2024學(xué)年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓相關(guān)的證明題 刷題練習(xí)題匯編（含答案解析）

2024學(xué)年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓相關(guān)的證

明題刷題練習(xí)題匯編

I.如圖，在0。中，8是直徑，弦A8_LCD,垂足為￡連接AC,AD.

(1)求證：ZC=ZfiAD：

(2)若NC=33。,OC=3,求4r的長(zhǎng)度.

2.如圖，已知“8C內(nèi)接于CX7,AB是。的直徑，ZC48的平分線交8c于點(diǎn)D,

交。。于點(diǎn)E,連接防，作NBEF=NCAE,交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

⑴求證：EF是。的切線；

(2)若BF=4、EF=8,求QO的半徑.

第1頁(yè)共38頁(yè)

3.如圖，四邊形A3CZ）是。的內(nèi)接四邊形，且AC工3Q,垂足為EAB=DB,F為

DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

⑴求證：BC平分446；

（2）若BE=3,DE=2,求AE和?O的半徑長(zhǎng).

4.如圖，CD為O的直徑，點(diǎn)A、E是：。上兩點(diǎn)，AC=AE^連接AC、AD.AE.

OE，點(diǎn)8是。。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接48,?CAB?CDA.

⑴求證：A8與。。相切于點(diǎn)A；

(2)若8C:84=1:2,求tan/BAC.

⑶在（2）的條件下，若O半徑為6,求弦DE的長(zhǎng)度.

第2頁(yè)共38頁(yè)

5.如圖，點(diǎn)A、B、C在OO上，NAAC=60。，直線AD=AB,點(diǎn)。在BD

(1)判斷直線4。與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由:

(2)若。的半徑為4,求弦8C的長(zhǎng).

6.A8是。的直徑，C是上一點(diǎn)，0D工BC,垂足為。，過(guò)點(diǎn)人作。的切線,

與。。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)￡

⑴如圖1,求證4；

(2)如圖2,連接人力，若4)=5,80=3,求0E的長(zhǎng).

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9.如圖，A4是。的直徑，點(diǎn)。是8/)的中點(diǎn)，CEJ.AB于點(diǎn)、E,BD交CE于點(diǎn)F.

(1)求證：CF=BF；

(2)若3E=OE=3,求人。的長(zhǎng)度.

10.如圖，在中，ZC=90°,以O(shè)B為半徑的與A8相交于點(diǎn)￡與AC相

切于點(diǎn)D

(1)求證：8。平分NA8C；

3

(2)已知cos/A8C=《，AB=6,求CO的半徑，?.

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11.如圖，A4是O的直徑，AC,C。是，O的弦，且COJ.44,垂足為￡連接

過(guò)點(diǎn)4作。的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(1)求證：Z4BD=ZF：

(2)若點(diǎn)七是。8的中點(diǎn)，且OE=1,求線段斷的長(zhǎng);

12.如圖，力8c的外接圓是以A8為直徑的O,過(guò)點(diǎn)A作。的切線，與BC的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)Q,在3。上截取EC=C。，連接AE并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)/，連接CF.

(1)求證：C"=C4；

(2)若AC=2,tan8=g,求跳.的長(zhǎng).

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13.如圖，在RtZ\A5C中，NA=30。，NAAC=90°,延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使得OC=BC,

以點(diǎn)。為圓心，以0C為半徑作。交4c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接

⑴求證：BD與。相切；

（2）若AB=6,求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留乃）.

14.如圖，直線A8與。。相切于點(diǎn)/?,A0交OO于點(diǎn)C,A。的延長(zhǎng)線交?O于點(diǎn)。,

44=30。，點(diǎn)E在8c。上，且不與3,。重合.

⑴求的大??；

Q）若BE=DE，石。的延長(zhǎng)線交直線A3于點(diǎn)尸，求證：。尸與C。相切.

