(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)寒假講義09 平行四邊形的性質(zhì)+隨堂檢測(cè)（原卷版）

第頁09平行四邊形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一平行四邊形的定義知識(shí)點(diǎn)一平行四邊形的定義◆1、定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.◆2、表示方法：平行四邊形用符號(hào)“□”表示，平行四邊形ABCD記作：“□ABCD”，讀作:“平行四邊形ABCD”.◆3、幾何語言：(雙重含義)∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（判定）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC（性質(zhì)）知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)●●平行四邊形的性質(zhì)：◆1、邊：①平行四邊形的對(duì)邊平行；②平行四邊形的對(duì)邊相等．幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，◆2、角：①平行四邊形的對(duì)角相等．②平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ).幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D◆3、對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=OD知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三兩條平行線間的距離◆1、定義：兩條平行線線之間的距離.◆2、兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等.◆3、如果有兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.如圖（1），a∥b，c∥d，c，d與a，b分別相交于A，B，C，D四點(diǎn).由平行四邊形的概念和性質(zhì)可知，四邊形ABDC是平行四邊形，即AB=CD；如圖（2）線段AB（或CD）的長即為兩條平行線之間的距離.◆4、三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系距離兩點(diǎn)之間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線之間的距離區(qū)別連接兩點(diǎn)的線段的長度.點(diǎn)到直線的垂線段的長度.兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.聯(lián)系都是指線段的長度.◆5、“兩條平行線間的距離處處相等”，在作平行四邊形的高時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置.(常常用來解決三角形同底等高問題.)題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長【例題1】如圖，?ABCD的周長為30，AD：AB＝3：2，那么BC的長度是（）A．9 B．12 C．15 D．18解題技巧提煉平行四邊形中求有關(guān)線段的方法是利用平行四邊形對(duì)邊分別相等，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)來求解決的.【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是（）A．11 B．10 C．9 D．8【變式1-2】平行四邊形的一邊長是9cm，那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長可以是（）A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm【變式1-3】BF＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【變式1-4】如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，則AC的長為【變式1-5】在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB＝6，EF＝2，求BC的長．題型二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度題型二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度【例題2】在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．140° B．120° C．100° D．40°解題技巧提煉平行四邊形中求有關(guān)角度的方法是利用平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，并且已知一個(gè)角或已知兩鄰角的關(guān)系可求出其它三個(gè)角的度數(shù).【變式2-1】在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【變式2-2】如圖，在?ABCD中，AE⊥CD于點(diǎn)E，∠B＝60°，則∠DAE等于（）A．15° B．25° C．30° D．65°【變式2-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，則∠A的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．150° D．105°【變式2-4】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在BC上，且CD＝CE，連接DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，若∠DAF＝48°，則∠C的度數(shù)為（）A．84° B．96° C．98° D．106°【變式2-5】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．（1）求證：△ABC≌△EAD；（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度數(shù)．題型三利用平行四邊形的性質(zhì)求周長或面積題型三利用平行四邊形的性質(zhì)求周長或面積【例題3】如圖，EF過平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，交AD于E，交BC于F，若平行四邊形ABCD的周長為36，OE＝3，則四邊形ABFE的周長為（）A．24 B．26 C．28 D．30解題技巧提煉1、平行四邊形的周長=2(a+b)（其中a、b分別為兩相鄰邊的邊長）

2、平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【變式3-1】如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，則平行四邊形ABCD的周長為．【變式3-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交CD，AB于點(diǎn)E、F，連接CF．若△BCF的周長為4，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．14 B．12 C．10 D．8【變式3-3】如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，則圖中陰影部分的面積是．【變式3-4】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，則四邊形ABCD的面積為．【變式3-5】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于F，交DC的延長線于E，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G．（1）求證：AG＝FG；（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由；（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四邊形ABCD的面積．題型四利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型四利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例題4】如圖，在?ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AB、AC、ED．若AE＝AB，求證：AC＝DE．解題技巧提煉平行四邊形的定義、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)在有關(guān)平行四邊形的證明中，常常結(jié)合在一起綜合應(yīng)用，而利用平行四邊形的定義、平行線的性質(zhì)獲得三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.