（寒假）人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)寒假精講精練03 平行線的性質(zhì)+隨堂檢測(cè)（原卷版）

第頁(yè)03平行線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一平行線的性質(zhì)◆1、平行線性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(兩直線平行，同位角相等)．性質(zhì)定理2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．性質(zhì)定理3：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．◆2、平行線的判定與性質(zhì)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別：區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二命題及其組成◆1、概念：判斷一件事情的語句，叫做命題．【注意】1、命題必須滿足的條件：①必須是語句；②對(duì)一件事情作出判定；二者缺一不可.2、命題只需具有“判斷”功能，而不論這個(gè)判斷是否對(duì)錯(cuò).◆2、命題的組成每個(gè)命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三真、假命題◆1、真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；◆2、假命題：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四定理與證明◆1、定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理，定理可以作為繼續(xù)推理論證的依據(jù)．◆2、證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明.（a）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．◆3、證明的一般步驟：①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；③經(jīng)過分析，找出由已知條件推出結(jié)論的方法，或依據(jù)結(jié)論探尋所需要的條件，再由題設(shè)進(jìn)行挖掘，尋求證明的途徑；④書寫證明過程.題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例題1】如圖，AB∥CD，直線EF分別與直線AB、直線CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度數(shù)．解題技巧提煉兩直線平行時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個(gè)性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù).【變式1-1】如圖，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，則∠3的度數(shù)為（）A．46° B．90° C．96° D．134°【變式1-2】如圖，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．35°【變式1-3】如圖，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，則∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°【變式1-4】已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．【變式1-5】如圖，點(diǎn)C在∠MON的一邊OM上，過點(diǎn)C的直線AB∥ON，CD平分∠ACM．當(dāng)∠DCM＝60°時(shí)，求∠O的度數(shù)．【變式1-6】如圖，DB∥FG∥EC，A是FG上的一點(diǎn)，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度數(shù)．題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直【例題2】已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H，求證：CD⊥AB．解題技巧提煉準(zhǔn)確識(shí)別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解.【變式2-1】如圖，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，試說明BC⊥AB．【變式2-2】已知，如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，試說明DA⊥AB．【變式2-3】如圖，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF平分∠DCE．求證：CF⊥AE．題型三平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型三平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題3】如圖，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，則∠4＝（）A．120o B．80o C．60o D．75o解題技巧提煉平行線的判定和性質(zhì)在解題中經(jīng)常反復(fù)使用，見到角相等或互補(bǔ)就應(yīng)該聯(lián)想到能否判定兩條直線平行，見到直線平行就應(yīng)該聯(lián)想到能否證明相關(guān)的角相等或互補(bǔ).【變式3-1】如圖，AB∥CD∥EF，則下列各式中正確的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【變式3-2】如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求證：AB∥CD．【變式3-3】如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)F、G分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若∠F＝∠G，求證：DG∥BF．【變式3-4】如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度數(shù)．【變式3-5】有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線AD，BC，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接CE，DE后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住點(diǎn)E，拖動(dòng)后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時(shí)他突然一想，∠C，∠D與∠DEC之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計(jì)算”功能，找到了這三個(gè)角之間的關(guān)系．（1）請(qǐng)直接寫出圖①到圖④各圖中的∠C，∠D與∠DEC之間的關(guān)系嗎？（2）請(qǐng)從圖③④中，選一個(gè)說明它成立的理由．【變式3-6】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB∥CD，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C＝∠BEC．請(qǐng)把下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（）．∴∠C＝∠CEF．（）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，E、F、G是AB與CD之間的點(diǎn)，直接寫出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的數(shù)量關(guān)系．題型四利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際問題題型四利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際問題【例題4】如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子．已知光線經(jīng)過鏡子反射時(shí)，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？解題技巧提煉給出一個(gè)實(shí)際問題，聯(lián)系平行線的性質(zhì)解答實(shí)際問題，有時(shí)需要通過作輔助線構(gòu)造平行線，同時(shí)還會(huì)綜合運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì).【變式4-1】如圖，在A、B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時(shí)開工，若干天后公路準(zhǔn)確接通，若公路AB長(zhǎng)8千米，另一條公路BC長(zhǎng)是6千米，且BC的走向是北偏西42°，則A地到公路BC的距離是千米．