《電路分析簡(jiǎn)明教程》課件第4章

4.1頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)4.2一階電路和二階電路的頻率響應(yīng)4.3串聯(lián)諧振電路4.4并聯(lián)諧振電路4.5應(yīng)用實(shí)例習(xí)題4第4章頻率響應(yīng)和諧振電路4.1頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)對(duì)于動(dòng)態(tài)電路，由于容抗和感抗都是頻率的函數(shù)，因而不同頻率的正弦激勵(lì)作用于電路時(shí)，即使其振幅和初相相同，響應(yīng)的振幅和初相都將隨之而變。這種電路響應(yīng)隨激勵(lì)頻率而變化的特性稱為電路的頻率特性或頻率響應(yīng)。(4.1-1)在電路分析中，電路的頻率特性通常用正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來(lái)描述。在具有單個(gè)正弦激勵(lì)源(設(shè)其角頻率為ω)的電路中，如果將我們所關(guān)心的某一電壓或電流作為響應(yīng)，根據(jù)齊次定理，響應(yīng)相量(振幅相量或有效值相量)與激勵(lì)相量(振幅相量或有效值相量)成正比，即式中的比例系數(shù)H(jω)稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，即(4.1-2)譬如，在圖4.1-1(b)所示的RC電路中，若以電容電壓為響應(yīng)，以電壓源為激勵(lì)，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(轉(zhuǎn)移電壓比)為(4.1-3)可見網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)是由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定的，并且一般是激勵(lì)角頻率(或頻率)的復(fù)函數(shù)。它反映了電路自身的特性。顯然，當(dāng)激勵(lì)的有效值和初相保持不變(即不變)，而頻率改變時(shí)，響應(yīng)=H(jω)將隨頻率的改變而變化，其變化規(guī)律與H(jω)的變化規(guī)律一致。也就是說(shuō)，響應(yīng)與激勵(lì)頻率的關(guān)系取決于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與頻率的關(guān)系，故網(wǎng)絡(luò)函數(shù)又稱為頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻率響應(yīng)。(4.1-4)將H(jω)、、都寫成極坐標(biāo)的形式，代入式(4.1-2)可得由此可得(4.1-5)(4.1-6)θ(ω)=

y–f

式中|H(jω)|是H(jω)的模，它是響應(yīng)相量的模與激勵(lì)相量的模之比，稱為幅度-頻率特性或幅頻響應(yīng)；θ(ω)是H(jω)的輻角，它是響應(yīng)相量與激勵(lì)相量之間的相位差，稱為相位-頻率特性或相頻響應(yīng)。由式(4.1-1)、(4.1-5)和(4.1-6)可得，若激勵(lì)相量所對(duì)應(yīng)的正弦量為

f(t)=Fmcos(ωt+φf(shuō))

則響應(yīng)相量所對(duì)應(yīng)的正弦量為(4.1-7)y(t)=Ym

cos

(ωt+

y)=│H(jω)│Fm

cos

[ωt+f+θ(ω)]

例4.1-1

如圖4.1-1(a)所示的電路，若R=1kΩ，C=1μF，激勵(lì)電壓uS=10cosω0t+10cos2ω0t+10cos3ω0tV其中角頻率ω0=103rad/s，求電路的響應(yīng)uC(t)。圖4.1-1例4.1-1圖

解輸入信號(hào)us(t)含有三個(gè)不同頻率的正弦量，分別為將這三個(gè)分量等效為三個(gè)電壓源串聯(lián)，它們各自引起的響應(yīng)分別用uC1(t)、uC2(t)和uC3(t)表示，則根據(jù)疊加定理，電路在激勵(lì)us(t)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

