福建省仙游縣郊尾中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷含解析

福建省仙游縣郊尾中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量的分布列是則（）A． B． C． D．2．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．3．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標(biāo)原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．16．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．7．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．8．已知集合，則集合的非空子集個數(shù)是（）A．2 B．3 C．7 D．89．設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．211．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于（）A．2 B．1 C． D．012．已知集合，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______14．已知點是雙曲線漸近線上的一點，則雙曲線的離心率為_______15．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實數(shù)的值是_______．16．（5分）有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列，已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列，后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列，且前三個和尚的身高之和為cm，中間兩個和尚的身高之和為cm，則最高的和尚的身高是____________cm．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）點是曲線上的一點，試判斷點與曲線的位置關(guān)系．18．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點為極點,以軸正半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點到直線的最大距離.19．（12分）已知拋物線：的焦點為，過上一點（）作兩條傾斜角互補的直線分別與交于，兩點，（1）證明：直線的斜率是－1；（2）若，，成等比數(shù)列，求直線的方程.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線相交于，兩點，求的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.22．（10分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為的中點，為上的動點（不與重合）求二面角的正切值的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查．2、B【解析】

設(shè)拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當(dāng)共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.3、D【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.4、C【解析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.5、C【解析】

化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項；當(dāng)時，，，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】

先確定集合中元素，可得非空子集個數(shù)．【詳解】由題意，共3個元素，其子集個數(shù)為，非空子集有7個．故選：C．【點睛】本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有個元素的集合其子集個數(shù)為，非空子集有個．9、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時，，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時，，此時，，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．10、D【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則.當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計算是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】

先求出，再利用投影公式求解即可.【詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關(guān)鍵，屬于中檔題．14、【解析】

先表示出漸近線，再代入點，求出，則離心率易求.【詳解】解：的漸近線是因為在漸近線上，所以，故答案為：【點睛】考查雙曲線的離心率的求法，是基礎(chǔ)題.15、1【解析】

把向量進行轉(zhuǎn)化，用表示，利用基本不等式可求實數(shù)的值.【詳解】，解得＝1．故答案為：1.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，綜合了基本不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、【解析】

依題意設(shè)前三個和尚的身高依次為，第四個(最高)和尚的身高為，則，解得，又，解得，又因為成等比數(shù)列,則公比，故.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）點在曲線外．【解析】

（1）先消參化曲線的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標(biāo)方程；（2）由點是曲線上的一點,利用的范圍判斷的范圍,即可判斷位置關(guān)系.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為可得曲線的普通方程為,則曲線的極坐標(biāo)方程為,即（2）由題,點是曲線上的一點,因為,所以,即,所以點在曲線外.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查點與圓的位置關(guān)系.18、（1），表示圓心為，半徑為的圓；（2）【解析】

（1）根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.（2）直線方程為，計算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.【詳解】（1），即，化簡得到：.即，表示圓心為，半徑為的圓.（2），即，圓心到直線的距離為.故曲線上的點到直線的最大距離為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直線和圓的距離的最值，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）設(shè)，，由已知，得，代入中即可；（2）利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為，再利用韋達定理計算.【詳解】（1）在拋物線上，∴，設(shè)，，由題可知，，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）問可設(shè)：：，則，，，∴，∴，即（*），將直線與拋物線聯(lián)立，可得：，所以，代入（*）式，可得滿足，∴：.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，在處理直線與拋物線位置關(guān)系的問題時，通常要涉及韋達定理來求解，本題查學(xué)生的運算求解能力，是一道中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)方程中的參數(shù)，求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，求得的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的標(biāo)準參數(shù)方程，代入的直角坐標(biāo)方程，寫出韋達定理，根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義，求得的值.【詳解】（1）由的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，由曲線的極坐標(biāo)方程為，得，所以的直角坐方程為，即.（2）因為在曲線上，故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡可得.設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進行計算，屬于中檔題.21、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.（2）解法一：分類討論：當(dāng)時，觀察式子可得恒成立；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當(dāng)時，令，由，，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛比達法則計算可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)，，，，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：當(dāng)時，函數(shù)，若時，此時對任意都有，所以恒成立；若時，對任意都有，，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即時滿足題意；若時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，，可知，一定存在使得，且當(dāng)時，，所以在上，單調(diào)遞減，從而有時，，不滿足題意；綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為.解法二：當(dāng)時，函數(shù)，又當(dāng)時，，對一切恒成立等價于恒成立，記，其中，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，，由洛比達法則可知，，，解得.實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達法則等知識，注意解題方法的積累，