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15.如圖，A3是O的直徑，弦于點(diǎn)E,點(diǎn)2在(。上，弦即與。。交于點(diǎn)P,

且FP=FD.

C

⑴求證：PD//CB；

(2)若A8=26,CQ=24,求皮T的長(zhǎng)度.

16.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以邊為直徑的。與BC交于點(diǎn)D,

D卜工AB,垂足為“，“。的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)七.

⑴求證：EF是。的切線.

(2)若AC=13,BD=5.求。尸的長(zhǎng).

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17.如圖，四邊形/WCD內(nèi)接于O,AC是直徑，AB=BC,連接B。，過(guò)點(diǎn)。的直

線與C4的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,且NED4=NAC￡>.

⑴求證：直線力石是0。的切線;

(2)求證：OB平分NAQC；

(3)若AD=6,CD=8,求8。的長(zhǎng).

18.如圖，O是/區(qū)。的外接圓，RC為。的直徑，點(diǎn)/為“AC的內(nèi)心，連接4并

延長(zhǎng)交(。于。點(diǎn)，連接8。并延長(zhǎng)至E,使得30=DE,連接C￡、BI.

(1)求證：DB=DI；

(2)求證：直線CE為0的切線；

4

⑶若tan乙M>/3=Q,4C=20,求AO的長(zhǎng).

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19.如圖，(夕是RlZXAAC的外接圓，48=90。，點(diǎn)。在A3上，AC=ADt連接CD

并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，點(diǎn)廠在A3的延長(zhǎng)線上，且NA尸E=NABC.

⑴連接8E,求證8E=D￡；

(2)求證：EF是。的切線；

(3)若AC=8,BC=6,則OE的長(zhǎng)為

20.如圖，A8是6。的直徑，E是A8上一點(diǎn)，C是1O外一點(diǎn)，連接AC交O于點(diǎn)

連接8。8。，連接。后交A4于點(diǎn)M,連接A￡，旦/￡=NC=60。.

⑴求證：△ABDFACB；

⑵求證：8c是。的切線;

(3)當(dāng)AE=OE,成?=2行時(shí)，求A￡的長(zhǎng).

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參考答案:

【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，求弧長(zhǎng)，三角形內(nèi)角和定理：

(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到NC4Q=90°,則/。+/。=90。，由垂線的定義得到

ZAED=90°,則NBA0+/。=90。，由此即可證明NC=NB4O；

(2)如圖所示，連接04,0B,由圓周角定理得到N/1OD=2NC=66。，則由垂徑定理可得

ZBOD=^AOD=66°,可得N4OK=132。，據(jù)此利用弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】(1)證明：???CD是直徑，

???ZC4D=90°,

:./。+/。=90°,

?/AI31CD,

/.ZAED=90°,

/./朋。+/。=90。，

/C=/BAD；

(2)解:如圖所示，連接。4,OB,

???ZC=33°,

r.ZAOD=2ZC=66°,

是直徑，弦A8_LC0,

?*,AD-BD，

Z.NBOD=ZAOD=66°,

，Z4O/?=132°,

的長(zhǎng)度=筆詈=2乃.

(2)6

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【分析】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理：

（1）連接。石，根據(jù)A石平分/CAB,OA=OE,可得/BEF=ZAEO,從而得到

ZBEF+ZOEB=90°,即可：

（2）設(shè)。O的半徑為％,在RIZXO反中，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】（1）解：連接OE,

???ZAEB=90°,即ZAEO+ZOEB=90。，

???平分/C43,

:.ZCAE=ZEAB,

OA=OE,

：.NEAB=ZAEO,

/BEF=NCAE,

：.ZBEF=ZAEO,

/.NBEF+NOEB=90。,

.\OE±EF,

〈OE是O的半徑，

:,EF是。的切線；

(2)解：設(shè)GO的半徑為x,則0E=08=x,

在中，OE?+EF?=OF?,

:.X2+82=(X+4)2,

解得：x=6.