uC(t)=uC1(t)+uC2(t)+uC3(t)對(duì)圖4.1-1電路，將電路參數(shù)R=1kΩ，C=1μF代入式(4.1-3)得其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為對(duì)于ω=ω0=103rad/s，ω=2ω0=2×103rad/s，ω=3ω0=3×103rad/s，其值分別為由于各不同頻率的激勵(lì)振幅相量分別為故由式(5.1-1)得相應(yīng)的響應(yīng)相量為按式(4.1-7)可分別求得它們所對(duì)應(yīng)的正弦量。最后可得圖4.1-1電路的響應(yīng)由本例也可看出，激勵(lì)作用于電路時(shí)，其不同頻率分量的幅度和相位受到不同的影響，而正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)恰反映了這一情況。對(duì)于圖4.1-1(b)所示的電路，求式(4.1-3)的模和相位，可得其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為(4.1-8a)(4.1-8b)其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線如圖4.1-2所示。圖4.1-2例4.1-1的頻率響應(yīng)由圖4.1-2可見，當(dāng)頻率很低時(shí)，|H(jω)|≈1;當(dāng)頻率很高時(shí)，|H(jω)|1。這表明，圖4.1-1的電路，當(dāng)輸出取自電容電壓時(shí)，低頻信號(hào)較容易通過(guò)，而高頻信號(hào)將受到抑制，常稱這類電路為低通濾波電路或低通濾波器。通常將的頻率范圍稱為該電路的通帶；而將的頻率范圍稱為止帶或阻帶；二者的邊界稱為截止頻率，用fc表示，截止角頻率用ωc表示。當(dāng)ω=ωc時(shí)，電路的輸出功率是最大輸出功率的一半，因此，ωc又稱為半功率點(diǎn)頻率。工程上，通常用分貝(decibel，簡(jiǎn)記為dB)作為度量|H(jω)|的單位。|H(jω)|所具有的分貝數(shù)規(guī)定為20lg|H(jω)|。由于20lg≈-3，即，當(dāng)ω=ωc時(shí)，電路的輸出幅度下降了其最大值的3分貝，因而ωc也稱為3分貝頻率。由式(4.1-8a)可知Hmax=1，故由得ωcRC=1，故該低通濾波器的截止角頻率(4.1-9)由圖4.1-2可見，相頻響應(yīng)隨ω的增高，由零單調(diào)地減小到-π/2。在截止頻率處θ(ωc)=-π/4。按通、止帶來(lái)分類，濾波器可分為低通、高通、帶通和帶阻等，如圖4.1-3所示。幅頻響應(yīng)|H(jω)|為常數(shù)的電路稱為全通電路。圖4.1-3濾波器的分類4.2一階電路和二階電路的頻率響應(yīng)4.2.1一階電路

一階電路通常有RC電路和有源RC電路等，按其頻率響應(yīng)可分為低通、高通和全通三種類型。一階電路網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的典型形式為(4.2-1)低通函數(shù)(4.2-2)(4.2–3)高通函數(shù)全通函數(shù)

上節(jié)討論的圖4.1-1就是一RC低通電路(請(qǐng)參看例4.1-1)，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(4.2-4)式中，ωc=1/(RC)，與式(4.2-1)相比較知H0=1，其幅頻特性和相頻特性如圖4.1-2所示。

RC低通電路被廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的整流電路中，以濾除整流后電源電壓中的交流分量；或用于檢波電路中以濾除檢波后的高頻分量。因此，該電路又稱為RC低通濾波電路。若將圖5.1-1(b)RC電路的電阻電壓作為響應(yīng)，如圖5.2-1(a)所示，它就變成了一個(gè)高通電路，不難求出其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(4.2-5)式中，ωc=1/(RC)，與式(4.2-2)相比較知，H∞=1。上式可進(jìn)一步寫為(4.2-6)圖4.2-1RC高通電路該高通電路的幅頻和相頻特性分別為(4.2-7)按上式畫出的幅頻和相頻特性曲線如圖4.2-1(b)所示。在截止頻率ωc處，|H(jωc)|=

,θ(ωc)=π/4。ω>ωc的頻率范圍為通頻帶；0~ωc的頻率范圍為阻帶。這一電路常用作電子電路放大器級(jí)間的RC耦合電路。4.2.2二階電路

二階電路有RLC電路、RC電路和RC有源電路等，按頻率響應(yīng)可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通等五種類型。各種典型的二階網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為(4.2-8)低通函數(shù)(4.2-9)(4.2–10)高通函數(shù)帶通函數(shù)(4.2–11)(4.2–12)帶阻函數(shù)全通函數(shù)

例4.2-1

圖4.2-2(a)是雙RC電路，如以為激勵(lì)，以為響應(yīng)，求電壓比函數(shù)H(jω)=，并分析其特性。圖4.2-2RC帶通電路解對(duì)圖4.2-2(a)所示的電路，根據(jù)分壓公式可得網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(轉(zhuǎn)移電壓比)令ω0=1/(RC)，Q=1/3，H0=1/3，于是上式可寫為(4.2-13a)上式分子、分母同除以jω，并稍加整理，可得帶通函數(shù)的另一種典型形式(4.2-13b)其幅頻和相頻特性分別為(4.2-14)(4.2-15)由上式可見，當(dāng)ω=ω0時(shí)，|H(jω0)|=H0。其幅頻、相頻特性曲線如圖5.2-2(b)所示。由幅頻特性曲線可知，幅頻特性的極大值發(fā)生在ω=ω0處，ω0稱為中心角頻率。在ω=ω0處，Hmax=|H(jω0)|=H0，θ(0)=0°；在ω=∞和ω=0處，|H(0)|=|H(j∞)|=0，θ(0)=θ(∞)=±π/2。當(dāng)|H(jω)|下降到其最大值的1/倍時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率，用fc1、fc2表示，其角頻率用ωc1、ωc2表示。根據(jù)式(4.2-14)有(4.2-16)可得(4.2-17)由上式可解得(4.2-18)(4.2–19)