【變式4-2】學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)后，老師給小明出了一道題：如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是多少度？請(qǐng)你幫小明求出（）A．120° B．130° C．140° D．150°【變式4-3】某學(xué)員在駕校練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【變式4-4】工人師傅對(duì)一個(gè)如圖所示的零件進(jìn)行加工，把材料彎成了一個(gè)40°的銳角，然后準(zhǔn)備在A處第二次加工拐彎，要保證彎過來的部分與BC保持平行，彎的角度應(yīng)是．【變式4-5】如圖1是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2是乎動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題【例題5】如圖所示，把一張長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠1＝58°，則∠AEG的度數(shù)（）A．58° B．64° C．72° D．60°解題技巧提煉結(jié)合長(zhǎng)方形的性質(zhì)，對(duì)邊是互相平行的，從而綜合折疊的特征和平行線的性質(zhì)求解即可.折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生了變化.【變式5-1】如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C′，D′處，D′E與BF交于點(diǎn)G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數(shù)是（）A．77° B．64° C．26° D．87°【變式5-2】如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊后使兩部分重合，若∠1＝30°，則∠AEF＝（）A．100° B．150° C．110° D．105°【變式5-3】如圖，把△ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，BC∥DE；若∠B＝50°，則∠BDF的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．100°【變式5-4】已知長(zhǎng)方形紙條ABCD，點(diǎn)E，G在AD邊上，點(diǎn)F，H在BC邊上．將紙條分別沿著EF，GH折疊，如圖，當(dāng)DC恰好落在EA'上時(shí)，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【變式5-5】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的兩個(gè)角相差18°，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°題型六借助三角尺求角的度數(shù)題型六借助三角尺求角的度數(shù)【例題6】已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°．則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．45° C．52° D．58°解題技巧提煉借助三角尺求角的度數(shù)主要是利用三角尺的特征，結(jié)合平行線的性質(zhì)一般解決求角的度數(shù)問題.【變式6-1】如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)按如圖所示擺放在直尺的一邊上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【變式6-2】如圖，直線a∥b，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝58°，則∠2的度數(shù)為（）A．58° B．42° C．32° D．30°【變式6-3】將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若AC∥DE．則∠BAE的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．65° D．55°【變式6-4】如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°題型七命題的識(shí)別及改寫題型七命題的識(shí)別及改寫【例題7】下列語句是命題的是（）A．延長(zhǎng)線段AB至C B．垂線段最短 C．直線AB平行于直線CD嗎 D．不許大聲講話解題技巧提煉命題是判斷一件事情的語句，正確區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論是把命題寫成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．命題改寫的原則是不改變?cè)}的原意．【變式7-1】下列語句中，不是命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ) C．平角是一條直線 D．延長(zhǎng)線段AO到點(diǎn)C，使OC＝OA【變式7-2】下列命題是真命題的是（）A．同位角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等 C．相等的角是對(duì)頂角 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【變式7-3】下列命題中是假命題的是（）A．對(duì)頂角相等 B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．平行于同一條直線的兩條直線平行【變式7-4】已知：在同一平面內(nèi)，三條直線a，b，c．下列四個(gè)命題為真命題的是．（填寫所有真命題的序號(hào)）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【變式7-5】對(duì)假命題“若a＞b，則a2＞b2”舉反例，正確的反例是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 B．a(chǎn)＝2，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2【變式7-6】下列命題：①兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③內(nèi)錯(cuò)角相等；④a，b，c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式7-7】把下列命題改寫成“如果…那么…”的形式，并指出命題的真假．（1）等角的補(bǔ)角相等．（2）垂直于同一直線的兩直線平行．【變式7-8】判斷下列命題的真假，若是假命題，舉出反例．（1）若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等；（2）若a+b＝0，則ab＝0；（3）若ab＝0，則a+b＝0．題型八命題的分析與證明題型八命題的分析與證明【例題8】如圖，在三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是AC上一點(diǎn)，連接DG，且∠1＝∠2．求證：AB∥DG．解題技巧提煉本題考查了命題證明的書寫，推理過程要具有邏輯性，在解題的過程中需要綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定.【變式8-1】已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．求證：DE∥BC．【變式8-2】如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求證：AB∥CD．【變式8-3】如圖，在四邊形ABCD中．點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，交BC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求證：∠E＝∠F．【變式8-4】如圖，EF⊥AC交AC于點(diǎn)F，DB⊥AC交AC于點(diǎn)M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求證：AB∥MN．【變式8-5】如圖，點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．求證：（1）∠2＝∠CBD；（2）MD∥BC．【變式8-6】如圖，∠ABC的兩邊分別平行于∠DEF的兩條邊，且∠ABC＝45°．（1）圖1中：∠DEF＝，圖2中：∠DEF＝；（2）請(qǐng)觀察圖1、圖2中∠DEF分別與∠ABC有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)你歸納出一個(gè)命題．平行線的性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.下列語句是命題的是（）A．畫出兩個(gè)相等的角 B．所有的直角都相等嗎？ C．延長(zhǎng)線段AB到C，使得BC＝BA D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等2.已知，直線m∥n，將含30°的直角三角板按照如圖位置放置，∠1＝25°，則∠2等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°3.如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E．若∠C＝50°，則∠AEC的大小為（）A．55° B．65° C．70° D．80°4.有下列四種說法：（