???。的半徑為6.

3.(1)見詳解

⑶5亞

(2)r=-----

4

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【分析】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直

角三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)人4=。4得出/4/犯=44。，再由圓周角定理得出NAO8=NACB,由圓內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)可得出N3b=N8AO,故N4C8="B,據(jù)此得出結(jié)論；

⑵根據(jù)BE=3,OE=2可得出3。的長(zhǎng)，故可得出的長(zhǎng),在RtzMBE中，利用勾股定

理求出AE的長(zhǎng)，同理可得出AO的長(zhǎng)，連接B。并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)M,交線段4。于點(diǎn)M

連接。。，由垂徑定理得出BWJ.AO,故點(diǎn)N是的中點(diǎn)，利用勾股定理求出4N的長(zhǎng),

設(shè)O的半徑為一在RJOQN中利用勾股定理求出/?的值即可.

【詳解】(I)證明：???A8=￡>3,

ZADB=^BAD,

,:NADB與/AC8是同瓠所對(duì)的圓周角，

JZADB=ZACB,

???四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

/./BCF=NBAD,

：.ZACB=NBCF,

，8c平分NAb；

(2)解：???BE=3,DE=2,

...BD=3+2=5,

?/AB=DB,

/.AI3=5,

在RtAAHE中，AE=ylA)-BE1=4

在Rl/XAOE中，AD=dAE?+DE2=2',

連接8。并延長(zhǎng)交，切于點(diǎn)M,交線段AOF點(diǎn)N,連接0。，

B

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〈BM是。的直徑,

平分圓，

AB=DB,

,汕=》8，

?*-AM=，

???點(diǎn)N是AZ）的中點(diǎn)，

BM1AD,DN=-AD=y/5,

2

在RIBBON中，BN=4BlY-DN?=2舊,

設(shè)的半徑為，，則。。=心ON=OB-r=25r

在R〔二OZW中，DNrON?=OD',

即（6了+（26-廠『=/

解得「=拽.

4

4.⑴見解析

⑵3

【分析】(I)連接0A,證明4B_LOA即可.

(2)根據(jù)？C482CDA,結(jié)合NQ%=NA8。，得到《C84S/A3O,得到&-二-結(jié)

ABAD

Ar

合8c:84=1:2,tanABAC=tanZCDA=—,計(jì)算即可.

AD

(3)過(guò)點(diǎn)。作OGJ.AC于點(diǎn)G,連接CE,交OA于點(diǎn)F,利用垂徑定理及其推論，勾股定

理，三角形中位線定理，三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)如圖，連接Q4,

???。。為。的直徑，

A?OAC?OAD2CAD90?,

*：OA=OD,

/.?OAD?CZM,

第4頁(yè)共38頁(yè)

V?CAB?CDA,

???NQ4O=NC4B,

/.?OAC?CAB90?,

???ABA.OA.

???AB與CO相切于點(diǎn)A.

(2)?CAB2CDA,4CBA=ZABD,

JCBAsABD,

.CBAC

??花―茄’

,/BC:BA=\:2,

.ACI

,,耘=5'

???。。為CQ的直徑，

/.?OAC?OAD1CAD90?,

Ar1

tanZBAC=tanNCD4=——=-.

AD2

Ar]

(3)V-=-,CD為。的直徑，CD=2OD=12,

AD2

，AC2+AD2=\22,

解得八。二地，入。=”,

過(guò)點(diǎn)。作OG_LAC于點(diǎn)G,

：.CG=GA

*：CD為。的直徑,

第5頁(yè)共38頁(yè)

???0G是?ACO的中位線，

.八心1，12石

??OG=—ADn=------，

25

連接C巴交。4于點(diǎn)汽

,：CD為O的直徑，

，ZCED=90°,

"：AC=AEy

:.CF=FE,OF1FE,

，O產(chǎn)是▲日7〃的中位線，

???OF=-DE,

2

■:S=-AC>OG=-OMCF,

vO/A/ivC22

.12x5126

55

解得。/=24

J

???0F=yl0C2-CF2=—,

5

???DE=2OF=—.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，三角形

中位線定理，三角形面積公式，熟練掌握垂徑定理，勾股定理；中位線定理是解題的關(guān)鍵.

