《機(jī)械制圖（第2版）》第4課 熟悉點(diǎn)、直線與平面的投影一

課題第4課熟悉點(diǎn)、直線與平面的投影（1）

課時(shí)2課時(shí)(90min)

知識(shí)技能目標(biāo)：

（1）能夠累練地在三視圖和立體圖上分析相應(yīng)的點(diǎn)和直線的投影

（2）能蟒蜥點(diǎn)與直線的空間位置

教學(xué)目標(biāo)

素質(zhì)目標(biāo)：

（1）樹(shù)立大國(guó)智造的堅(jiān)定信念，激發(fā)強(qiáng)國(guó)建設(shè)的使命擔(dān)當(dāng)

（2）培養(yǎng)空間想象能力和抽象思維能力

教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)的投影，直線的投影

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)難點(diǎn)：分析與繪制點(diǎn)與直線的投影

教學(xué)方法案例分析法、問(wèn)答法、討論法、講授法

教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材

課蒯甥一考勤（2min）一任務(wù)引入（5min）一傳授新知（48min）一任務(wù)實(shí)施（15min）一學(xué)以致

教學(xué)設(shè)計(jì)

用（15niin）一課堂小結(jié)（3min）一作業(yè)布置（2min）

教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖

【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過(guò)文旌課堂

通過(guò)課前任務(wù),讓

APP或其他學(xué)習(xí)軟件,完成課前任務(wù)

學(xué)生了解本次課的主

課前任務(wù)請(qǐng)大家查閱機(jī)械制圖的相關(guān)資料，思考如何繪制點(diǎn)和直線的三面投影。

要內(nèi)容，增加學(xué)生的

【學(xué)生】完成課前任務(wù)學(xué)習(xí)興趣

【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)

考勤

律性，掌握學(xué)生的出

(2min)【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因

勤情況

【教師】講述“任務(wù)引入”中的相關(guān)內(nèi)容，展示“正三棱推”圖片（詳見(jiàn)教材），

并提出以下問(wèn)題通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入的方

任務(wù)引入觀察圖片,嘗試分析組成該正三棱錐的頂點(diǎn)與棱邊直線的三面投影應(yīng)該如法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思

（5min）何繪制？考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)

興趣

【學(xué)生】觀察、思考、回答

【教師】通過(guò)學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)，講解點(diǎn)與直線投影的基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用多媒體課件，

一、點(diǎn)的投影結(jié)合提問(wèn)討論的方式

幫助學(xué)生了解點(diǎn)與直

1.點(diǎn)的三面投影

線的投影知識(shí)，包括

【教師】展示圖2-17（詳見(jiàn)教材），播放“圖2-17動(dòng)畫(huà)”的視頻（詳見(jiàn)教

其投影規(guī)律、與直角

材），引出點(diǎn)的三面投影知識(shí)點(diǎn)

傳授新知坐標(biāo)系的關(guān)系、在空

（48min）眾所周知,點(diǎn)的投影仍是點(diǎn)，如圖2-17（a）所示，求空間點(diǎn)S的三面投影，間中的位置等；通過(guò)

就是將點(diǎn)S置于三投影面體系中不動(dòng)，由點(diǎn)S分別向三個(gè)投影面作垂線，則其垂分析圖片與視頻，加

足s、s'、s"即為點(diǎn)S的三面投影。如圖2-17（b）所示，將投影面按箭頭所指的強(qiáng)學(xué)生對(duì)投影基礎(chǔ)知

方向，攤平在一個(gè)平面上，便得到點(diǎn)S的三面投影圖.如圖2-17（c）所示，其中識(shí)的掌握，提升學(xué)生

X、KZ分別為點(diǎn)的投影連線與投影軸X、Y、Z的交點(diǎn).的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)

2.點(diǎn)的投影規(guī)律性

?【教師】提問(wèn)：“觀察圖2-17,分析圖中有哪些規(guī)律？“安排學(xué)生分組討

論并派代表回答問(wèn)題

+【學(xué)生】聆聽(tīng)、分組、觀察、思考、討論、回答問(wèn)題

中【教師】總結(jié)學(xué)生的回答，詳細(xì)講解點(diǎn)的投影規(guī)律

點(diǎn)的兩面投影的連線，必定垂直于相應(yīng)的投影軸。點(diǎn)的投影到投影軸的距離

等于空間點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離，即"影軸距等于點(diǎn)面距"。

如圖2-17所示，通過(guò)點(diǎn)的三面投影圖的形成過(guò)程，可總結(jié)出點(diǎn)的投影規(guī)律如

下.