【變式4-1】已知：?ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，連接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求證：AE＝CF．【變式4-2】如圖，?ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是OB、OD上的中點(diǎn)．連接AE、CF．求證：∠DAE＝∠BCF．【變式4-3】已知：如圖在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，且AM＝DM，CM、BA的延長線相交于點(diǎn)E，BM平分∠ABC．求證：BM⊥CE．【變式4-4】如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF，連接EF交BD于O．（1）求證：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當(dāng)FG＝1時(shí)，求AE的長．【變式4-5】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連接BE，BE⊥AF．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積．題型五兩條平行線間的距離及其應(yīng)用題型五兩條平行線間的距離及其應(yīng)用【例題5】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)M在邊AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分別為E、N，則平行線AB與CD之間的距離是（）A．AE的長 B．MN的長 C．AB的長 D．AC的長解題技巧提煉兩條平行線間的距離指的是：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長度，平行線間的處處都相等，在作平行四邊形的高時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置.【變式5-1】如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)C分別作邊AB，AD的垂線CM，CN，垂足分別為M，N，則直線AB與CD的距離是（）A．CD的長 B．BC的長 C．CM的長 D．CN的長【變式5-2】如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直線MN交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，EF于點(diǎn)O．若直線AB和CD之間的距離可以是圖中一條線段的長，則這條線段是（）A．MN B．OE C．EF D．OF【變式5-3】如圖，直線a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a與b的距離是5cm，b與c距離是2cm，則a與c的距離．【變式5-4】在同一平面內(nèi)，設(shè)a、b、c是三條互相平行的直線，已知a與b間的距離為5cm，b與c間的距離為2cm，則a與c間的距離為（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【變式5-5】如圖，已知AB∥CD，O為∠CAB、∠ACD的角平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，則兩平行線AB、CD間的距離等于．題型六平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系的綜合題型六平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系的綜合【例題6】如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別是（1，0），（﹣3，0），（0，2），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）解題技巧提煉在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，主要考查平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題時(shí)，利用了平行四邊形的對(duì)邊相等且平行的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，有時(shí)需要分情況討論．【變式6-1】?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是為A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）【變式6-2】如圖，已知?ABCD三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）【變式6-3】如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）【變式6-4】如圖，若?ABCD的頂點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別是（1，1），（3，﹣1），（5，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（﹣4，﹣2） B．（?12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，【變式6-5】平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O為頂點(diǎn)作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）題型七平行四邊形的折疊問題題型七平行四邊形的折疊問題【例題7】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝70°，將平行四邊形折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°解題技巧提煉折疊型問題就是把一個(gè)圖形一部分沿某條直線折疊后，所形成的圖形胃疼，這類問題既是對(duì)稱問題的應(yīng)用又可考查空間想象能力，平行四邊形中的折疊問題是利用平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的全等、平行等知識(shí)在解決問題.【變式7-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上的一個(gè)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，則∠FED′＝（）度．A．40 B．35 C．30 D．50【變式7-1】如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B'處，若∠1＝∠2＝42°，則∠B為（）A．84° B．114° C．116° D．117°【變式7-3】如圖，平行四邊形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直線DE將△ADE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′E交BD于F，則∠DEF＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【變式7-4】如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．若平行四邊形ABCD周長為20，則△ABE周長為（）A．1 B．5 C．10 D．20【變式7-5】如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE恰好過BC邊中點(diǎn)，若AB＝3，BC＝6，則∠B的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°09平行四邊形的性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.在?ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中成立的是（）A．∠A+∠C＝180° B．∠D＝60° C．∠A＝100° D．∠B+∠D＝180°2.關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)，下列說法不正確的是（）A．對(duì)邊相等 B．對(duì)角相等 C．對(duì)角線互相平分 D．鄰角相等3.如圖，已知?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AD＝3，AC＝8，BD＝4，那么BC的長度為（）A．6 B．5 C．4 D．34.在?ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的