廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.2.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.83.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,,,為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)().A.6 B.5 C.4 D.35.直角坐標(biāo)系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點(diǎn),若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.6.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.547.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣”,這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示),當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運(yùn)用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.8.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.9.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)10.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.411.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.12.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與的對(duì)稱軸垂直的直線與交于,兩點(diǎn),,為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),則的面積為()A.1 B.2 C.4 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)平面向量與的夾角為,且,,則的取值范圍為_(kāi)_____.14.如圖所示,平面BCC1B1⊥平面ABC,ABC=120,四邊形BCC1B1為正方形,且AB=BC=2,則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_(kāi)____.15.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______.16.角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),則sin(π﹣α)的值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.19.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長(zhǎng)度;(2)在線段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最???20.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)己知點(diǎn),分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),若與圓相切于點(diǎn),且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),且點(diǎn)在第二象限,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于,兩點(diǎn),求面積的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)是增函數(shù),且存在不相等的正實(shí)數(shù),使得,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、C【解析】

由程序語(yǔ)言依次計(jì)算,直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過(guò)程為當(dāng)n=2時(shí),時(shí),,此時(shí)輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】

若對(duì)任意的恒成立,則為的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知,,又三角形有一個(gè)內(nèi)角為,所以,,解得或(舍),故,當(dāng)時(shí),取得最大值,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到坐標(biāo)為,再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.【詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).6、C【解析】

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問(wèn)題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.7、A【解析】

設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,則每個(gè)等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時(shí)即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,所以每個(gè)等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時(shí),可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.8、B【解析】

三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對(duì)應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來(lái)求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.10、C【解析】

計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.11、A【解析】

根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個(gè)零點(diǎn),即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出.【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,在上無(wú)零點(diǎn),不符合題意,排除D;然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.12、C【解析】

設(shè)拋物線的解析式,得焦點(diǎn)為,對(duì)稱軸為軸,準(zhǔn)線為,這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線方程可求得,而到直線的距離為,從而可求得三角形面積.【詳解】設(shè)拋物線的解析式,則焦點(diǎn)為,對(duì)稱軸為軸,準(zhǔn)線為,∵直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),,是與的交點(diǎn),又軸,∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,代入,解得,又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上,設(shè)過(guò)點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn),,∴.故應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,就能得出點(diǎn)坐標(biāo),從而求得參數(shù)的值.本題難度一般.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)已知條件計(jì)算出,結(jié)合得出,利用基本不等式可得出的取值范圍,利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍,進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14、【解析】

將平移到和相交的位置,解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過(guò)作,過(guò)作,畫出圖像如下圖所示,由于四邊形是平行四邊形,故,所以是所求線線角或其補(bǔ)角.在三角形中,,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計(jì)算,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.15、2【解析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、【解析】

計(jì)算sinα,再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得x=1,y=2,r,∴sinα,∴sin(π﹣α)=sinα.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義,誘導(dǎo)公式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解;(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,分類討論進(jìn)行求解【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),令,解得或,當(dāng)或時(shí),,則單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(Ⅰ)當(dāng)時(shí),所以在上無(wú)零點(diǎn);(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,①若,即,則是的一個(gè)零點(diǎn);②若,即,則不是的零點(diǎn)(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的情況,因?yàn)?所以①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增。又,所以(ⅰ)當(dāng)時(shí),在上無(wú)零點(diǎn);(ⅱ)當(dāng)時(shí),,又,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),令,得,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想18、(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)利用(1)的結(jié)論,進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為(為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得,所以,..【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識(shí)要點(diǎn):主要考查極坐標(biāo),參數(shù)方程與普通方程互化,及求三角形面積.需要熟記極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的公式,及與解析幾何相關(guān)的直線與曲線位置關(guān)系的一些解題思路.19、(1);(2)當(dāng)BP為cm時(shí),α+β取得最小值.【解析】

(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,根據(jù)得到,解得答案.(2)設(shè)BP=t,則,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到最值.【詳解】(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,則,化簡(jiǎn)得,解之得,或(舍),(2)設(shè)BP=t,則,,設(shè),,令f'(t)=0,因?yàn)?,得,?dāng)時(shí),f'(t)<0,f(t)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),f'(t)>0,f(t)是增函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因?yàn)楹愠闪?,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因?yàn)閥=tanx在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),α+β取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、(1),;(2)【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比,即得到結(jié)論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列前n項(xiàng)和.試題解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q,則q1===8,∴q=2,∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1,∴bn=1n+2n﹣1(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=1n+2n﹣1,∵數(shù)列{1n}的前n項(xiàng)和為n(n+1),數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)和為1×=2n﹣1,∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為;考點(diǎn):1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;1.數(shù)列求和.21、;.【解析】

連接,由三角形相似得,,進(jìn)而得出,,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;由得,,因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn),,

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