(?)點(diǎn)的兩面投影的連線，必定垂直于相應(yīng)的投影軸，即

OX,s's"J_OZ,ssYfl10YH,OYW

(2)點(diǎn)的投影到投影軸的距離等于空間點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離，即"影軸距

等于點(diǎn)面距"，可知

S,Sx=s"Sy=點(diǎn)s到H面的距離Ss；

S”-s，，sz二點(diǎn)S到V面的距離Ss'；

=點(diǎn)s到w面的距離Sb。

引【資料卡】

空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記：空間點(diǎn)用大寫字母或羅馬數(shù)字標(biāo)記，如A、B、C......

或I、口、m……；點(diǎn)的水平投影(H面投影)用相應(yīng)的小寫字母或阿拉伯?dāng)?shù)字標(biāo)

記，如a、b、c…或I、2、3......；點(diǎn)的正面投影(V面投影)用相應(yīng)的小寫字母

或阿拉伯?dāng)?shù)字并加一撇(’)標(biāo)記，如"、〃、d……或1'、2'、3'……；點(diǎn)

的側(cè)面投影(W面投影)用相應(yīng)的/」肖字母或阿拉伯?dāng)?shù)字并加兩撇(")標(biāo)記，如

?！啊"、c"……或1"、2"、3"..…

3.點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

點(diǎn)的空間位置可用直角坐標(biāo)來(lái)表示.若將三投影面體系看作直角坐標(biāo)系，則

可將投影面當(dāng)作坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作坐標(biāo)軸，點(diǎn)0當(dāng)作坐標(biāo)原點(diǎn)，于是

(1)點(diǎn)5的)＜生標(biāo)，即點(diǎn)S到W面的距離。

(2)點(diǎn)S的y義標(biāo)，即點(diǎn)S到V面的距離。

(3)點(diǎn)5的，坐標(biāo)，即點(diǎn)S到H面的距離。

點(diǎn)S坐標(biāo)的規(guī)定書(shū)寫形式為：S(x,y,z)0

【例2-2］已知點(diǎn)A(30,10,20),求作它的三面投影圖。

【作圖步驟】

方法一

(1)如圖2-18(a)所示(詳磁材)，作投影軸OX、OYH、。幾、OZ.

(2)在OX軸上由點(diǎn)O向左量取30mm,得到點(diǎn)Qx,在。匕/軸和。幾軸

上由點(diǎn)O分別向下、向右量取10mm,得到點(diǎn)aYH和點(diǎn)/，；在OZ軸上由點(diǎn)O

向上取20mm,得到點(diǎn)a7。

(3)過(guò)點(diǎn)縱作OX軸的垂線,過(guò)點(diǎn)七〃和點(diǎn)分別作OY〃軸和。九軸

的垂線，過(guò)點(diǎn)七作oz軸的垂線。

(4)各條垂線的交點(diǎn)a、"、4〃即為點(diǎn)A的三面投影。

方法二

(1)如圖2-18(b)所示(詳見(jiàn)教材)，作投影軸OX、0YH、OYW、OZo

(2)在OX軸上由點(diǎn)O向左量取30mm,得到點(diǎn)犯。

(3)過(guò)點(diǎn)町作OX軸的垂線，并沿垂線向下量取axa=\0mn\,得到點(diǎn)a,

向上量取cixa'=20mm，得到點(diǎn)a'o

(4)根據(jù)點(diǎn)a和點(diǎn)"，求出第三投影點(diǎn)、

中【教師】播放“圖2-18動(dòng)畫(huà)”的視頻(詳見(jiàn)教材)，幫助學(xué)生更直觀的了

解作圖步驟

4.兩點(diǎn)的闞位置

1)兩點(diǎn)在空間的相對(duì)位置比較

＞【教師】展示圖2-19(詳見(jiàn)教材)，提問(wèn)："觀察圖片，判斷圖中兩個(gè)點(diǎn)

在空間中的相對(duì)位置”，安排學(xué)生小組討論并派代表回答問(wèn)題

＞【學(xué)生】善聽(tīng)、分組、觀察、思考、討論、回答問(wèn)題

*＞【教師】總結(jié)學(xué)生的回答，詳細(xì)講解兩點(diǎn)在空間的相對(duì)位置比較

兩點(diǎn)在空間的相對(duì)位置由兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來(lái)確定，經(jīng)過(guò)判斷，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

