2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-概率-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-概率-專項(xiàng)訓(xùn)練一．選擇題（共7小題）1．某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A．種 B．種 C．種 D．種2．某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.13．有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A．120 B．60 C．40 D．304．設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A． B． C． D．5．甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種6．鳶是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)?大雅?旱麓》曰“鳶飛戾天，魚躍于淵”．鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名（圖1），寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量．通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度（單位：cm），繪制對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖（圖2）如下：計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為0.8642，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.7501x+0.6105．根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）A．花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系 B．花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度負(fù)相關(guān) C．花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.8612cm D．若選取其他品種鳶尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)一定為0.86427．根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說法正確的是（）A．身高越大，體重越大 B．身高越大，體重越小 C．身高和體重成正相關(guān) D．身高和體重成負(fù)相關(guān)二．多選題（共3小題）（多選）8．有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（）A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，?，x6的平均數(shù) B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，?，x6的中位數(shù) C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，?，x6的標(biāo)準(zhǔn)差 D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，?，x6的極差（多選）9．噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lg，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2（多選）10．在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3 D．當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三．填空題（共3小題）11．某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．12．把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外沒有其他差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為5：4：6，且其中的黑球比例依次為40%，25%，50%．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，然后隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率為．13．空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)D，E（不考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與A、B、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有種．四．解答題（共6小題）14．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（）＝．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．15．某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率p（c）＝0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；（2）設(shè)函數(shù)f（c）＝p（c）+q（c）．當(dāng)c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間[95，105]的最小值．

16．一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．（1）設(shè)X表示指定的兩只小鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝，P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635

17．某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i＝1，2，…10）．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi﹣yi（i＝1，2，?，10），記z1，z2，?，z10的樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2．（1）求，s2；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高．（如果≥2，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）18．為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“﹣”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天﹣++0﹣﹣﹣++0+0﹣﹣+﹣+00+第21天到第40天0++0﹣﹣﹣++0+0+﹣﹣﹣+0﹣+用頻率估計(jì)概率．（Ⅰ）試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的，在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）19．2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件B為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求P（B）和P（B|A），并判斷事件A和事件B是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望．

