廣西貴港桂平市2024年八年級上學期《數(shù)學》期中以及參考答案

6/25廣西貴港桂平市2024年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題12小題，每小題3分，共36分，每小題給出的四個選項中只有一項是正確。1．（3分）下列長度的三根小木棒能構(gòu)成三角形的是（）A．3cm，5cm，10cm B．5cm，4cm，8cm C．2cm，4cm，6cm D．3cm，3cm，7cm【分析】在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形，由此即可判斷．【解答】解：A、3+5＜10，長度是3cm，5cm，10cm的小木棒不能構(gòu)成三角形，故A不符合題意；B、5+4＞8，長度是4cm，5cm，8cm的小木棒能構(gòu)成三角形，故B符合題意；C、2+4＝6，長度是2cm，4cm，6cm的小木棒不能構(gòu)成三角形，故C不符合題意；D、3+3＜7，長度是3cm，3cm，7cm的小木棒不能構(gòu)成三角形，故D不符合題意．故選：B．【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．2．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2【分析】根據(jù)分式有意義的條件解答即可．【解答】解：因為分式有意義，所以x+1≠0，解得x≠﹣1．故選：A．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．3．（3分）如圖，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊含的道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形具有穩(wěn)定性 C．經(jīng)過兩點有且只有一條直線 D．垂線段最短【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做的道理是三角形具有穩(wěn)定性，故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應用在實際生活中．4．（3分）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它們含有一定量的有毒、有害物質(zhì)，對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大影響，2.5μm用科學記數(shù)法可表示為（）A．25×10﹣5m B．2.5×10﹣5m C．2.5×10﹣6m D．0.25×10﹣7m【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．據(jù)此解答即可．【解答】解：2.5μm＝2.5×0.000001m＝2.5×10﹣6m；故選：C．【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．5．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)+a2＝a3 B．a(chǎn)?a2＝a3C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（a﹣1）3＝a3【分析】按照整式冪的運算法則逐一計算進行辨別．【解答】解：因為a與a2不是同類項，所以選項A不符合題意；因為a?a2＝a3，所以選項B符合題意；因為a6÷a2＝a4，所以選項C不符合題意；因為（a﹣1）3＝（）3＝，所以選項D不符合題意，故選：B．【點評】此題考查了整式冪的相關(guān)運算能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用該計算法則．6．（3分）在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“X型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖方法進行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圓形容器的壁厚是（）A．5厘米 B．6厘米 C．1厘米 D．厘米【分析】利用三角形全等的SAS定理證明△COD≌△BOA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出CD，進而求出圓形容器的壁厚．【解答】解：在△COD和△BOA中，，所以△COD≌△BOA（SAS），所以CD＝AB＝5厘米，所以圓形容器的壁厚為：（6﹣5）÷2＝（厘米），故選：D．【點評】本題考查的是全等三角形的應用，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（3分）把分式方程+2＝化為整式方程，正確的是（）A．x+2＝1 B．x+2（x﹣2）＝1 C．x+2（x﹣2）＝﹣1 D．x+2＝﹣1【分析】方程兩邊都乘以x﹣2可得答案．【解答】解：方程兩邊都乘以x﹣2可得：x+2（x﹣2）＝﹣1，故選：C．【點評】本題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的基本步驟．8．（3分）下列命題中，是假命題的是（）A．三個角都是60°的三角形是等邊三角形 B．兩個銳角的和是鈍角 C．若|a|＝3，則a＝±3 D．在同一平面內(nèi)，若直線a⊥l，b⊥l，則a∥b【分析】根據(jù)等邊三角形的判定，平行線的判定，絕對值的定義，角的和差定義一一判斷即可、【解答】解：A、三個角都是60°的三角形是等邊三角形，是真命題，本選項不符合題意；B、兩個銳角的和是鈍角，是假命題，30°+30°＝60°，60°是銳角，本選項符合題意；C、若|a|＝3，則a＝±3，是真命題，本選項不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，若直線a⊥l，b⊥l，則a∥b，是真命題，本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查命題與定理，等邊三角形的判定，平行線的判定，絕對值的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．（3分）一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行81km所需的時間與逆水航行69km所需的時間相同．已知水流速度是速度2km/h，則輪船在靜水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h【分析】設輪船在靜水中航行的速度是xkm/h，則輪船順水航行速度為（x+2）km/h，輪船逆水航行速度為（x﹣2）km/h，利用時間＝路程÷速度，結(jié)合順水航行速度81km/h所需的時間與逆水航行速度69km/h所需的時間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．【解答】解：設輪船在靜水中航行的速度是xkm/h，則輪船順水航行速度為（x+2）km/h，輪船逆水航行速度為（x﹣2）km/h，依題意得：＝，解得：x＝25，經(jīng)檢驗，x＝25是原方程的解，且符合題意．故選：A．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．10．（3分）若解分式方程＝產(chǎn)生增根，則m＝（）A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘（x+4），得x﹣1＝m，因為原方程增根為x＝﹣4，所以把x＝﹣4代入整式方程，得m＝﹣5，故選：D．【點評】本題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．11．（3分）如圖，△ABC中，點D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，連接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，則∠A等于（）A．