后下方，反過(guò)來(lái)說(shuō)，就是點(diǎn)B在點(diǎn)A的右前上方。

具體如下：

(I)兩點(diǎn)的左右相對(duì)位置由x坐標(biāo)差(xH-xA)確定，由于為＞4,因

此點(diǎn)A在點(diǎn)B的左方。

(2)兩點(diǎn)的前后相對(duì)位置由y坐標(biāo)差(%-以)確定，由于以v)%，因

此點(diǎn)A在點(diǎn)B的后方。

(3)兩點(diǎn)的上下相對(duì)位置由z坐標(biāo)差(Zs-Z.)確定，由于盯vZs,因此

點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方。

故點(diǎn)A在點(diǎn)B的左后下方，反過(guò)來(lái)說(shuō)，就是點(diǎn)B在點(diǎn)A的右前上方。

2)重影點(diǎn)及可見(jiàn)性判斷

如圖2-20所示(詳見(jiàn)教材)，E、F兩點(diǎn)的投影/、/'重合，這說(shuō)明E、F

兩點(diǎn)的X、1.坐標(biāo)相同，xE=xF、zE=Zp,即E、F兩點(diǎn)處在垂直于正面(V

面)的同一條投射線上。

可見(jiàn)，共處于同一條投射線上的兩點(diǎn)，必在相應(yīng)的投影面上具有重合的投影。

這兩個(gè)點(diǎn)稱為對(duì)該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)。

?【教師】提問(wèn)：“如何判斷重影點(diǎn)是否可見(jiàn)？“，安排學(xué)生小組討論并派

代表回答問(wèn)題

小【學(xué)生】蕤聽(tīng)、分組、思考、討論、回答問(wèn)題

?【教師】總結(jié)學(xué)生的回答，引出重影點(diǎn)的可見(jiàn)性

重影點(diǎn)的可見(jiàn)性需要根據(jù)這兩點(diǎn)不重影的投影坐標(biāo)的大小來(lái)判別

(?)當(dāng)兩點(diǎn)在V面的投影重合時(shí)，需要判別其H面或W面投影，點(diǎn)在前(y

坐標(biāo)大)者可見(jiàn).

(2)當(dāng)兩點(diǎn)在H面的投影重合時(shí)，需要判別其V面或W面投影,點(diǎn)在上(z

坐標(biāo)大)者可見(jiàn)。

(3)當(dāng)兩點(diǎn)在W面的投影重合時(shí)，需要判別其H面或V面投影，點(diǎn)在左(x

坐標(biāo)大)者可見(jiàn)。

如圖2-20所示(詳見(jiàn)教材)，/、/'重合，但H面投影不重合，且e在前、

f在后，即%>)>。所以對(duì)V面來(lái)說(shuō)，E可見(jiàn)、F不可見(jiàn).在投影圖中，對(duì)不可

見(jiàn)的點(diǎn)，在重影處的投影需要加圓括號(hào)表示。如圖2-20中，對(duì)不可見(jiàn)點(diǎn)F的V面

投影，加圓括號(hào)表示為(尸)。

【例2-3］如圖2-21所示(詳見(jiàn)教材)，在已知點(diǎn)A(20,20,10)的三面

投影圖上，作點(diǎn)B(30,10,0)的三面投影，并判斷兩點(diǎn)在空間的相對(duì)位置。

【分析】點(diǎn)B的z坐標(biāo)為0,說(shuō)明點(diǎn)B屬于H面，點(diǎn)B的V面投影b'一定

在OX軸上，W面投影b”一定在軸上。

【作圖步驟】

(1)如圖2-22所示(詳見(jiàn)教材)，在OX軸上由點(diǎn)O向左量取30mm,得

到點(diǎn)b,,由點(diǎn)b，向下作垂線并取，得到點(diǎn)b.

