上海金山中學2025屆高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

上海金山中學2025屆高三第三次測評數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．3．下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．4．已知集合，則()A． B．C． D．5．若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．6．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．8．以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數(shù)（上一年同月）變化圖表，則以下說法錯誤的是（）（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是北京、天津、上海、重慶）A．3月份四個城市之間的居民消費價格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均B．4月份僅有三個城市居民消費價格指數(shù)超過102C．四個月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費價格指數(shù)增長幅度波動較小D．僅有天津市從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢9．歷史上有不少數(shù)學家都對圓周率作過研究，第一個用科學方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法，而中國數(shù)學家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn)，使得值的計算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．10．若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數(shù)為 D．為純虛數(shù)11．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．1212．設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在上僅有2個零點，設，則在區(qū)間上的取值范圍為_______．14．在平面直角坐標系中，曲線在點處的切線與x軸相交于點A，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點，的面積為3，則的值是______.15．如圖梯形為直角梯形，，圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形，向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點，質(zhì)點落入陰影部分的概率是_____________16．函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時.①求函數(shù)在處的切線方程；②定義其中，求；（2）當時，設，(為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.18．（12分）在中，角的對邊分別為.已知，.（1）若，求；（2）求的面積的最大值.19．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均為正數(shù)，且，求的最小值.20．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分別是AB，A1C的中點.（1）求證：直線MN⊥平面ACB1；（2）求點C1到平面B1MC的距離.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若滿足，，，求.22．（10分）在平面直角坐標系中，，，且滿足（1）求點的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因為，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因為，所以，即，可化為，因為，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題，2、B【解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同，所以，故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應用，注意項的符號特征，屬于基礎題.3、C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即可排除A、D，再根據(jù)時函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域為，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，∴的圖象關(guān)于點成中心對稱.可排除A、D項.當時，，∴B項不正確.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.4、B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學生的運算求解能力.5、B【解析】

利用復數(shù)乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)模的計算，屬于基礎題.6、C【解析】

由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入錐體體積公式，可得答案．【詳解】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其底面面積，高，故體積，故選：．【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．7、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).8、D【解析】

采用逐一驗證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.【詳解】A正確，從圖表二可知，3月份四個城市的居民消費價格指數(shù)相差不大B正確，從圖表二可知，4月份只有北京市居民消費價格指數(shù)低于102C正確，從圖表一中可知，只有北京市4個月的居民消費價格指數(shù)相差不大D錯誤，從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費價格指數(shù)的增長呈上升趨勢故選：D【點睛】本題考查圖表的認識，審清題意，細心觀察，屬基礎題.9、B【解析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．10、D【解析】

將復數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的分類的知識，屬于基礎題.11、C【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點，即求出邊界線的交點坐標，代入目標函數(shù)求得最大值.詳解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時，由圖可得當過點時，取得最大值9，故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應用相應的方法求解.12、D【解析】

整理復數(shù)為的形式,由復數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復數(shù)的除法運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題，難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令，然后根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域，同時要注意新元的范圍.14、【解析】

對求導，再根據(jù)點的坐標可得切線方程，令，可得點橫坐標，由的面積為3，求解即得.【詳解】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線，難度不大.15、【解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點坐標，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出，最后根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：聯(lián)立解得或，即，，，，，故答案為：【點睛】本題考查幾何概型的概率公式的應用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.16、【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①時，，，利用導數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根據(jù)若對任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調(diào)，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切線方程為.②，.令，則,.因為①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減∵，，所以，函數(shù)在上的值域為.因為，，故，，①此時，當變化時、的變化情況如下：—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵，，∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，使得成立，當且僅當滿足下列條件，即令，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對任意，有，即②對任意恒成立.由③式解得：④綜合①④可知，當時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，會根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件．不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．18、（1）；（2）4【解析】

（1）根據(jù)已知用二倍角余弦求出，進而求出，利用正弦定理，即可求解；（2）由邊角，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，求出的最大值，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，，，當且僅當時，的面積有最大值4.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形，應用基本不等式求最值，屬于基礎題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用零點分段討論法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【詳解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（當且僅當時取“=”）.所以的最小值為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖象法、平方法等，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負，而利用圖象法求解時注意圖象的正確刻畫．利用柯西不等式求最值時注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.20、（1）證明見解析.（2）【解析】

（1）連接AC1，BC1，結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1，再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求證直線MN⊥平面ACB1；（2）作交于點，通過等體積法，設C1到平面B1CM的距離為h，則有，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】（1）證明：連接AC1，BC1，則N∈AC1且N為AC1的中點；∵M是AB的中點.所以：MN∥BC1；∵A1A⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴A1A⊥AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，∴AC⊥CC1，∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，∴AC⊥BC