（寒假）人教版數學七年級寒假精講精練07 相交線與平行線章節(jié)復習+隨堂檢測（原卷版）

第頁07相交線與平行線本章知識綜合運用六個六個概念●●1、相交線：兩條直線相交所成的四個角中，有4對鄰補角，2對對頂角.(1)◆鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．◆鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．(2)◆對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．◆對頂角的性質：對頂角相等．●●2、垂線：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．【注意】垂直是相交的一種特殊位置.●●3、“三線八角”：①兩條直線被第三條直線所截形成的8個角中，有4對同位角，2對內錯角，2對同旁內角.②同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．●●4、平行線平行線定義：在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．◆在同一平面內，不重合的兩條直線只有兩種位置關系：相交和平行.◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．●●5、平移：在平面內，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．◆作圖-平移變換（1）確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．（2）作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．●●6、命題：◆命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．◆定理：經過推理證實的真命題叫做定理，定理可以作為繼續(xù)推理論證的依據．◆證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證一個公理一個公理●●平行公理及推論1、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2、推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c..一個判定一個判定●●平行線的判定方法判定方法一：平行線的定義判定方法二：判定定理1：同位角相等，兩直線平行．判定方法三：判定定理2：內錯角相等，兩直線平行．判定方法四：判定定理3：同旁內角互補，兩直線平行．判定方法五：平行公理的推論．判定方法六：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線垂直.三個性質三個性質●●1、垂線的性質①在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．②連接直線外一點與這條直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短．●●2、平行線的性質性質定理1：兩直線平行，同位角相等．性質定理2：兩直線平行，同位角相等．性質定理3：兩直線平行，同旁內角互補．【注意】平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．●●3、平移的性質①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或在同一條直線上）且相等．一個方法一個方法●●過拐點作平行線解決平行線中的折線問題幾何中常通過添加適當的輔助線建立已知和未知之間的“橋梁”，遇到平行線中折線問題，通常過拐點作一條平行線，利用平行公理的推論得出三條直線互相平行題型一題型一相交線的有關概念與性質【例題1】如圖，直線AB、CD相交于點O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE，若∠BOD＝32°，則∠BOE的度數為（）A．32° B．48° C．58° D．64°解題技巧提煉在求角的度數時經常要用到鄰補角和對頂角的性質，解決此類的問題是觀察、分析、找出所求角與已知角之間的關系，并理清各角之間的關系，特別是相等關系.【變式1-1】圖中∠1與∠2是同位角的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】如圖，小華同學的家在點P處，他想盡快到達公路邊去接從外地回來的外婆，他選擇沿線段PC去公路邊，他的這一選擇用到的數學知識是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間直線最短 C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短【變式1-3】如圖，直線AB，CD相交于點O，OM⊥AB．（1）若∠1＝20°，∠2＝20°，則∠DON＝；（2）若∠1＝∠2，判斷ON與CD的位置關系，并說明理由；（3）若∠1=14∠BOC，求∠AOC和∠題型二題型二同位角、內錯角、同旁內角的識別【例題2】如圖，下列說法正確的是（）A．