(2)根據(jù)作出的點(diǎn)b和點(diǎn)b\即可求得第三投影點(diǎn)b".應(yīng)注意，點(diǎn)b"一定

在0%,軸上，而不在。丫〃軸上。

(3)判別點(diǎn)A和點(diǎn)B在空間的相對(duì)位置，即

左、右相對(duì)位置：4.=10,故點(diǎn)A在點(diǎn)B右方10mm；

前、后相對(duì)位置：%-=1。，故點(diǎn)A在點(diǎn)B前方10mm；

上、下相對(duì)位置：-Zs=1。，故點(diǎn)A在點(diǎn)B上方10mm。

因此，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右、前、上方各10mm處。

+【教師】提醒學(xué)生掃一掃，觀看“圖2-22動(dòng)畫(huà)”的視頻(詳見(jiàn)教材)，更

加直觀的理解點(diǎn)A和點(diǎn)B的三面投影圖

二、直線的投影

1.直線的三面投影

4【教師】展示圖2-23(詳見(jiàn)教材)，詳細(xì)講解直線的三面投影

直線的投影一般仍為直線，特殊情況可積聚為一點(diǎn)，如圖2-23所示。在圖2-

23中，直線AB在H面上的投影為直線ab；直線CD平行于投射線，其在H面

上的投影cd積聚為一點(diǎn)。

直線的投影可由直線上兩點(diǎn)的同面投影來(lái)確定，如圖2-24所示(詳見(jiàn)教材)。

在三個(gè)投影面中Z銅面投影上的投影點(diǎn)用粗實(shí)線連接起來(lái)，即可得到直線的三

面投影，如圖2-24(c)所示。

小【教師】提醒學(xué)生掃一掃，觀看“圖2-24動(dòng)畫(huà)”的視頻(詳見(jiàn)教材)，更

加直觀的理解直線的三面投影

2.各種位置直線的投影

：在三投影面體系中，按直線與投影面的相對(duì)位置不同,直線可分為一股位置

直線和特殊位置直戔

I)一般位置的直線

對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。婦圖2-24所示，一般位置

直線的投影特性有以下幾點(diǎn)。

(1)一般位置直線的各面投影都與投影軸傾斜。

(2)一般位置直線的各面投影長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)。

（3）-股位置直線的各面投影與投影軸的夾角不反映空間直線與投影面的夾

角。

直線和投影面的夾角稱為直線對(duì)投影面的傾角。直線對(duì)H面、V面、W面的

傾角分別以a、。、湊示，如圖2-24（a）所示。

2）特殊位置直線

（1）投影面平行線。平行于某一個(gè)投影面且與其他兩個(gè)投影面都傾斜的直線

稱為投影面平行線。其中，平行于H面的直線稱為水平線，平行于V面的直線稱

為正平線，平行于W面的直線稱為側(cè)平線。

*【教師】提問(wèn)：”思考討論投影面平行線的投影特性“，安排學(xué)生分組討

論并派代表回答問(wèn)題

【學(xué)生】玲聽(tīng)、分組、思考、討論、回答問(wèn)題

小【教師】總結(jié)學(xué)生答案，展示表2-3（詳見(jiàn)教材），詳細(xì)講解投影面平行

線的投影特性

①在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)

