fā)生什么變化（學(xué)生繼續(xù)分組討論，請(qǐng)出代表說討論的結(jié)果）引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點(diǎn)之間線段最短”為理論依據(jù)。設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一來是為了給學(xué)生一個(gè)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；二是通過實(shí)踐思考，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備

注重概念形成過程，通過讓學(xué)生親自動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力。通過學(xué)生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學(xué)生全程參與概念的探究過程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力.

進(jìn)一步強(qiáng)化橢圓定義，真正使學(xué)生理解定義的內(nèi)涵和外延。(三)

數(shù)

學(xué)

理

論

橢圓定義的完善完善定義：到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)。間的距離稱為焦距。當(dāng)常數(shù)=時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)

的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)<時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡不存在．加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)

橢

圓

的

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程(1)回顧用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、寫出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何限制條件、代坐標(biāo)化、化簡(jiǎn)、證明等價(jià)性。簡(jiǎn)記：建設(shè)限代化（2)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①建系設(shè)點(diǎn)：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡(jiǎn)潔——利用橢圓的對(duì)稱性特征方案1以兩定點(diǎn)的連線為X軸其垂直平分線為Y軸

方案2以兩定點(diǎn)的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸

以方案1為例推導(dǎo)：以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)焦距為

，則．設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為．②動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何約束條件:

③坐標(biāo)化：

④化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)橢圓方程是本節(jié)課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號(hào)移項(xiàng)后兩次平方法化簡(jiǎn)得

設(shè)，(為什么要取平方)[學(xué)生思考，問題由老師來回答]方程簡(jiǎn)化為：

(3)建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問：要建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡(jiǎn)過程，如何去做此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯(lián)系即可化未知為已知，將已知的焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．只需將圖(1)沿直線翻折或?qū)D(1)繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)即可轉(zhuǎn)化成圖(2)，需將軸、軸的名稱換為軸、軸或軸、軸．焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(4)辨析焦點(diǎn)分別在軸、軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)（學(xué)生分組討論，個(gè)別發(fā)言）區(qū)別：要判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，只需比較與項(xiàng)分母的大小即可．若項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在軸上；若項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在軸上．反之亦然．聯(lián)系：①它們都是二元二次方程，共同形式為

②兩種情況中都有

進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法

掌握化簡(jiǎn)含根號(hào)等式的方法，提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神

感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美

體會(huì)數(shù)學(xué)中的化歸思想，化未知為已知，避免重復(fù)勞動(dòng)

通過對(duì)比總結(jié)，強(qiáng)化不同類型的方程的異同，從而深化學(xué)生對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。抓住數(shù)學(xué)形式的一致性，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。

（四）

數(shù)

學(xué)

應(yīng)

用

橢

圓

定義

與

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程

的

簡(jiǎn)

單

應(yīng)

用

例1：判斷分別滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓（1）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）（2）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡；（不是）（3）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）

例2：判斷焦點(diǎn)的位置并求其坐標(biāo)：（1）

（2）

（3）

例3：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（－3，0）、

F2（3，0），橢圓上任一點(diǎn)到F1、F2的距離之和為8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)。

變式一：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點(diǎn)M到的距離之和為4，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．變式二：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

鞏固橢圓定義

掌握兩種類型的橢圓方程的異同和根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置的方法。

提醒學(xué)生在解題時(shí)先要根據(jù)焦點(diǎn)位置判斷使用哪種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程掌握待定系數(shù)法在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的應(yīng)用，深化a、b、c

的關(guān)系。充分讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦。及時(shí)反饋，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

進(jìn)一步強(qiáng)化橢圓的概念(五)回顧反思深化橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程1．知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2．?dāng)?shù)學(xué)方法：用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程3．?dāng)?shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想通過小結(jié)，使學(xué)生理清這節(jié)課的重難點(diǎn)。（六）課后作業(yè)鞏固提高1．必做題：課本49頁習(xí)題2．2A組2，5(1)(2)，6，92．思考題：動(dòng)圓與定圓