65° B．60° C．55° D．50°【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠BCE+∠CBD＝65°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ACB+∠ABC＝130°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A的度數(shù)．【解答】解：因為∠D+∠E＝295°，∠D+∠E+∠BCE+∠CBD＝360°，所以∠BCE+∠CBD＝65°，因為點D，E分別在∠ABC和∠ACB的平分線上，所以∠BCE＝∠ACB，∠CBD＝∠ABC，所以∠ACB+∠ABC＝65°×2＝130°，所以∠A＝180°﹣130°＝50°，故選：D．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD＝5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能確定【分析】過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小，證△ADB≌△CEB得CE＝AD＝5，即BF+EF＝5．【解答】解：過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最?。ǜ鶕?jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），由于C和B關(guān)于AD對稱，則BF+EF＝CF，因為等邊△ABC中，BD＝CD，所以AD⊥BC，所以AD是BC的垂直平分線（三線合一），所以C和B關(guān)于直線AD對稱，所以CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，因為AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，因為，所以△ADB≌△CEB（AAS），所以CE＝AD＝5，即BF+EF＝5，故選：B．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點的綜合運用．二、填空題本大題共6小題，每小題2分，共12分，13．（2分）當x＝0時，分式的值為零．【分析】根據(jù)分式值為0的條件：分子為0，分母不為0，可得2x＝0且x+2≠0，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：2x＝0且x+2≠0，所以x＝0且x≠﹣2，所以當x＝0時，分式的值為零，故答案為：0．【點評】本題考查了分式值為0的條件，熟練掌握分式值為0的條件是解題的關(guān)鍵．14．（2分）分解因式：a2+5a＝a（a+5）．【分析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出結(jié)論．【解答】解：因為a2+5a公有因式為a，所以原式＝a（a+5），故答案為：a（a+5）．【點評】本題考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC平分線上一點，∠BAC＝76.6°，則∠CAE＝38.3°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EAD＝∠BAC＝70°，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠DAC＝35°，進而可得答案．【解答】解：因為D是∠BAC的平分線上一點，且∠BAC＝76.6°，所以∠BAD＝∠DAC＝38.3°，因為△ABC≌△ADE，所以∠EAD＝∠BAC＝76.6°，所以∠CAE＝76.6°﹣38.3°＝38.3°．故答案為：38.3．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應角相等．16．（2分）若m、n滿足|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，則m﹣2+n0＝．【分析】首先利用非負數(shù)的性質(zhì)得出m，n的值，再利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：因為|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，所以m﹣2＝0，n﹣2023＝0，解得：m＝2，n＝2023，故m﹣2+n0＝2﹣2+1＝+1＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、非負數(shù)的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．17．（2分）如圖，將直角三角形紙片ABC進行折疊，使直角頂點A落在斜邊BC上的點E處，并使折痕經(jīng)過點C，得到折痕CD．若∠CDE＝70°，則∠B＝50°．【分析】由折疊性質(zhì)可得∠CED＝∠A＝90°，∠ADC＝∠CDE＝70°，從而可得∠BED＝90°，∠BDE＝40°，即可求解．【解答】解：因為△ABC為直角三角形，所以∠A＝90°，因為∠CDE＝70°，由折疊性質(zhì)可得∠CED＝∠A＝90°，∠ADC＝∠CDE＝70°，所以∠BED＝90°，∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝40°，所以∠B＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝50°，故答案為：50．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是明確折疊前后對應圖形全等．18．（2分）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是400．【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個，據(jù)此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)．【解答】解：如圖①因為△ABC是等邊三角形，所以AB＝BC＝AC，因為A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，所以B′O＝AB，CO＝AC，所以△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形．又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個，第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個，第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，…依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個．故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是：2×100+2×100＝400．故答案為：400．三、解答題本大題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19．（6分）計算：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）．【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可．【解答】解：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）＝（﹣1）×（﹣4）+9÷3＝4+3＝7．20．（6分）解分式方程：．【分析】先將原方程去分母并整理后化為一元一次方程，然后解方程后并檢驗即可．【解答】解：原方程去分母得：3x＝x﹣1，移項，合并同類項得：2x＝﹣1，系數(shù)化為1得：x＝﹣，經(jīng)檢驗，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解為x＝﹣．