②其他另兩面投影平行于相應(yīng)的投影軸

③反映實(shí)長(zhǎng)的投影與投影軸所夾的角度，等于空間直線對(duì)相應(yīng)投影面的傾角

（2）投影面垂直線。若空間一直線垂直于某一個(gè)投影面，則該直線必定平行

于另外兩個(gè)投影面，這樣的直線稱為投影面垂直線。其中，垂直于H面的直線稱

為鉛垂線，垂直于V面的直線稱為正垂線，垂直于W面的直線稱為側(cè)垂線。

小【教師】提問(wèn)：”思考討論投影面垂直線的投影特性"，安排學(xué)生分組討

論并派代表回答問(wèn)題

｝【學(xué)生】靜聽(tīng)、分組、思考、討論、回答問(wèn)題

A【教師】總結(jié)學(xué)生答案，展示表2-4（詳見(jiàn)教材），詳細(xì)講解投影面垂直

線的投影特性

①在所垂直的投影面上的投影有積聚性

②其他另兩面投影反映實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸

3.直線上點(diǎn)的投影

直線上點(diǎn)的投影具有從屬性和定比性。

I）從屬性

小【教師】展示圖2-25圖片（詳見(jiàn)教材），播放“圖2-25動(dòng)畫(huà)”的視頻（詳

見(jiàn)教材）

直線上任意一點(diǎn)的投影必在該直線的同面投影上。反之，如果一點(diǎn)的三面投

影中只要有一面投影不在該直線的同面投影上，則該點(diǎn)不在該直線上。

如圖2-25所示，若點(diǎn)CwAfi,則必有cw"、dedb、

＞【教師】展示圖2-26（a）（詳見(jiàn)教材），布置任務(wù)，安排學(xué)生小組討論

并派代表回答問(wèn)題

觀察圖片，已知直線AB的三面投影和屬于直線AB的點(diǎn)C的H面投影c,

求點(diǎn)C的V面投影和W面投影c”。

*【學(xué)生】蕤聽(tīng)、分組、觀察、思考、討論、回答問(wèn)題

?【教師】總結(jié)學(xué)生答案，展示圖2-26（b）（詳見(jiàn)教材），詳細(xì)講解作圖

情況，提醒學(xué)生掃一掃觀看”圖2-26動(dòng)畫(huà)”視頻（詳見(jiàn)教材）

2）定比性

直線上的點(diǎn)將直線按一定比例進(jìn)行分割，分割后各分割線段的長(zhǎng)度之比與各

分割線段投影的長(zhǎng)度之比相等。如圖2-25所示（詳見(jiàn)教材），

AC：CB=ac:cb=de'：db=a"c"：dW

4.兩直線的相對(duì)位置

空間兩百線的相對(duì)位置有平行、相交和交叉三種情況.其中，平行的兩百線

和相交的兩直線稱為共面直線，交叉的兩直線稱為異面直線。

I）兩直線平行

兩直線平行的投影規(guī)律如下。

（1）如果兩直線平行，則它們的各組同面投影一定相互平行。反之，若空間

兩直線的同面投影均相互平行，則該兩直線一定為平行關(guān)系。

（2）如果兩直線平行，則它們的長(zhǎng)度之比等于它們同面投影的長(zhǎng)度之比。

＞【教師】展示圖2-27（詳見(jiàn)教材），提問(wèn)：“觀察圖片，如果直線AB與

直線CD平行，則哪些投影線是甘亍的？"，隨機(jī)抽取學(xué)生回答問(wèn)題

＞【學(xué)生】聆聽(tīng)、觀察、思考、回答問(wèn)題

＞【教師】總結(jié)學(xué)生答案，并公布正確答案

如圖2-27所示，直線AB與直線CD平行，則而//cd、db〃c"、

//d'd"，且AB：CD=ab：cd=db'：dd'=〃&'：cudn。

2）兩直線相交

如果空間兩直線相交，則它們的同面投影一定相交，且其交點(diǎn)符合直線上點(diǎn)

的投影規(guī)律.反之，如果空間兩直線的同面投影都相交，并且交點(diǎn)的投影符合直

,線上點(diǎn)的投影規(guī)律，則這兩條直線一定相交。

例如，直線AB和直線CD相交于點(diǎn)K,則其投影ab與cd相交于點(diǎn)k,db

與c2'相交于點(diǎn)k',〃力”與相交于點(diǎn)k〃，并且點(diǎn)k、Ak〃符合直線上

點(diǎn)的投影規(guī)律，如圖2-28所示（詳見(jiàn)教材）。

＞【教師】提醒學(xué)生掃一掃,現(xiàn)看“圖2-28動(dòng)畫(huà)”的視頻（詳見(jiàn)教材），更

加直觀的理解相交兩直線的投影

3）兩直線交叉

如果空間兩直線既不平行也不相交,則兩直線交叉。交叉兩直線的同面投影

可能有一組、兩組或三組分別相交，但其交點(diǎn)的投影并不符合直線上點(diǎn)的投影規(guī)

律。反之，如果空間兩直線的同面投影既不符合兩直線平行的投影規(guī)律，也不符

合兩直線相交的投影規(guī)律，則這兩直線一定交叉。

如圖2-29（a）所示（詳見(jiàn)教材），直線AB和CD為交叉直線，則這兩條直

線的V面投影和H面投影均相交，但V面投影中的交點(diǎn)與II面投影中的交點(diǎn)并

非同一點(diǎn)，其投影圖如圖2-29（b）所示（詳見(jiàn)教材）0

十【教師】提醒學(xué)生掃一掃，觀看”圖2-29動(dòng)畫(huà)”的視頻（詳見(jiàn)教材），更

加直觀的理解交叉兩直線的投影

【學(xué)生】聆聽(tīng)、記錄、理解

【教師】安排學(xué)生根據(jù)課堂知識(shí)，繪制投影

已知點(diǎn)A(20,15,20)、點(diǎn)B(15,15,10),點(diǎn)C在點(diǎn)A的正前方，

距離為5mm,觀察圖片，嘗試畫(huà)出各點(diǎn)的三面投影。

通過(guò)分析并繪制各

任務(wù)實(shí)施點(diǎn)的三面投影，讓學(xué)

(15min)生充分理解所學(xué)知

識(shí)，并與實(shí)踐相結(jié)合

【學(xué)生】復(fù)習(xí)回顧、觀察圖片、繪制圖形

【教師】講解作圖步驟，并評(píng)價(jià)學(xué)生的完成情況

通過(guò)拓展和綜合訓(xùn)

【教師】展示圖2-15(詳見(jiàn)教材)，提出任務(wù)，安排學(xué)生完成繪制