高中數(shù)學(xué) 3.1 第2課時數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例同步測試 新人教B版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1第2課時數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例同步測試新人教B版選修2-2一、選擇題1．若復(fù)數(shù)(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的點在虛軸上，則實數(shù)A．－1 B．4C．－1和4 D．－1和6[答案]C[解析]由題意解得m2－3m－4＝0，∴m＝4或m2．(·福建文)復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]z＝－1－2i對應(yīng)點Z(－1，－2)，位于第三象限.3．已知復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于eq\r(10)，則實數(shù)x的取值范圍是()A．－eq\f(4,5)<x<2 B．x<2C．x>－eq\f(4,5) D．x<－eq\f(4,5)或x>2[答案]A[解析]由(x－1)2＋(2x－1)2<10，解得－eq\f(4,5)<x<2.故選A.4．下列命題中假命題是()A．復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實數(shù)B．復(fù)數(shù)等于零的充要條件是它的模等于零C．兩個復(fù)數(shù)模相等是這兩個復(fù)數(shù)相等的必要條件D．復(fù)數(shù)z1>z2的充要條件是|z1|＞|z2|[答案]D[解析]①任意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)≥0總成立．∴A正確；②由復(fù)數(shù)相等的條件z＝0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0)).?|z|＝0，故B正確；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時|z1|＝|z2|，故C正確；④不全為實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，但任意兩個復(fù)數(shù)的模總能比較大小，∴D錯．故選D.5．已知a、b∈R，那么在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個點的位置關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱[答案]B[解析]在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個點為(a，－b)和(－a，－b)關(guān)于y軸對稱．6．在下列結(jié)論中正確的是()A．在復(fù)平面上，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸B．任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小C．如果實數(shù)a與純虛數(shù)ai對應(yīng)，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集是一一對應(yīng)的D．－1的平方根是i[答案]A[解析]兩個虛數(shù)不能比較大小排除B，當(dāng)a＝0時，ai是實數(shù)，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故選A.7．復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－aA．a(chǎn)≠2或a≠1 B．a(chǎn)≠2或a≠－1C．a(chǎn)＝2或a＝0 D．a(chǎn)＝0[答案]D[解析]由題意知a2－2a＝0且a2－a解得a＝0.8．復(fù)數(shù)z1＝a＋2i(a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，則a的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]∵|z1|<|z2|，∴eq\r(a2＋4)<eq\r(5)，∴a2＋4<5，∴－1＜a＜1.故選C.二、填空題9．設(shè)復(fù)數(shù)z的模為17，虛部為－8，則復(fù)數(shù)z＝______.[答案]±15－8i[解析]設(shè)復(fù)數(shù)z＝a－8i，由eq\r(a2＋82)＝17，∴a2＝225.a＝±15.則z＝±15－8i.10．已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝________.[答案]3i[解析]設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a2＋b2＝9.又w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＋3≠0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠－3，))又a2＋b2＝9，∴a＝0，b＝3.11．(·湖北文，11)i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若z1＝2－3i，則z2＝________.[答案]－2＋3i[解析]∵z1＝2－3i，∴z1對應(yīng)的點為(2，－3)，關(guān)于原點的對稱點為(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.三、解答題12．如果復(fù)數(shù)z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍．[解析]∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－∴eq\x\to(z)＝(m2＋m－1)－(4m2－8m＋3)i.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1>0,4m2－8m＋3<0))，解得eq\f(－1＋\r(5),2)<m<eq\f(3,2).即實數(shù)m的取值范圍是eq\f(－1＋\r(5),2)<m<eq\f(3,2).一、選擇題1．(·武漢市調(diào)研)復(fù)數(shù)z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]B[解析]復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點P(3m－2，m－1)，當(dāng)m>1時，P在第一象限；當(dāng)m<eq\f(2,3)時，P在第三象限，當(dāng)eq\f(2,3)<m<1時，P在第四象限，當(dāng)m＝eq\f(2,3)時，P在y軸上，當(dāng)m＝1時，P在x軸上，故選B.2．復(fù)平面內(nèi)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為1＋i，將eq\o(OA,\s\up6(→))向右平移一個單位后得到向量eq\o(O′A′,\s\up6(→))，則向量eq\o(O′A′,\s\up6(→))與點A′對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為()A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i[答案]C[解析]向量eq\o(OA,\s\up6(→))向右平移一個單位后起點O′(1,0)，∵eq\o(OA′,\s\up6(→))＝eq\o(OO′,\s\up6(→))＋eq\o(O′A′,\s\up6(→))＝eq\o(OO′,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴點A′對應(yīng)復(fù)數(shù)2＋i，又eq\o(O′A′,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(O′A′,\s\up6(→))對應(yīng)復(fù)數(shù)為1＋i.故選C.3．設(shè)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則以下結(jié)論中正確的是()A．z對應(yīng)的點在第一象限B．z一定不是純虛數(shù)C．z對應(yīng)的點在實軸上方D．z一定是實數(shù)[答案]C[解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可負(fù)、可為0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D.故選C.4．若cos2θ＋i(1－tanθ)是純虛數(shù)，則θ的值為()A．kπ－eq\f(π,4)(k∈Z) B．kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)C．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z) D．eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)[答案]A[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos2θ＝0①,1－tanθ≠0②))∴選項B、C不滿足②.D中若k為偶數(shù)(如k＝0)也不滿足②.故選A.二、填空題5．設(shè)A、B為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)的對應(yīng)點位于復(fù)平面的第______象限.[答案]二[解析]由于0<A<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)且A＋B>eq\f(π,2)∴eq\f(π,2)>A>eq\f(π,2)－B>0，∴tanA>cotB，cotA<tanB，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在第二象限．6．設(shè)z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z對應(yīng)的點在直線x－2y＋1＝0上，則m[答案]eq\r(15)[解析]∵log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，整理得log2eq\f(2m2－3m－3,m－32)＝0，∴2m2－6m－6＝m2－6m＋9，即m2＝15，m＝±eq\r(15)又∵m－3>0且m2－3m－3>0，∴m＝eq\r(15).7．復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－eq\r(3)i|＝eq\r(3)，則|z|的最大值和最小值分別為________．[答案]3eq\r(3)，eq\r(3)[解析]|z＋3－eq\r(3)i|＝eq\r(3)表示以C(－3，eq\r(3))為圓心，eq\r(3)為半徑的圓，則|z|表示該圓上的點到原點的距離，顯然|z|的最大值為|OC|＋eq\r(3)＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3)，最小值為|OC|－eq\r(3)＝2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3).三、解答題8．(·山東魚臺一中高二期中)已知復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R(1)若z是實數(shù)，求m的值；(2)若z是純虛數(shù)，求m的值；(3)若在復(fù)平面C內(nèi)，z所對應(yīng)的點在第四象限，求m的取值范圍．[解析](1)∵z為實數(shù)，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m(2)∵z為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－1＝0，,m2＋2m－3≠0.))解得m＝0.(3)∵z所對應(yīng)的點在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－1>0，,m2＋2m－3<0.))解得－3<m<0.9．已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)－i及z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.(1)求|eq\x\to(z)1|及|eq\x\to(z)2|的值并比較大??；(2)設(shè)z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的軌跡是什么圖形？[解析](1)|eq\x\to(z)1|＝|eq\r(3)