5.（1）直線人。與圓O相切，見解析

⑵4班

【分析】本題考查圓的切線的判定定理，圓周角定理.，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法.

（1）由切線的判定定理，可證明；

（2連接OC,作O"工8c于〃，由等腰三角形的性質(zhì)得到NOC3=NO8C=30。，由含30

度直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理即可求出BC.

【詳解】（1）直線AO與圓。相切.

理由如下：連接。4，

AD\BC,

第6頁(yè)共38頁(yè)

...ND=NDBC,

\AD=AB,

:.ZD=ZABD，

4DBC=NABD=-NABC=30°,

2

NBA。=120。，

OA=OB,

：.ZBAO=ZABD=3>0°f

：.NQAO=90。，

:.OA±AD,

.OA是圓的半徑，

???直線4。與圓。相切；

(2)連接OC,作OHJ.BC于H,

OB=OC,

\?OCB?OBC307,

：.OH=-OB=2,

2

在中，BH=5-2?=2百，

:.I3C=2I3H=4y/j.

6.(1)見解析；

【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握?qǐng)A的優(yōu)線垂

直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到。4_LAE,根據(jù)對(duì)頂角相等得到NOQ8=ZAOE,根據(jù)三角形內(nèi)

角和定理證明即可：

第7頁(yè)共38頁(yè)

(2)連接4C,根據(jù)圓周角定理得到NC=900，根據(jù)勾股定理分別求出AC、AB,證明

ODBsQ4E,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】(I)證明：???AE是。的切線，

：.OAA.AE,

???ZOAE=90°,

■:ODtBC,

???ZODB=90°,

/.4)DB=40AE,

,/ZDOB=ZAOE,

AZ^=ZE;

(2)解：如圖2,連接AC,

?.*OD1BC,

JDC=BD=3,

TAB是夕的直徑，

:.ZC=90°,

???AC=AD1-DC-=VS2-32=4>

JAB=^BC2+AC2=V6:+42=2V13?

,:BD=DC,130=OA,

：.OD=-AC=2,

2

VZB=ZE,NDOB=ZAOE,

JODBS：OAE,

,型="即之:巫，

OAOEV13OE

13

解得：OE造.

第8頁(yè)共38頁(yè)

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解

答本題的關(guān)鍵.

（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC_LDC,從而可得///AE,再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可證得答案：

3

（2）連接BC,先證明NABC=NACE,則tan/ABC=tanNACE=一，根據(jù)三角函數(shù)的定

4

義，可求得8c的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而得到答案.

【詳解】（1）連接0C,

直線QC是，。的切線，切點(diǎn)為C,

.-.0C1DC,

又??4fJLOC,

:.OC//AEf

ZEAC=ZACO.

-OC=OA,

:.ZACO=ZOAC,

ZEAC=ZOAC,

???AC平分NAAE;

第9頁(yè)共38頁(yè)

(2)連接AC,

45是。的直徑,

.-.Z4CB=90°,

.-.ZC4^+Z4BC=90o

又???4EJ_OC,

NEAC+NACE=90。

由（1）得NE4C=N0AC,

/.ZABC=ZACE,

3

在RtzMBC中，tanAABC=tanZACE=-,

4

.AC_10_3

8.(1)見解析

(2)見解析

(3)|Vio

【分析】(I)根據(jù)切線的判定，證明ZQ4F=ZQ4C4-ZMC=90°即可.

(2)根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，證明4X汪.Ab(ASA)即可.