ωc1<ω<ωc2的頻率范圍(相應(yīng)地fc1<f<fc2)為通帶，ω<ωc1和ω>ωc2(相應(yīng)地f<fc1和f>fc2)為阻帶。通帶的寬度稱為帶通電路的帶寬或通頻帶，它可用角頻率表示，也可用頻率表示(請(qǐng)注意，二者單位不同，且勿混淆)，都記為B，即(4.2-20a)或(4.2-20b)

對(duì)于本例，將Q=1/3，ω0=1/(RC)代入式(4.2-18)~(5.2-20a)，得ωc1=0.3/(RC),ωc2=3.3/(RC)，B=3/(RC)rad/s或B=3f0Hz(式中f0=1/(2πRC))。

例4.2-2

圖4.2-3(a)所示的雙T電路是一個(gè)帶阻電路。如以為激勵(lì)，以為響應(yīng)，求電壓比函數(shù)H(jω)=

，并分析其頻率特性。圖4.2-3RC帶阻電路解經(jīng)過(guò)運(yùn)算可求得其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(4.2-21)式中，ω0=1/(RC)，H∞=1，Q=1/4。上式分子、分母同除以(jω)2+，并稍加整理，得其幅頻和相頻特性分別為(4.2-22)(4.2-23)由上式可知，H∞是ω=∞(或ω=0)時(shí)|H(jω)|的值。其幅頻和相頻特性曲線如圖5.2-3(b)所示。由圖可見，在中心角頻率ω=ω0處，|H(jω0)|=0，θ(ω0)=±π/2。ω0常稱為陷波角頻率。在ω=∞和ω=0處，|H(j0)|=|H(j∞)|=H∞=1，θ(0)=θ(∞)=0°。該電路常用作高頻陷波電路。處所對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率，由式(4.2-22)可求得截止角頻率為(4.2-24)(4.2-25)

ωc1<ω<ωc2的頻率范圍(相應(yīng)地fc1<f<fc2)為阻帶，ω<ωc1和ω>ωc2(相應(yīng)地f<fc1和f>fc2)為通帶。阻帶的寬度稱為帶阻電路的帶寬或阻頻帶(用角頻率或頻率表示)，記為B，(4.2-26)(4.2-27)

例4.2-3

圖4.2-4是一種有源RC電路，求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)=。解由圖可列出節(jié)點(diǎn)a的節(jié)點(diǎn)方程為圖4.2-4有源RC電路根據(jù)分壓公式，節(jié)點(diǎn)b的電壓(4.2-28)輸出電壓將以上式及式(5.2-27)代入式(5.2-28)并消去，就可得到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)通過(guò)適當(dāng)?shù)卮钆涓鲗?dǎo)納(選電阻或電容)，就可得到不同類型的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。也就是說(shuō)，圖4.2-4的電路可實(shí)現(xiàn)多種類型的濾波電路。譬如，當(dāng)Y1=Y2=1/R，Y3=Y5=jωC，Y4=0時(shí)所構(gòu)成的電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為式(4.2-8)，是低通濾波電路；當(dāng)Y1=Y2=jωC，Y3=Y5=1/R,Y4=0時(shí)所構(gòu)成的電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為式(4.2-9)，是高通濾波電路；當(dāng)Y1=Y3=Y5=1/R，Y2=Y4=jωC時(shí)所構(gòu)成的電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為式(4.2-10)，是帶通濾波電路。4.3串聯(lián)諧振電路4.3.1RLC串聯(lián)諧振