∠1與∠2是同位角 B．∠1與∠2是內錯角 C．∠1與∠3是同位角 D．∠2與∠3是同旁內角解題技巧提煉本題主要是考查“三線八角”的識別，熟練掌握三類角的特征是關鍵，同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．學會在復雜圖形中進行判斷.【變式2-1】如圖，∠ABD的同旁內角共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-2】指出圖中各對角的位置關系：（1）∠C和∠D是角；（2）∠B和∠GEF是角；（3）∠A和∠D是角；（4）∠AGE和∠BGE是角；（5）∠CFD和∠AFB是角．【變式2-3】如圖，填空．（1）若直線ED，BC被直線AB所截，則∠1與是同位角；（2）若直線ED，BC被直線AF所截，則∠3與是內錯角；（3）∠1與∠3是直線AB和直線AF被直線所截構成的角；（4）∠2與∠4是直線和直線被直線BC所截構成的角；（5）圖中∠5的同旁內角有個，它們是．題型三題型三平行線判定方法的綜合運用【例題3】如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠B C．∠A＝∠3 D．∠A＝∠1+∠2解題技巧提煉正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角，結合平行線的幾種判定綜合論證.【變式3-1】如圖所示，添加一個條件，使AB∥CE，則添加的條件為．【變式3-2】如圖，AB⊥EF于點B，CD⊥EF于點D，∠1＝∠2（1）證明：AB∥CD；（2）試判斷BM與DN是否平行？為什么？【變式3-3】如圖，已知點E在直線DC上，射線EF平分∠AED，過E點作EB⊥EF，G為射線EC上一點，連接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．（1）求證：∠DEF＝∠EBG；（2）若∠EBG＝∠A，求證：AB∥EF．題型四題型四平行線性質的綜合運用【例題4】如圖，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，則∠AEB的度數為．解題技巧提煉綜合利用平行線的性質，正確探究出“三線八角”中同位角、內錯角、同旁內角之間的關系.【變式4-1】如圖，已知點D為∠EAB內一點，CD∥AB，DF∥AE，DH⊥AB交AB于點H，若∠A＝40°，則∠FDH的度數為（）A．120° B．130° C．135° D．140°【變式4-2】如圖，已知AB∥CD，∠B＝40°，點E在DC的延長線上，CN是∠BCE的平分線，CM⊥CN，求∠BCM的度數．【變式4-3】如圖，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝30°，則∠NMP等于（）A．10° B．15° C．5° D．7.5°題型五題型五平行線判定與性質的綜合運用【例題5】如圖直線a，b分別被直線c，d所截，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，則∠4的度數等于（）A．72° B．80° C．82° D．108°解題技巧提煉平行線的判定和性質在解題中經常反復使用，看到角相等或互補就應該想到能否判定兩直線平行，看到直線平行就應該想到能否證明相關的角相等或互補.【變式5-1】如圖，下面推理過程正確的是（）A．因為∠B＝∠BCD，所以AB∥CD B．因為AB∥CD，所以∠1＝∠2 C．因為∠BAD+∠B＝180°，所以AD∥BC D．因為∠1＝∠B，所以AD∥BC【變式5-2】如圖，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，則∠1與∠2是否相等？說說你的理由．【變式5-3】已知A、B、C不在同一直線上，順次連接AB、BC、CA．（1）如圖①，點D在線段BC上，DE∥AB交AC于點E，∠EDF＝∠A．求證：DF∥AC．（2）如圖②，若點D在BC的延長線上，DE∥AB交AC的延長線于點E，DF∥AC交BA的延長線于點F．問∠EDF與∠BAC有怎樣的關系，說明理由．題型六題型六利用平行線的性質解決學具操作及折疊問題【例題6】如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點C，D分別落在點C′，D′處，D′E與BF交于點G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數是（）A．77° B．64° C．26° D．87°解題技巧提煉本題是給出了一個長方形的折疊問題或是把三角尺與直尺之間的夾角放到平行線中，利用折疊的特征和平行線的性質求解是解題的關鍵.【變式6-1】一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數為（）A．28° B．56° C．36° D．62°【變式6-2】已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式放置（∠ABC＝30°），并且頂點A，B分別落在直線m，n上，若∠1＝38°，則∠2的度數是（）A．