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．21．（10分）綜合與實踐：問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個已知角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：SSS；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得CE＝DE，再證△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出結(jié)論；（2）證△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出結(jié)論；（3）先作∠BAC的平分線AK，再在AK上截取AE＝AD即可．【解答】解：（1）因為△CDE是等邊三角形，所以CE＝DE，又因為OC＝OD，OE＝OE，所以△OCE≌△ODE（SSS），所以∠COE＝∠DOE，所以OE是∠AOB的平分線，故答案為：SSS；（2）因為OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，所以△OCM≌△OCN（SSS），所以∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是∠AOB的平分線；（3）如圖，點E即為所求的點．【點評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線定義以及尺規(guī)作圖等知識，熟練掌握角平分線定義和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．22．（10分）下面是小明同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．，＝…第一步，＝…第二步，＝…第三步，＝…第四步，＝…第五步，＝…第六步．任務一：填空：①以上化簡步驟中，第三步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性或填為：分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，分式的值不變；②第五步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是去括號時，括號前面是“﹣”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；任務二：請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果是﹣；任務三：根據(jù)小明同學進行分式化簡的過程：完成下列分式的計算：．【分析】任務一：①根據(jù)通分的概念及分式的基本性質(zhì)進行填空；②根據(jù)去括號法則進行分析判斷；任務二：先將能進行因式分解的分子分母進行因式分解，然后進行通分，再計算；任務三：結(jié)合分式的化簡求值要求，異分母分式加減法運算法則進行分析解答．【解答】解：任務一：①化簡步驟中，第三步進行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)或填為分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，分式的值不變，故答案為：三，分式的基本性質(zhì)，分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，分式的值不變；②第五步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤原因是去括號時，括號前面是“﹣”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號，故答案為：五；去括號時，括號前面是“﹣”號，去括號后，括號里的第二項沒有變號；任務二：原式＝＝＝＝＝＝﹣；故答案為：﹣；任務三：＝﹣?＝﹣＝﹣＝．【點評】本題考查分式的加減運算，理解分式的基本性質(zhì)，掌握去括號法則，以及分式約分和通分的技巧是解題關(guān)鍵．23．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，DE∥AC，點O為線段BC上一點，DO的延長線與AC的延長線交于點F，DO＝FO．（1）求證：△BDE是等邊三角形；（2）若AC＝7，F(xiàn)C＝3，求OC的長．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定解答即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）因為△ABC為等邊三角形，所以∠A＝∠B＝∠ACB，因為DE∥AC，所以∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB，所以∠B＝∠BDE＝∠DEB，所以△BDE是等邊三角形；（2）因為DE∥AC，所以∠EDO＝∠CFO，在△DOE和△FOC中，，所以△DOE≌△FOC（ASA）；因為△ABC為等邊三角形，所以BC＝AC＝7，得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO，所以EC＝BC﹣BE＝4，所以OC＝EC＝2．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．24．（10分）為提高學生的閱讀興趣，某學校建立了共享書架，并購買了一批書籍．其中購買A種圖書花費了3000元，購買B種圖書花費了1600元，A種圖書的單價是B種圖書的1.5倍，購買A種圖書的數(shù)量比B種圖書多20本．（1）求A和B兩種圖書的單價；（2）書店在“世界讀書日”進行打折促銷活動，所有圖書都按8折銷售學校當天購買了A種圖書20本和B種圖書25本，共花費多少元？【分析】（1）設B種圖書的單價為x元，則A種圖書的單價為1.5x元，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合花3000元購買的A種圖書比花1600元購買的B種圖書多20本，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設B種圖書的單價為x元，則A種圖書的單價為1.5x元，依題意，得：﹣＝20，解得：x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是所列分式方程的解，且符合題意，所以1.5x＝30．答：A種圖書的單價為30元，B種圖書的單價為20元．（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．答：共花費880元．25．（10分）如圖，已知AB＝CD，E、F是AC上兩點，且AE＝CF，DE＝BF，求證：（1）△ABF≌△CDE．（2）AD∥BC．【分析】（1）證出AF＝CE，根據(jù)SSS可證明△ABF≌△CDE；（2）證明△ADE≌△CBF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠DAE＝∠BCF，則可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）因為AE＝CF，所以AE+EF＝CF+FE，即AF＝CE，在△ABF和△CDE中，所以△ABF≌△CDE（SSS）．（2）因為△ABF≌△CDE，所以∠AFB＝∠CED，所以180°﹣∠AFB＝180°﹣∠CED，即∠CFB＝∠AED，在△ADE和△CBF中，，所以△ADE≌△CBF（SAS），所以∠DAE＝∠BCF，所以AD∥BC．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，證明△ABF≌△CDE是解題的關(guān)鍵．26．（10分）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