(3)連接BE,AD,證明△AQGSA^BG,運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：VABLCD,

JNAOC=90°,

第10頁(yè)共38頁(yè)

???ZAEF=-AAOC=45°,

2

*/ZFAC=ZAEF,

：.ZE4C=45°,

,：OA=OC.

/.ZCMC=ZOC4=45°,

???NO4尸—NO4C+N曰C—90°,

???O4是，。的半徑，

???AF為「Q的切線.

(2)證明：.??四邊形ADCC是圓內(nèi)接四邊形,

ZAZX7+ZACE=18O°,

ZACE4-Z4CF=180°,

Z4CF=ZAZX；,

*：ABVCD,

JZAOAZAOCRBODS。,

/.AD=AC,/DAB=-Z.BOD=45°,

2

???/必。二NDA8二45。，

A..ADG^AC/(ASA),

???AF=AG.

(3)解：連接BE,AD,

???G為OB的中點(diǎn)，08=2,

???OG二GB二、OB二1,

2

,/OA=OD=2,ZAOD=90°,

,AD=41OA=2y/2，

???/BOD=90。,

第11頁(yè)共38頁(yè)

?：4DAB=/DEB,ZAGD=/BGE,

：./\ADG^/\EBG,

.ADDG

??1=1,

EBBG

.25/2_>/5

??------------,

EB1

?m2師

??EB=-----?

5

為。的直徑，，

ZAEB=90°,

/.AE”AB?-EB2=,

??.AE的長(zhǎng)為也.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定

和性質(zhì)，三角形相似判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

⑵27r

【分析】(1)由A8是O的直徑，則4CB=90。，而CE1AB,所以NBAC=NBCE；由點(diǎn)

C是80的中點(diǎn)，得到/O8C=NB4C,于是/BCE=NDBC,即可得到CE=8/；

(2)連接。。，0C,BE=0E=3,可得圓的半徑為6,在直角三角形E0C中，由

OF1

cos/CO￡=N；=5,可得NCOE=600,進(jìn)而推出N48等于6()。，再用弧長(zhǎng)公式求解即可.

第12頁(yè)共38頁(yè)

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧長(zhǎng)的計(jì)算，難度適中.注意

掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【詳解】(I)證明：是。的直徑，

.?ZC8=90°,

又CEJ^AB,

：.4BCE+ZECA=ABAC+/ECA=90，

:.ZBCE=ZBAC,

點(diǎn)C是"￡)的中點(diǎn)，

:.ZDBC=Z.BAC,

:.4DBC=4CDB,

:.ZBCE=ZDBC,

:.CF=BF

(2)解：連接。。，OC,

BE=OE=3,

:.OB=BE+OE=3+3=6,

OB=OC,

匹二」,

OC62

/.ZCOE=60°,

點(diǎn)C是A/)的中點(diǎn),

Z￡)OC=ZCOE=60,

ZAOD=180-ZLDOC-Z.COE=60,

60°乃x6.

AD的長(zhǎng)度=-----------=2冗.

180°

10.(1)詳見解析

9

⑵，,

第13頁(yè)共38頁(yè)

【分析】（I）連接。。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OO_LAC，進(jìn)而得到OD〃AC,根據(jù)平行線

的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論：

（2）根據(jù)余弦的定義求出8C,根據(jù)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即

可.

【詳解】（1）證明：連接。。，如圖所示：

〈AC切Q于點(diǎn)D,

ZODIAC,

VZC=90°,

,OD//BC,

JNODB=/CBD,

?：OB=OD,

J4ODB=4OBD,

工Z.OBD=ZCBD,即BD平分ZABCx

(2)解：在RtZkABC中，ZC=-90°,

3

cosZ.ABC--,AB=6?

