《材料力學》課件1西電社 材力 第12章-能量法

第12章能量法第12章能量法§12.1能量法概述§12.2桿件應變能的計算§12.4莫爾定理與單位載荷法§12.3卡氏定理§12.1能量法概述返回總目錄一、能量法

利用功能原理W=Vε

來求解可變形固體的位移、變形和內力等的方法。二、外力功（W）固體在外力作用下變形，引起力的作用點沿力作用方向位移，外力因此作功

。三、變形能或應變能（Vε）彈性固體因變形而儲備了能量，稱為變形能或應變能。返回四、外力功與應變能的關系根據能量守恒原理，有：對于在靜載作用下的完全彈性體，外力從零緩慢增加到最終值，可不考慮其他能量的損失，外力在相應位移上作的功，在數值上等于積蓄在物體內的應變能。返回§12.2桿件應變能的計算

返回總目錄一、外力功在線彈性范圍內，F與Δ成正比1.

F為集中力

—

Δ是線位移

說明：F與Δ均為廣義量2.

F為集中力偶

—Δ是角位移

返回1.軸向拉壓桿

二、桿件應變能的計算

微段軸向變形

軸力在d△l上作的功

整根桿的應變能

當FN/EA為常量時

返回2.扭轉圓軸扭轉圓軸的應變能

當T/GIp為常量時

3.彎曲梁梁的應變能

4.組合變形桿返回例12-1懸臂梁如圖所示已知：梁的抗彎剛度為常量試：計算梁的應變能以及B截面的轉角返回例12-1懸臂梁如圖所示已知:梁的抗彎剛度為常量試:計算其應變能以及B截面的轉角解：1.梁的應變能

彎矩方程

梁的應變能

返回例12-1懸臂梁如圖所示已知:梁的抗彎剛度為常量試:計算其應變能以及B截面的轉角解：1.梁的應變能

3.截面的轉角2.外力作功為由

返回例12-2已知:梁的剛度為EI，桿的剛度為EA。試求:圖示結構的應變能。返回例12-2已知:梁的剛度為EI，桿的剛度為EA。

試求:圖示結構的應變能。解:1.CB桿的應變能

2.梁的應變能CB桿的軸力3.整個結構的應變能

彎矩方程返回例12-3圖示結構已知：斜桿AB長2m,橫截面面積為200mm2，水平桿AC的橫截面面積為250mm2，材料的彈性摸量E=200GPa，載荷F=10kN。試求：節(jié)點A豎直方向的位移返回解：1.計算各桿件的軸力取節(jié)點A研究AF300返回2.利用能量法計算節(jié)點A的垂直位移AF300由

返回例12-4

圖示三角支架已知：兩桿的拉壓剛度均為EA試求：結點B的豎直位移ΔBV。

返回例12-4兩桿的拉壓剛度均為EA試求：結點B的豎直位移ΔBV。

解：1.桿件軸力分析用截面法,取結點B研究,畫受力圖列平衡方程返回例12-4

兩桿的拉壓剛度均為EA試求：結點B的豎直位移ΔBV。

解：1.桿件軸力分析4.計算ΔBV

由

2.支架應變能

3.外力作功返回§12.3卡氏定理

返回總目錄可以證明，應變能對任一載荷Fi的一階偏導數，等于Fi的作用點沿Fi作用方向的位移Δi。◆適用于梁和剛架的卡氏定理的表達式說明：1.卡氏定理中的載荷Fi與位移Δi都是廣義的；2.卡氏定理僅適用于線彈性結構。

◆適用于桁架結構的卡氏定理的表達式一、卡氏定理返回例12-5圖示三角支架已知：兩桿的拉壓剛度均為EA試：試用卡氏定理求結點B的豎直位移ΔBV。

返回例12-5用卡式定理求位移ΔBV

。2.兩桿軸力對F的一階偏導數解:1.桿件軸力分析(見例12-3)3.根據卡氏定理計算ΔBV

返回例12-6試:

用卡氏定理求B截面的轉角θB

返回例12-6試用卡式定理求θB。解:1.添加力偶矩Me

Me=03.根據卡氏定理計算θB2.彎矩方程及對其Me的一階偏導數返回例12-7一平面剛架如圖所示已知:各段桿的抗彎剛度均為EI，求:C截面的豎直位移ΔCV與水平位移ΔCH

返回例12-7求:ΔCV與ΔCH

解:

1.為區(qū)分兩力，2.計算ΔCV分別將兩力記為F1、F2

F1=F，

F2=F彎矩方程及其對F1的偏導數返回解:2.計算ΔCV彎矩方程及其對F1的偏導數令F1=F2=F返回解:2.計算ΔCH彎矩方程及其對F2的偏導數令F1=F2=F返回§12.4莫爾定理與單位載荷法返回總目錄一、單位載荷法（又稱莫爾積分）如圖，欲求C截面的豎直位移Δ

,若設想在梁的C截面沿豎直方向施加一單位載荷可證明

式中，M(x)——實際載荷引起的彎矩；

——虛加的單位載荷引起的彎矩。

返回對于桁架結構對于扭轉軸

式中，FN——實際載荷引起的軸力——單位載荷引起的軸力

式中，T(x)——實際載荷引起的扭矩

——單位載荷引起的扭矩返回組合變形桿件說明：

◆單位載荷是廣義的，應與待求位移相對應。

◆以上公式，僅適用于線彈性結構

。

二、單位載荷法的步驟

1.添加與待求位移相對應的單位載荷；

2.分別計算單位載荷與實際載荷引起的內力；

3.將內力結果代入公式，計算位移。返回例12-8已知：梁的抗彎剛度為EI，試：用單位載荷法計算θB。返回例12-8試：用單位載荷法計算θB。1.在B面施加一單位力偶解:2.列彎矩方程實際載荷作用下單位載荷作用下3.B截面的轉角

返回例12-9一正方形桁架結構如圖所示已知:5根桿的拉壓剛度EA相同，正方形邊長為l，試求:A、C兩結點之間的相對水平位移ΔA-CH

返回例12-9已知：各桿剛度為EA，正方形邊長為l，

求:A、C兩點間的相對水平位移ΔA-CH解:1.在A、C處加一對單位力實際載荷作用下單位載荷作用下2.計算各桿軸力返回例12-9已知：各桿剛度為EA，正方形邊長為l，求:A、C兩點間的相對水平位移ΔA-CH3.A、C兩點間的相對水平位移

返回例12-10

圖a所示結構，已知AC桿的抗彎剛度為EI，BD桿的拉壓剛度為EA，試求C截面的豎直位移