第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式（單元重點綜合測試）-2024-2025學年高一數(shù)學單元速記（人教A版必修第一冊）

PAGE1第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章節(jié)驗收測評卷（考試時間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高二下·浙江溫州·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】取，可判斷A；作差法比較數(shù)的大小可判斷B；由不等式性質可判斷C；作差法比較數(shù)的大小可判斷D.【詳解】對于A：當時，顯然不成立，故A錯誤；對于B：因為，所以，故B正確；對于C：因為，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D錯誤.故選：B.2．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習）不等式的解集為（）A．R B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.【詳解】由，得，得，解得，所以不等式的解集為，故選：C3．（23-24高一上·云南大理·期末）不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判別式小于等于零解出a的范圍即可.【詳解】因為不等式的解集為，所以判別式，解得，故選：A.4．（21-22高二下·山東威?！て谀┏闪⒌某浞植槐匾獥l件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本均值不等式求最值再結合充分必要條件與集合之間的關系即可求解.【詳解】因為，，當且僅當時去等號，即時取等號；所以使得，的充要條件為，而充分不要條件應該為的真子集，所以應選.故選：A5．（23-24高一上·陜西渭南·期末）已知不等式的解集為或，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據給定的解集求出，再解一元二次不等式即得.【詳解】由不等式的解集為或，得是方程的兩個根，且，因此，且，解得，不等式化為：，解得，所以不等式為.故選：C6．（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習）對于實數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例，那么使得不等式成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式解得的范圍，然后根據的定義求出的范圍．【詳解】由題得，即，解得，則．故選：D．7．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習）已知，，且．若恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【答案】A【分析】借助基本不等式中“1”的妙用計算即可得.【詳解】由，則，當且僅當，即，時，等號成立.故選：A.8．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）若關于的不等式恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端點范圍，結合不等式恰有兩個整數(shù)解求另一端點的范圍，從而得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】由恰有兩個整數(shù)解，即恰有兩個整數(shù)解，所以，解得或，①當時，不等式的解集為，因為，所以兩個整數(shù)解，則，即，解得；②當時，不等式的解集為，因為，所以兩個整數(shù)解，則，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習）已知，，，則下列結論中正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】根據不等性質分別判斷各選項.【詳解】對于A：因為，所以，所以，故A正確；對于B：因為，所以，兩邊同乘以得，即，故B正確；對于C：因為，所以，所以，又，兩式相乘得，故C錯誤；對于D：，因為，所以，，所以，即，故D正確；故選：ABD.10．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為2 D．的最大值為8【答案】BC【分析】A選項，利用基本不等式直接進行求解；B選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C選項，兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項，變形得到，D錯誤.【詳解】A選項，因為，由基本不等式得，即，故A錯誤；B選項，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，B正確；C選項，兩邊平方得，，其中，當且僅當，即時，等號成立，故，解得，的最小值為2，C正確；D選項，因為，，所以，故D錯誤.故選：BC11．（2024高一上·全國·專題練習）《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖（1），用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖（2）所示的矩形，該矩形長為a+b，寬為內接正方形的邊長d．由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖（3），設D為斜邊BC的中點，作直角三角形ABC的內接正方形的對角線AE，過點A作于點F，則下列推理正確的是（

）A．由題圖（1）和題圖（2）面積相等得B．由可得C．由可得D．由可得【答案】BCD【分析】根據題圖（1），（2）面積相等，可求得d的表達式，從而判斷A選項的正誤，由題意可求得題圖（3）中，，的表達式，逐一分析B，C，D選項，即可得答案．【詳解】對于A，由題圖（1），（2）面積相等得，所以，故A錯誤．對于B，因為，所以，所以，設題圖（3）中內接正方形的邊長為t，根據三角形相似可得，解得，所以．因為，所以，整理可得，故B正確．對于C，因為D為斜邊的中點，所以，因為，所以，整理得，故C正確．對于D，因為，所以，整理得，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高一·全國·課堂例題）不等式的解集是【答案】或．【分析】分式不等式等價轉化為整式不等式，結合二次不等式的解法求解集.【詳解】原不等式等價于解得或，故不等式的解集是或．故答案為：或13．（23-24高一上·河南開封·期末）若命題：“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】將問題轉化為恒成立問題，從而得解.【詳解】因為命題：“，”為假命題，所以“，”為真命題，即恒成立，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．（22-23高一上·湖北咸寧·自主招生）二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸為直線，若關于的一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內有解，則的取值范圍是．

【答案】【分析】根據對稱軸求出的值，從而得到時的函數(shù)值，再根據一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內有解相當于與在內有交點，依此求解即可得出結論.【詳解】∵對稱軸為直線，∴，∴二次函數(shù)解析式為.當時，；當時，；當時，.因為方程的根為圖象與直線的交點的橫坐標，∴當時，在的范圍內有解.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高一上·江蘇南通·期中）解下列不等式并將結果寫成集合的形式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）應用一元二次不等式的解法求解；（2）應用分式不等式的求法求解.【詳解】（1）由，得，即，解得，則其解集為.（2）由，得，解得或，則其解集為或.16．（23-24高一上·江西宜春·階段練習）（1）比較和的大??；（2）已知，，求和的取值范圍；（3）已知在上恒成立．求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）；；（3）.【分析】（1）作差法比較大小即可；（2）應用不等式性質判斷大小關系；（3）由一元二次不等式恒成立有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）因為，所以；（2）由，，則，故；又，故；（3）由題意.17．（23-24高一上·陜西西安·期末）求下列式子的最小值.(1)已知，求；(2)已知，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，化簡得到，結合基本不等式，即可求解；（2）根據題意，化簡得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為；（2）解：由，且，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）為了豐富學生的課余生活、給學生更好的校園生活體驗，某高中決定擴大學校規(guī)模，為學生打造一所花園式的校園．學校決定在原有的矩形花園的基礎上，拓展建成一個更大的矩形花園．為了方便施工，建造時要求點B在上，點D在上，且對角線過點C，如圖所示．已知．(1)當?shù)拈L度為多少時，矩形的面積最??？并求出最小面積．(2)要使矩形的面積大于，則的長應在什么范圍內？【答案】(1)時，矩形的面積最小，最小面積2400(2)或，【分析】（1）設出的長為，則，表示出矩形面積的解析式，利用不等式求解；（2）化簡矩形面積，利用基本不等式求解.【詳解】（1）設出的長為，則，，，，∴矩形的面積，由基本不等式得：，當且僅當時，取“=”，當,即時，；（2）由（1）得，即，∴，∴或，的范圍在或，19．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）對在直角坐標系的第一象限內的任意兩點，作如下定義:,那么稱點是點的“上位點”，同時點是點的“下位點”.（1）試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；（2）設、、、均為正數(shù)，且點是點的上位點，請判斷點是否既是點的“下位點”又是點的“上位點”，如果是請證明，如果不是請說明理由；（3）設正整數(shù)滿足以下條件：對任意實數(shù)，總存在，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）“上位點”，“下位點”；（2）是，證明見解析；（3）.【分析】（1）由已知中“上位點”和“下位點”的定義，可得出點的一個“上位點”的坐標為，一個“下位點”的坐標為；（2）由點是點的“上位點”得出，然后利用作差法得出與、的大小關系，結合“下位點”和“上位點”的定義可得出結論；（3）結合（2）中的結論，可得，，滿足條件，再說明當時，不成立，可得出的最小值為.【詳解】（1）對于平面直角坐標系的第一象限內的任意兩點作如下定義：，那么稱點是點的“上位點”