.BCBC3

??1==一,

AB65

1Q

解得：BC=*

?：OD//BC,

第14頁(yè)共38頁(yè)

r_6-r

.OD_AO即=

5

9

解得一“

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線他判定

和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

11.(1)見解析

⑵券

【分析】本題考杳了圓周角定理，切線性質(zhì)定理，勾股定理，正切函數(shù)計(jì)算；

(1)根據(jù)切線性質(zhì)，垂直的定義，圓周角定理，余角的性質(zhì)，證明即可.

(2)根據(jù)點(diǎn)E是0B的中點(diǎn)，且OE=1,得到O8=OC=2OE=2,利用勾股定理，得到

________RFCF

CE=y/oc2-OE-=75?結(jié)合［anA=^=弁計(jì)算即可

ABAE

【詳解】(1)???A8是6。的直徑，過(guò)點(diǎn)B作。。的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

AZABF=90°,

JN產(chǎn)=90。-乙4；

,：CDLAB,

/.ZAEC=ZDEB=90°,

JZABD=90°-ZD；

VZA=ZT>,

/.ZABD=ZF.

(2)如圖，連接OC,

???點(diǎn)￡是。8的中點(diǎn)，且OE=1,

CA=QB=OC=2QE=2,

CE=VOC2-OE2=G，

.BFCE

.tanA=——=——,

ABAE

,BFJ5

??----=-----9

42+1

解得3~=生8.

3

第15頁(yè)共38頁(yè)

c

Ao⑹B,

—w

12.⑴見解析；

(2)晅的長(zhǎng)為3.

【分析】(1)由AB是。。的直徑，ZACB=90°,則AC垂直平分。石，所以AE=AO,由

等腰三角形的“三線合一''得/C4b=NC4P,由切線的性質(zhì)證明N8AO=90。，則

NA=NC4/)=9O°—NAAC,所以N4=NC4F=/",貝

(2)由*=tan/CA7)=tanO=*=:，且AC=2,求得CO=4AC=1,BC=2AC=4,則

EC=CD=\,所以BE=BC—EC=3.

【詳解】(1)證明：4?是。的直徑，

.?.Z4CB=9O°,

-EC=CD,

???AC垂直平分。石，

AE=AD,

ZC4F=ZCAD,

AD與O相切于點(diǎn)A,

:.ADA.OA,

.?.ZZMD=90°,

B=ZCAD=90°-NBAC,

..Zfi=ZC4F,

?：/B=/F,

：.4cAF=4F,

:.CF=CA；

(2)解：Z4CD=ZACB=90°,/B=/CAD,AC=2.

=(an/CAD=tanB=,

ACBC2

第16頁(yè)共38頁(yè)

:.CD=^-AC=\,BC=2AC=4,

2

.-.EC=CD=\,

:.BE=BC-EC=4-\=3t

1.AE的長(zhǎng)是3.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查直徑所對(duì)的圓周角等于90。、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形

的“三線合小、切線的性質(zhì)、圓周角定理、“等角對(duì)等邊,'、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等

知識(shí)，證明AC垂直平分DE,并且推導(dǎo)出N8=NC4廠是解題的關(guān)健.

13.(1)見解析

23

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，切線的判定，等腰三角形的

判定等知識(shí).證切線連半徑是必作的輔助線.

(1)連接。。，易得.OCD是等邊三角形，則得OC=CO=8C,ZO￡)C=60°,則得

ZCDB=30°,從而NO/M=90。，結(jié)論即得證；

(2)由題意得4Q=A8=G，由三角函數(shù)可求得OQ,由陰影部分的面積=S8?！耙慌c形”〃

即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OO,如圖，

VZA=30°,ZABC=90°,

ZOCD=ZACB=90°-ZA=60°；

?：OC=OD,

???06是等邊三角形，

：.OC=CD=BC,NODC=60。，

JNCOB」NOCT)=30。，

2

JZODB=NQDC+ZCDB=90°,

,：OD是。的半徑，

???8O與O相切；

第17頁(yè)共38頁(yè)

A

B

D

(2)解：丁幺=/⑦臺(tái)二？。。，

，BD=AB=6

在RL^OBO中，OD=-^—=斗=\,

tan60075

???陰影部分的面積=5HOD~S時(shí)形OCD

16X1—膽!