相內(nèi)切且過定圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)A（0，-2）．求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．3.實(shí)驗(yàn)操作題：折紙游戲（準(zhǔn)備圓形紙片）請(qǐng)按如下步驟進(jìn)行操作：1．將圓心記作點(diǎn)，然后在圓內(nèi)任取一定點(diǎn)2．在圓周上任取10個(gè)點(diǎn)，分別記作，將它們與圓心相連，得半徑3．折疊圓形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，將折痕與半徑的交點(diǎn)記作；然后再次折疊圓形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，將折痕與半徑的交點(diǎn)記作；……；依此類推，最后折疊圓形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，將折痕與半徑的交點(diǎn)記作4．用平滑曲線順次連接點(diǎn)，你有何發(fā)現(xiàn)5.請(qǐng)對(duì)你的猜想進(jìn)行證明。

進(jìn)一步完善教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

再次探究橢圓的形成，加深對(duì)概念的理解，比較幾何法與代數(shù)法的優(yōu)劣點(diǎn)。九．板書設(shè)計(jì)§橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、定義：（大于）焦點(diǎn)焦距=2c二、標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在X軸：焦點(diǎn)在Y軸：【關(guān)系】

【例1】

【例2】

【例3】

[變式一]

[變式二]

十.教學(xué)反思本節(jié)課既有概念的教學(xué)，又有橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)和應(yīng)用．在概念學(xué)習(xí)上，學(xué)生可能會(huì)受傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響，忽略對(duì)概念本質(zhì)的深入學(xué)習(xí)，忽視對(duì)概念的理解，導(dǎo)致學(xué)生在處理相關(guān)問題時(shí)出現(xiàn)偏差，也使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展受到限制．在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中，按坐標(biāo)法求曲線方程的過程，學(xué)生存在一定的障礙，具體表現(xiàn)為：如何建立合適的坐標(biāo)系，學(xué)生在認(rèn)知上還不是很到位；對(duì)于含兩個(gè)根號(hào)的式子的化簡(jiǎn)，平時(shí)接觸不多，方程中字母超過三個(gè)，且次數(shù)高，項(xiàng)數(shù)多，計(jì)算量較大，學(xué)生沒有信心和能力自我解決這一難題；方程中字母的引入，學(xué)生更是較難想到．基于以上情況，我在教學(xué)上作了以下設(shè)計(jì)：（1）在橢圓定義的教學(xué)上我花了大量時(shí)間，課前精心準(zhǔn)備了實(shí)驗(yàn)教具，課上讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，感受橢圓的形成過程，并鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．當(dāng)學(xué)生定義不準(zhǔn)確、不嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，不是否定學(xué)生，而是保護(hù)學(xué)生的自尊心，“在最近發(fā)展區(qū)”繼續(xù)設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生不斷探索．通過這樣的實(shí)踐，學(xué)生對(duì)條件的理解水到渠成．這樣，不僅完善了橢圓的定義，也有助于學(xué)生能力的培養(yǎng)．（2）如何建立坐標(biāo)系對(duì)這一問題，教師并不是急于給出坐標(biāo)系，而是給學(xué)生時(shí)間和機(jī)會(huì)，放手給學(xué)生做．又通過折橢圓，展示橢圓的對(duì)稱性．再借助圓來說明（在求圓的方程式，若把圓心作為坐標(biāo)原點(diǎn)建系時(shí)，得出的方程比另外的不把圓心作為原點(diǎn)得出的方程簡(jiǎn)潔美觀）．啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生找出最好的建系方案，讓學(xué)生明白哪種坐標(biāo)系更合適，這樣，不用老師叮囑，在以后的建系中，學(xué)生自然會(huì)注意到平衡對(duì)稱對(duì)簡(jiǎn)化問題的作用．（3）①無理方程的化簡(jiǎn)這是一難點(diǎn)，但也是學(xué)生利用坐標(biāo)法求曲線方程必經(jīng)的過程，所以我放手