20° B．22° C．28° D．38°【變式6-3】如圖1，∠DEF＝24°，將長方形紙片ABCD沿直線EF折疊成圖2，再沿直線GF折疊成圖3，則圖3中∠CFE＝．題型題型七利用平行線的性質和判定解決生活實際問題【例題7】一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，前進的方向仍與原來相同，那么這兩次轉彎的角度可以是（）A．先右轉80°，再左轉100° B．先左轉80°，再右轉80° C．先左轉80°，再左轉100° D．先右轉80°，再右轉80°解題技巧提煉本題是給出了一個生活中的實際問題，分析題意，選擇適當的判定方法或者是平線的性質來求解.【變式7-1】如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【變式7-2】如圖，兩面平面鏡OA、OB形成∠AOB，從OB上一點E射出的一條光線經OA上一點D反射后的光線DC恰好與OB平行，已知∠AOB＝35°，∠ODE＝∠ADC，則∠DEB的度數是．題型題型八真假命題的判斷【例題8】下列四個命題：①同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行；④從直線外一點作這條直線的垂線段叫點到直線的距離．其中是真命題的是．解題技巧提煉判斷命題的真假時，真命題需說明理由；假命題只需舉一個反例即可；舉反例是說明一個命題是假命題的常用方法.【變式8-1】判斷命題“如果x2＞0，那么x＞0“是假命題，只需舉出一個反例．反例中的x可以為（）A．2 B．12 C．0 D．﹣【變式8-2】下列命題是真命題的是（）A．內錯角相等 B．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行 C．相等的角是對頂角 D．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【變式8-3】如圖，從①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三個條件中選出兩個作為題設，另一個作為結論可以組成3個命題．從中選擇一個真命題，寫出已知求證，并證明．如圖，已知，求證：．（填“①”，“②”，“③”）證明：【變式8-5】如圖，直線AB，CD被直線AE所截，直線AM，EN被MN所截．請你從以下三個條件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，得出一個正確的命題．（1）請按照：“∵，；∴”的形式，寫出所有正確的命題；（2）在（1）所寫的命題中選擇一個加以證明，寫出推理過程．題型題型九通過閱讀填寫推理過程【例題9】推理填空如圖，已知∠BCD+∠B＝180?，AE平分∠BAD，CD與AE相交于點F，∠CFE＝∠E．求證：AD∥BC．證明∵AE平分∠BAD（已知），∴∠1＝∠2（），∵∠BCD+∠B＝180?，∴AB∥CD（），∴∠1＝（），∵∠CFE＝∠E（已知），∴∠1＝∠E（），∴∠2＝，∴AD∥BC（）．解題技巧提煉給出一個平行線判定問題的求解過程，要求填寫理由，對于這種題型要認真分析題意，然后聯系上下文求解.【變式9-1】已知某品牌遮陽傘如圖①所示，圖②是其剖面圖，若AG同時平分∠BAC與∠EDF，且AB∥ED，則AC∥DF嗎？請在下面括號內填寫理由．解：∵AB∥DE∴∠＝∠（）∵AG同時平分∠BAC與∠EDF（已知）∴∠DAC＝∠DAB，∠GDF＝∠GDE（）∴∠DAC＝∠GDF（）∴AC∥DF（）【變式9-2】如圖，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，試說明∠ADC＝90°．請完善解答過程，并在括號內填寫相應的理論依據．解：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥．（）∴∠2＝∠DAC．（）∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代換）∴AD∥EF．（）∴∠ADC＝∠．（）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°．（）∴∠ADC＝90°．（等量代換）題型題型十通過添加輔助線解決拐點問題【例題10】閱讀下列解題過程：如圖，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度數．解：過E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF（平行的傳遞性）AB∥EF?∠B＝∠1＝35°又因為CD∥EF?∠D＝∠2＝32°所以∠BED＝∠BED＝∠1+∠235°+32°＝67°（等量代換）然后解答下列問題：如圖，是明明設計的智力拼圖玩具的一部分，現在明明遇到兩個問題，請你幫他解決：問題（1）：∠D＝30°，∠ACD＝65°，為了保證AB∥DE，∠A＝；問題（2）：∠G+∠F+∠H＝°時，GP∥HQ．解題技巧提煉當兩條平行線不是被第三條直線所截，而是被一條折線所截時，平行線的性質則不能直接應用，因此需過折線的“轉折點”作一條平行線，利用平行公理的推論得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質解決問題.