2025屆山東省菏澤市高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆山東省菏澤市高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖，則此函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．4．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或15．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．6．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．7．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個(gè)向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．8．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．9．已知平面向量，滿足且，若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（）A． B． C． D．110．如圖，四邊形為正方形，延長至，使得，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．2012．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，若恒為銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．14．記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則______.15．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______．16．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則的值等于__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人（大小不計(jì)）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長度,例如：該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置．記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達(dá)式．18．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值和最大值.19．（12分）已知圓：和拋物線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）已知直線和圓相切，與拋物線交于兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程；（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切，且分別交拋物線于兩點(diǎn)，若直線的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線：.過點(diǎn)的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；②比較與的大小;（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)時(shí)，，且有唯一零點(diǎn)，證明：．22．（10分）平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于點(diǎn)，曲線與曲線交于點(diǎn)，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡單題目.2、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，由解得，所以的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，而，所以在定義域上為增函數(shù)，且.由得，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.3、B【解析】

由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，通過圖象經(jīng)過點(diǎn)，求出，從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點(diǎn)應(yīng)對(duì)應(yīng)正弦曲線中的點(diǎn)，所以，解得，故函數(shù)表達(dá)式為．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，三角函數(shù)的解析式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

求得直線的斜率，利用曲線的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對(duì)于，令，解得，故切點(diǎn)為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}.6、D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡單題目.8、A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．9、B【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí),到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.10、C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長為1，則，，設(shè)，則，所以，且，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，是一道基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時(shí)故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意可知圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直，恒為銳角，只需直線與圓相離，從而可得，解不等式，再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線與圓相離時(shí)，恒為銳角，故，解得從而離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.14、1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【詳解】由，得，．且，則，即．?dāng)?shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．15、【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為：，令，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為.

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是，能通過展開式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值.16、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點(diǎn)的切線與過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,,,（2）【解析】

（1）根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值；（2）首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）,,（2）設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)（每一步長度為1）,則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,（其中為不超過的最大整數(shù)）總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇（向上或向下）,即等價(jià)于求中含項(xiàng)的系數(shù),為其中含項(xiàng)的系數(shù)為故．【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類討論的思想.18、（1）（2）最大值；最小值.【解析】

（1）結(jié)合極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式可得；（2）利用參數(shù)方程，求解點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求解最值.【詳解】解：（1）因?yàn)?，代入，可得直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線上的點(diǎn)到直線的距離，其中，.故曲線上的點(diǎn)到直線距離的最大值，曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及最值問題，橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值求解優(yōu)先考慮參數(shù)方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、（1）;（2）或．【解析】試題分析:直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且滿足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析：（1）解：設(shè)，，，由和圓相切，得．∴．由消去，并整理得，∴，．由，得，即．∴．∴，∴，∴．∴．∴或（舍）．當(dāng)時(shí)，，故直線的方程為．（2）設(shè)，，，則．∴．設(shè)，由直線和圓相切，得，即．設(shè)，同理可得：．故是方程的兩根，故．由得，故．同理，則，即．∴，解或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故或．20、（1），；（2）.【解析】

（1）將代入求解，由（為參數(shù)）消去即可.（2）將（為參數(shù)）與聯(lián)立得，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則，，再根據(jù)，即，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）把代入，得，由（為參數(shù)），消去得，∴曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程分別是，.（2）將（為參數(shù)）代入得，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則，，由得，所以，即，所以，而，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）①見解析，②見解析；（2）見解析【解析】

（1）①把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到，再求出，利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；②令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）由題意，，在上有唯一零點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，則，再由在上恒成立，得在上單調(diào)遞減，進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增，由此可得．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，，，，又，切線方程為，即；②令，則，在上單調(diào)遞減．又，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．證明：（2）由題意，，而，令，解得．，，在上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又，，．在上單調(diào)遞增，．【點(diǎn)睛】