2180

757c

------?

23

14.⑴N8￡D=60。

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，得出430=90。，進(jìn)而求出NA0H和N80D,再根據(jù)圓

周角定理得出答案；

(2)根據(jù)條件可知N&96=/EO￡>,從而NBOF=/D0F,易證得到

4ODF=ZVBF,即證出OO_L。/，從而。尸與G。相切.

【詳解】(1)解:連接0B,

切。于點(diǎn)8,

??.OBA.AB,

ZOBA=90°,

在Rt.OAA中，ZA=30°,

ZAOB=90°-ZA=60°,

N8OD=180。-ZAQ8=120°,

BD二BD，

第18頁(yè)共38頁(yè)

NBED=-NBOD=60°；

2

(2)證明：在［O中，OB=OD,

??BE=DE，

:.ZEOB=ZEOD,

ZEOB+ZBOF=ZEOD+/DOF=180°,

;./BOF=eOF,

OF=OF,

.±OBFaODF(SAS),

:.ZODF=ZOBF,ZOBF=180°-NOBA=90°,

NODF=90。,

：.ODLDF,

?點(diǎn)。在：O上，

二.DF與O相切.

E乙-----

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形

的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，掌握并靈活運(yùn)用用關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

15.（1）見解析

⑵8

【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得NP=NEQP,由同弧所代圓周角相等得NP=NC,利用內(nèi)錯(cuò)

角相等兩直線平行即可判定；

（2）連接OC,根據(jù)垂徑定理可得OC=OB=;A8和?！?g。。，利用勾股定理可求得OE,

即可求得跖.

【詳解】（I）證明：???FP=FD,

???4P=4FDP,

第19頁(yè)共38頁(yè)

???NP=NC,

，4C=ZFDP,

???PDBC-

(2)連接OC,如圖,

C

D

?「A3是直徑，ABLCD,

???￡為CO的中點(diǎn)，

VAB=26,C￡>=24,

AOC=OB=-AB=\3,CE=-CD=\2,

22

:?OE=>JOC2-CE2=V132-122=5，

貝ijBE=O8-OE=13-5=8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊對(duì)等角、同弧所對(duì)圓周角相等、平行線的判定、垂徑定理和勾股

定理，解題的關(guān)鍵是熟練使用垂徑定理等圓的相關(guān)知識(shí).

16.(1)見解析

⑵8喂

【分析】(1)連接。。，A。，由圓周角定理可知由等腰三角形的性質(zhì)可知以)=CQ,

由AO=OC,可知。。是XAC的中位線，可得OO〃A8,進(jìn)而可知。E八ODt由。。為：O

半徑，即可證明。石是。的切線；

(2)利用勾股定理可得AO=12,利用面積法可得。尸=三6().

JLJ

【詳解】(I)證明：如圖，連接0。，AD,

第20頁(yè)共38頁(yè)

B

???AC是直徑，

，ADIBC,

又：在ABC中，AB=AC,

:,BD=CD,即。是BC的中點(diǎn)，

VAO=OC,即。是AC的中點(diǎn)，

工。。是ABC的中位線，

:.OD//AI3,

又：DE±AB,

/.DE八0D,

?；0D為，。半徑，

是Q的切線；

(2)解：V4C=13,BD=5,AB=AC,

/.AC=AB=13,AD=X/132-52=12?

