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2025屆天津市濱海新區(qū)塘沽濱海中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.2.中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類.這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類的方法,最先見(jiàn)于《周禮·春官·大師》,分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器,“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器,“絲”為彈撥樂(lè)器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”,則含有打擊樂(lè)器的概率為()A. B. C. D.3.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后,若阿基里斯跑了米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí),烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí),烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí),烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米4.金庸先生的武俠小說(shuō)《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.265.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.6.在中,為中點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.7.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A. B. C. D.8.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.9.已知隨機(jī)變量的分布列是則()A. B. C. D.10.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.11.已知集合,則等于()A. B. C. D.12.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點(diǎn)為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的概率為_(kāi)______.14.在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1,同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,,,則球的表面積為_(kāi)_____.15.已知,,且,則的最小值是______.16.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖1,與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形,,,連接是邊上一點(diǎn),過(guò)作,交于點(diǎn),沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2)的角的對(duì)邊分別為且,,求邊上的高的最大值.19.(12分)已知函數(shù),(其中,).(1)求函數(shù)的最小值.(2)若,求證:.20.(12分)在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面積為,周長(zhǎng)為8,求b.21.(12分)已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值,當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)萬(wàn)眾矚目的第14屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)運(yùn)會(huì)(簡(jiǎn)稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開(kāi)幕,期間正值我市學(xué)校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會(huì)對(duì)全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一次調(diào)查,得到如圖頻數(shù)分布直方圖:(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“冰雪迷”,否則定義為“非冰雪迷”,請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全列聯(lián)表;并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān);(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,再?gòu)倪@6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計(jì)算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.2、B【解析】
分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法;“兩音”中含有打擊樂(lè)器的取法共有種取法;所求概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解,關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).3、D【解析】
根據(jù)題意,是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.4、D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問(wèn)題注意實(shí)際問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過(guò)變形求解出的周期,進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
選取向量,為基底,由向量線性運(yùn)算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
計(jì)算求半徑為,再計(jì)算球體積和圓錐體積,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:設(shè)球半徑為,則,解得.故求體積為:,圓錐的體積:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐,球體積,圓錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.8、A【解析】
根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開(kāi)后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法,是基本知識(shí)的考查.10、B【解析】
試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點(diǎn),所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題中,涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,焦點(diǎn)弦長(zhǎng),拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時(shí),常??紤]用拋物線的定義進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,從而與弦長(zhǎng)之間可通過(guò)余弦定理建立關(guān)系.11、C【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)?,,所?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點(diǎn):雙曲線方程.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出隨機(jī)抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解:從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的事件數(shù)為9個(gè),即為,,,其中滿足的有,,,共有8個(gè),故的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).14、【解析】
先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設(shè)球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題,考查球的表面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于中檔題.15、1【解析】
先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【詳解】解:,因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號(hào)成立,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,但是由于有3個(gè)變量,導(dǎo)致該題不易找到思路,屬于中檔題.16、1【解析】
由題意可得,再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,,通項(xiàng)公式為,令,求得,可得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】
根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù),可知,,表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),分別求得平面與平面的法向量,代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為,設(shè)為高,則,表示梯形BEFD和ABD的面積由,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】(1)證明:不妨設(shè)與的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為由題知,,則有又,則有由折疊可知所以可證由平面平面,則有平面又因?yàn)槠矫?,所?...(2)解:依題意,有平面平面,又平面,則有平面,,又由題意知,如圖所示:以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意知由可知,則則有,,設(shè)平面與平面的法向量分別為則有則所以因?yàn)椋獾迷O(shè)所求幾何體的體積為,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在是增函數(shù),在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí),有最大值,即六面體的體積的最大值是【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直,線面垂直,面面垂直的轉(zhuǎn)化,二面角的向量求法和空間幾何體的體積,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.18、(1).(2)【解析】
(1)由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.(2)由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值,可得邊上的高的最大值.【詳解】解:(1)∵函數(shù),當(dāng)時(shí),,.(2)中,,∴.由余弦定理可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值為3.再根據(jù),故當(dāng)取得最大值3時(shí),取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),余弦定理,三角形面積公式,所用公式較多,選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙忸}關(guān)鍵,本題屬于中檔題.19、(1).(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得最小值;(2)利用分析法,只需證明,兩邊平方后結(jié)合即可得證.【詳解】(1),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值;(2)證明:依題意,,要證,即證,即證,即證,即證,又可知,成立,故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查用絕對(duì)值三角不等式求最值,考查用分析法證明不等式,在不等式不易證明時(shí),可通過(guò)執(zhí)果索因的方法尋找結(jié)論成立的充分條件,完成證明,這就是分析法.20、(1);(2)【解析】
(1)通過(guò)正弦定理和內(nèi)角和定理化簡(jiǎn),再通過(guò)二倍角公式即可求出;(2)通過(guò)三角形面積公式和三角形的周長(zhǎng)為8,求出b的表達(dá)式后即可求出b的值.【詳解】(1)由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式,得,結(jié)合正弦定理,得,由及二倍角公式,得,即,故;(2)由題設(shè),得,從而,由余弦定理,得,即,又,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面積公式,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)【解析】
(1)求解不等式,結(jié)合整數(shù)解有且僅有一個(gè)值,可得,分類討論,求解不等式,即得解;(2)轉(zhuǎn)化,使得成立為,利用不等式性質(zhì),求解二次函數(shù)最小值,代入解不等式即可.【詳解】(1)不等式,即,所以,由,解得.因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),,不等式等價(jià)于或或即或或,故,故不等式的解集為.(2)因?yàn)椋?,可得,又由,使得成立,則,解得或.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解和恒成立問(wèn)題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.22、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有把握;(2)分布列見(jiàn)解析,.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全列聯(lián)表,求出,從而有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān).(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,則抽中男教工:人,抽中女教工:人,從
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