【變式10-1】如圖，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索圖中角α，β，γ之間的關系式正確的是（）A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°【變式10-2】如圖所示，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，則∠C+∠D的值為．【變式10-3】如圖，AB∥CD．（1）如圖①，若∠CMN＝90°，點B在射線MN上，∠ABM＝120°，求∠C的度數；（2）如圖②，若∠CMN＝150°，請直接寫出∠ABM與∠C的數量關系．【變式10-4】如圖，MN∥OP，點A為直線MN上一定點，B為直線OP上的動點，在直線MN與OP之間且在線段AB的右方作點D，使得AD⊥BD．設∠DAB＝α（α為銳角）．（1）求∠NAD與∠PBD的和；（提示過點D作EF∥MN）（2）當點B在直線OP上運動時，試說明∠OBD﹣∠NAD＝90°；（3）當點B在直線OP上運動的過程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，請求出此時α的值題型題型十一平移性質的應用【例題11】如圖是一塊從一個邊長為50cm的正方形材料中裁出的墊片，現測量FG＝8cm，求這個墊片的周長．解題技巧提煉解決這類問題時，根據平移的性質，利用平移前后的對應線段相等和平移的距離得出圖形各邊的長，進而解決求圖形的周長或面積問題，通過平移把不規(guī)則圖形的面積轉化成規(guī)則圖形的面積來求解.【變式11-1】如圖，在8×8的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1個單位長度，△ABC的頂點都在正方形網格的格點上．（1）將△ABC經平移后得到△A′B′C′，點A的對應點是點A′．畫出平移后所得的△A′B′C′；（2）連接AA′、CC′，則線段AA′、CC′的位置關系為，線段AA′、CC′的數量關系為；（3）四邊形AA′C′C的面積為．【變式11-2】如圖，一塊長為am，寬為bm的長方形草地上，有一條彎曲的小路，小路左邊線向右平移tm就是它的邊線．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，則小路面積與綠地面積的比為（）A．19 B．110 C．211【變式11-3】如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝5，將直角梯形ABCD沿AB方向平移2個單位得到直角梯形EFGH，HG與BC交于點M，且CM＝1，則圖中陰影部分的面積為．【變式11-4】如圖是一塊長方形的草地，長為21m．寬為15m．在草地上有兩條寬為1米的小道，長方形的草地上除小道外長滿青草．求長草部分的面積為多少？題型十題型十二綜合壓軸探究題【例題12】已知，直線l1∥l2，直線l3和l1，l2分別交于C，D點，點A，B分別在直線l1，l2上，且位于直線l3的左側，動點P在直線l3上，且不和點C，D重合．（1）如圖1，當動點P在線段CD上運動時，求證：∠APB＝∠CAP+∠DBP；（2）如圖2，當動點P在點C上方運動時（P，A，B不在同一直線上），請寫出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數量關系，并選擇其中一種的數量關系說明理由.解題技巧提煉解決這類問題主要是運用綜合分析法，靈活運用本章節(jié)所學的知識來解決問題，在解題過程中會用到轉化思想或分類討論的思想，得出各種情況下的結論.【變式12-1】直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內部．（1）當點E，F在直線AB的同側；①如圖1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度數；②如圖2，若OF平分∠BOE，請判斷OC是否平分∠AOE，并說明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數量關系．07相交線與平行線隨堂檢測1.如圖，當剪刀口∠AOB的度數減小5°時，∠COD的度數（）A．不變 B．減少5° C．增大5° D．增大10°2.（）A．∠3與∠4是同旁內角 B．∠2與∠5是同位角 C．∠6與∠1是內錯角 D．∠2與∠6是同旁內角3.如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結論中正確的是（）①線段BP的長度是點P到直線l的距離；②線段AP是A點到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點P到直線l的距離.A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④4.如圖，下列能判定AB∥CD的條件有（）個（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+