\-ADxBD=-ABxDF

22t

.八尸60

13

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股

定理，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶7&

【分析】(1)連接。0,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出NOCO=/ODC,根據(jù)AC是GO的直徑.得

出乙40C=9U。，才艮據(jù)N&D4=NACD,得出乙4"7+=90。，說(shuō)明/以必=鞏尸，得出

第21頁(yè)共38頁(yè)

0D1DE,即可證明結(jié)論;

(2)根據(jù)A8=8C,得出AB=AC，說(shuō)明NAO8=NCD8,即可證明結(jié)論;

(3)過(guò)點(diǎn)8作瓦7J,8。交0c延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，證明,ABD^CBH(ASA),得出AD=CH,

BD=BH,求出DH=CD+CH=14,根據(jù)勾股定理得出BD2=DH2-BH2，求出2BD2=196,

即可求出結(jié)果.

【詳解】(I)證明：連接00,如圖.

'：OC=OD,

???/OCD=/ODC,

???AC是的直徑.

/.ZA￡)C=90°,B|JZADO+ZODC=90°,

ZEDA=ZACDt

/.ZADO+ZEDA=90°,即/EDO=90。，

IODIDE,

又???。。是半徑，

工直線OE是，。的切線.

(2)?；AB=BC,

?*-AB=BCr

:.ZADB=/CDB,

DB平分ZADC.

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)8作BHd.8D交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

、、?

7、H

NDBH=90。.

〈AC是。的直徑,

???NA8C-

第22頁(yè)共38頁(yè)

,/ZABD=90°-Z.DBC,NCB，=90°-N。8c.

，ZABD=NCBH,

???四邊形ABC。內(nèi)接于O,

/.ZBAD+ZBCD=180°,

ZBCD+ZBCH=\S0°f

，NBAD=NBCH,

,/AB=CB,

AB的一CBH(ASA),

；?AD=CH,BD=BH,

VAD=6,CD=8,

:?CH=6,

：,DH=CD+CH=\4,

在中，BD2=DH2-BH2^BD=BH,

???25=196，

???BD=7叵.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理,

等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握基本的判定和性質(zhì).

18.(1)證明見解析

⑵證明見解析

⑶14及

【分析】(1)先證明NZMD=NC8D,再證明N8/D=NDW,即可證明03=。/；

(2)欲證明直線CE為。的切線，只要證明BC_LCE即可；

4

(3)要根據(jù)tan/AQ8=；,8C=20,求4。的長(zhǎng)，只要求得8。的長(zhǎng)即可，

【詳解】(1)點(diǎn)/為JBC的內(nèi)心

:&BI=NCBI,/BAD=NCAD

又NCBD=NCAD

J/BAD=/CBD

々BID=/BAD+乙鋁I

第23頁(yè)共38頁(yè)

ZDBI=NCBD+NCBI=ZC4D+ZABI=ZR4D+ZABl

:"BID=NDBI；

:.DB=DI、

由(1)得：ZBAD=ZCAD

則4。=8

BD=DE

:.BD=DE=CD

V8c為《9的直徑，

:.NBDC=NCDE=/)。

:.NBCO=N￡CD=45。

/.ZBCE=90°,^BCLCE

又BCRO的直徑

，直線CE為。的切線；

(3)BC為。的直徑

.?一ABC為直角三角形

4

「.tanZACH=tan/ADB=—

3

不妨設(shè)A4=4x,AC=3x

則有HD?+(3x)2=202,

解得：x=4

/.AB=\(),AC=\2

,BC=V162+122=20

第24頁(yè)共38頁(yè)

過(guò)點(diǎn)/作/”_LAC交4c于點(diǎn)兒連接a,如圖所示.

???點(diǎn)/為的內(nèi)心，

???點(diǎn)/到“3C三邊的距離相等,

-AI3AC=-ABJH+-ACIH+-13CIH,

2222

/.16xl2=16/H+12/H+20//7,

；?IH=4

由⑵得：BD=DE=CD,ZBCE=90°

/.ZHAI=ZCBD=45°

：.AI=IH=4=472

sin45°sin45°

同理可得：BE=2042

DI=DB=10立

AD=A/+Df=4yf2+\(>j2=\4>/2

故AO的長(zhǎng)為140.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的判定，等腰三角形的判定,

解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)