2024屆寧夏中寧一中高三年級(jí)模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題

2023屆寧夏中寧一中高三年級(jí)模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．3．已知集合，，，則的子集共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．905．設(shè)集合，，若，則（）A． B． C． D．6．總體由編號(hào)為01，02，...，39，40的40個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表（如表）第1行的第4列和第5列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）A．23 B．21 C．35 D．327．如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列中，，且當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．9．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里11．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．12．盒子中有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7的7個(gè)相同的球，從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球，則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若非零向量，滿足，，，則______.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)且與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在第一象限，那么_______________．15．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．若，，，則_____________16．定義在上的奇函數(shù)滿足，并且當(dāng)時(shí)，則___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，，，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知數(shù)列滿足且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）2019年6月，國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開(kāi)始發(fā)放.從到，我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類(lèi)用戶分布情況如下：用戶分類(lèi)預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系（例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的）.（1）從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率；（2）從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.22．（10分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．連接．求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2．C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以集合則所以的子集共有故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合中有元素時(shí)，集合子集的個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.4．A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的抽樣方法，確定選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6，所以從這兩個(gè)數(shù)字開(kāi)始，由左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在編號(hào)01，02，…，39，40內(nèi)的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重復(fù)的第5個(gè)編號(hào)為21.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，即可由的周長(zhǎng)求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個(gè)曲線上，總是平行于軸，因而兩點(diǎn)不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長(zhǎng)為，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.8．A【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.10．C【解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．11．A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積公式，得出，解方程即可得出答案.【詳解】，即解得或（舍）故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.14．2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因?yàn)?所以,過(guò)點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因?yàn)?所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15．或【解析】試題分析：由，則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：，已知兩邊及其對(duì)角，求角．用正弦定理；，則；可得．考點(diǎn)：運(yùn)用正弦定理解三角形．（注意多解的情況判斷）16．【解析】

根據(jù)所給表達(dá)式，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可確定函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸及周期性，進(jìn)而由的解析式求得的值.【詳解】滿足，由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且令，代入可得，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對(duì)稱(chēng)性的綜合應(yīng)用，周期函數(shù)的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（1）已知，則，且，則為以3為首相，3為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）由（1）得：，，①，②①－②可得，則即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減求和法，屬于中檔題.18．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，求得其導(dǎo)函數(shù)，，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）由已知得，得出導(dǎo)函數(shù)，并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得的單調(diào)區(qū)間，以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，所證的不等式可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）由已知得，，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，且，，由，在上單調(diào)遞增，.所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程，討論函數(shù)的單調(diào)性，以及證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，屬于難度題.19．（1）證明見(jiàn)詳解；（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)，根據(jù)，利用線面垂直的判定定理，可得平面，最后可得結(jié)果.（2）利用建系，假設(shè)長(zhǎng)度，可得，以及平面的一個(gè)法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假設(shè)，由，，.所以則，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令，所以則直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學(xué)會(huì)使用建系的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，化繁為簡(jiǎn)，屬中檔題.20．（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)已知可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；（2）由（1）可得為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又所以?shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為.故（2）由（1）知，所以所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒(méi)有發(fā)生變化，詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，分別求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶和中期跟