參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．【解答】解：∵初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，∴人數(shù)比例為400：200＝2：1，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有種．故選：D．2．【解答】解：根據(jù)題意，在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，設(shè)選出的同學(xué)愛好滑冰為事件A，選出的同學(xué)愛好滑雪為事件B，由于中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪，則P（B）＝0.5則同時(shí)愛好兩個(gè)項(xiàng)目的占50%+60%﹣70%＝40%，則P（AB）＝0.4，則P（A|B）＝＝＝0.8．故選：A．3．【解答】解：先從5人中選1人連續(xù)兩天參加服務(wù)，共有＝5種選法，然后從剩下4人中選1人參加星期六服務(wù)，剩下3人中選取1人參加星期日服務(wù)，共有＝12種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有5×12＝60種選法．故選：B．4．【解答】解：如圖，PQ為第一象限與第三象限的角平分線，根據(jù)題意可得構(gòu)成A的區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，而直線OA的傾斜角不大于的點(diǎn)A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，∴所求概率為＝．故選：C．5．【解答】解：根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：＝120．故選：C．6．【解答】解：∵相關(guān)系數(shù)r＝0.8642＞0.75，且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布，∴花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān)，且相關(guān)性較強(qiáng)，∴A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)x＝7時(shí)，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.7501x+0.6105，可得y＝5.8612，∴花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.8612cm，∴C選項(xiàng)正確；若選取其他品種鳶尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．7．【解答】解：根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān)．故選：C．二．多選題（共3小題）8．【解答】解：A選項(xiàng)，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)不一定等于x1，x2，?，x6的平均數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于，x1，x2，?，x6的中位數(shù)等于，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6為0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，?，x6的平均數(shù)是5，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是5，x1，x2，?，x6的方差×[（0﹣5）2+（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]＝，x2，x3，x4，x5的方差[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]＝，，∴s1＞s2，C錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，x6＞x5，x2＞x1，∴x6﹣x1＞x5﹣x2，D正確．故選：BD．9．【解答】解：由題意得，60≤20lg≤90，1000p0≤p1≤p0，50≤20lg≤60，1p0≤p2≤1000p0，20lg＝40，p3＝100p0，可得p1≥p2，A正確；p2≤10p3＝1000p0，B錯(cuò)誤；p3＝100p0，C正確；p1≤p0＝100×1p0≤100p2，p1≤100p2，D正確．故選：ACD．10．【解答】解：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1包含收到的信號(hào)為包含兩個(gè)1或3個(gè)1，故所求概率為：，故C錯(cuò)誤；三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率P1＝，單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率P2＝1﹣α，﹣（1﹣α）3＝＝（1﹣α）（2α2﹣α）＝（1﹣α）α（2α﹣1），當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，P2﹣P1＜0，故P2＜P1，故D正確．故選：ABD．三．填空題（共3小題）11．【解答】解：若選2門，則只能各選1門，有種，如選3門，則分體育類選修課選2，藝術(shù)類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術(shù)類選修課選2，則有+＝24+24＝48，綜上共有16+48＝64種不同的方案．故答案為：64．12．【解答】解：設(shè)三個(gè)盒子分別為甲盒子，乙盒子，丙盒子，盒子中共有球15n個(gè)，則甲盒子中有黑球2n個(gè)，白球3n個(gè)，乙盒子中有黑球n個(gè)，白球3n個(gè)，丙盒子中有黑球3n個(gè)，白球3n個(gè)，從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率．故答案為：；．13．【解答】解：如圖所示，設(shè)任取2個(gè)不同的點(diǎn)為D、E，當(dāng)△ABC為正四棱錐的側(cè)面時(shí)，如圖，平面ABC的兩側(cè)分別可以做ABDE作為圓錐的底面，有2種情況，同理以BCED、ACED為底面各有2種情況，所以共有6種情況；當(dāng)△ABC為正四棱錐的截面時(shí)，如圖，D、E位于AB兩側(cè)，ADBE為圓錐的底面，只有一種情況，同理以BDCE、ADCE為底面各有1種情況，所以共有3種情況；綜上，共有6+3＝9種情況．故答案為：9．四．解答題（共6小題）14．【解答】解：（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為P，由題意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；（2）由題意設(shè)Pn為第n次投籃的是甲，則Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，∴Pn+1﹣＝0.4（Pn﹣），又P1﹣＝﹣＝≠0，則{Pn﹣}是首項(xiàng)為，公比為0.4的等比數(shù)列，∴Pn﹣＝×（）n﹣1，即Pn＝+×（）n﹣1，∴第i次投籃的人是甲的概率為Pi＝+×（）i﹣1；（3）由（2）得Pi＝+×（）i﹣1，∴當(dāng)n∈N*時(shí)，E（Y）＝P1+P2+...+Pn＝+＝+＝[1﹣（）n]+，綜上所述，E（Y）＝[1﹣（）n]+，n∈N*．15．【解答】解：（1）當(dāng)漏診率p（c）＝0.5%時(shí)，則（c﹣95）?0.002＝0.5%，解得c＝97.5；q（c）＝0.01×2.5+5×0.002＝0.035＝3.5%；（2）當(dāng)c∈[95，100]時(shí)，f（c）＝p（c）+q（c）＝（c﹣95）?0.002+（100﹣c）?0.01+5×0.002＝﹣0.008c+0.82≥0.02，當(dāng)c∈（100，105]時(shí)，f（c）＝p（c）+q（c）＝5×0.002+（c﹣100）?0.012+（105﹣c）?0.002＝0.01c﹣0.98＞0.02，故f（c）＝，所以f（c）的最小值為0.02．16．【解答】解：（1）∵每只老鼠被分到對(duì)照組的概率為，兩只指定的老鼠分配到兩個(gè)不同的組，可看成兩次獨(dú)立重復(fù)事件，∴指定的兩只小鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)X～B（2，），∴P（X＝k）＝，k＝0，1，2，∴X的分布列為：X012P∴E（X）＝np＝2×＝1；（2）（i）40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，中位數(shù)m即為第20位和第21位數(shù)的平均數(shù)，第20位數(shù)為23.2，第21位數(shù)為23.6，∴m＝，∴補(bǔ)全列聯(lián)表為：＜m≥m合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可知＝6.400＞3.841，∴能有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用．17．【解答】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算zi＝xi﹣yi（i＝1，2，…，10），填表如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536