圖4.3-1是r、L、C組成的串聯(lián)電路，其電源是角頻率為ω(頻率為f)的正弦電壓源，設(shè)電源電壓相量為，其初相為零。圖4.3-1rLC串聯(lián)電路圖4.3-1串聯(lián)回路的總阻抗(4.3-1)式中電抗(4.3-2)串聯(lián)電路中的電流相量(4.3-3)其模和相角分別為(4.3-4)由以上關(guān)系可以看出，在電路參數(shù)r、L、C一定的條件下，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的角頻率ω變化時(shí)，感抗ωL隨ω增高而增大，容抗1/(ωC)隨ω增高而減小。因此，總電抗X=ωL-1/(ωC)也隨頻率而變化。圖4.3-2畫出了感抗、容抗、總電抗X和阻抗的模值|Z|隨角頻率變化的情況。圖4.3-2串聯(lián)回路的阻抗由圖可見，當(dāng)頻率較低時(shí)，ωL<1/(ωC)，電抗X為負(fù)值，電路呈容性，因而電流超前于電壓，如圖4.3-3(a)所示。隨著頻率的逐漸升高，|X|減小，從而阻抗的模值也減小，電流的模值增大。當(dāng)電源角頻率改變到某一值ω0時(shí)，使ω0L=1/(ω0C)，這時(shí)電抗X等于零，阻抗的模|Z|達(dá)最小值。這時(shí)電流達(dá)最大值，且與電源電壓同相，其相量關(guān)系如圖4.3-3(b)所示。如電源頻率繼續(xù)升高，則ωL>1/(ωC)，電抗為正值，電路呈感性，因而電流落后于電壓，其相量關(guān)系如圖4.3-3(c)所示。圖4.3-3rLC串聯(lián)電路的相量圖當(dāng)回路電抗等于零，電流與電源電壓同相時(shí)，稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。這時(shí)的頻率稱為串聯(lián)諧振頻率，用f0表示，相應(yīng)的角頻率用ω0表示。由式(4.3-2)，電路發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí)，有故得諧振角頻率ω0及諧振頻率f0為(4.3-5)當(dāng)rLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，電抗X=0，故阻抗為純阻性，且等于r，阻抗模最小。若諧振時(shí)的阻抗用Z0表示，則有

Z0=r

(4.3-6)

諧振時(shí)，ω0=1/，此時(shí)的感抗與容抗數(shù)值相等，其值稱為諧振電路的特性阻抗，用ρ表示，即(4.3-7)ρ=ω0L=可見特性阻抗是一個(gè)僅由電路參數(shù)決定的量。在工程中，通常用電路的特性阻抗ρ與回路電阻r的比值來(lái)表征諧振電路的性質(zhì)，此比值稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，用Q表示，即(4.3-8)它是一個(gè)無(wú)量綱的量。其含義稍后說(shuō)明。由式(4.3-3)可得，諧振時(shí)X=0，電流(4.3-9)(4.3-10)此時(shí)，電流與同相，并且I0達(dá)到最大值。諧振時(shí)，各元件電壓分別為可見，諧振時(shí)，電感電壓和電容電壓的模值相等，均為激勵(lì)電壓的Q倍，即UL0=UC0=QUs，但相位相反，故相互抵消(參看圖4.3-3(b))。這時(shí)，激勵(lì)電壓Us全部加到電阻r上，電阻電壓Ur達(dá)到最大值。實(shí)際中的串聯(lián)諧振電路，通常rρ，Q值可達(dá)幾十到幾百，因此諧振時(shí)電感和電容上的電壓值可達(dá)激勵(lì)電壓的幾十到幾百倍，所以串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。在通信和電子技術(shù)中，傳輸?shù)碾妷盒盘?hào)很弱，利用電壓諧振現(xiàn)象可獲得較高的電壓，但在電力工程中，這種高壓有時(shí)會(huì)使電容器或電感線圈的絕緣被擊穿而造成損壞，因此常常要避免諧振情況或接近諧振情況的發(fā)生。4.3.2品質(zhì)因數(shù)

品質(zhì)因數(shù)Q通常可定義為，在正弦穩(wěn)態(tài)條件下，元件或諧振電路儲(chǔ)能的最大值與其在一個(gè)周期內(nèi)所消耗能量之比的2π倍，即(4.3-11)當(dāng)考慮電感線圈的能量損耗時(shí)，其電路模型如圖4.3-4(a)所示。如果通過(guò)它的電流電感的儲(chǔ)能為其最大儲(chǔ)能為L(zhǎng)I2。一周期內(nèi)線圈電阻r所消耗的能量為I2rT=I2r/f(式中T為周期，f為頻率)。根據(jù)定義式(4.3-11)，電感線圈的品質(zhì)因數(shù)

(4.3-12)圖4.3-4線圈、電容器及其串聯(lián)電路模型當(dāng)考慮電容器的能量損耗時(shí)，其電路模型如圖4.3-4(b)所示。如果電容的端電壓電容的儲(chǔ)能為其儲(chǔ)能的最大值為CU2，一周期內(nèi)損耗電導(dǎo)G(G=1/R，這里G或R與電容相并聯(lián)用大寫R，以與串聯(lián)電阻r相區(qū)別)所消耗的能量為U2GT=U2G/f。根據(jù)式(4.3-11)，電容器的品質(zhì)因數(shù)(4.3-13)

順便指出，電容器的性能也常用損耗角或損耗角的正切來(lái)衡量，它與品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系是(4.3-14)

當(dāng)用電感線圈與電容器組成串聯(lián)諧振電路時(shí)，通常，電容器的損耗較電感線圈的損耗小很多，可以忽略不計(jì)，這時(shí)的串聯(lián)諧振電路如圖4.3-4(c)所示。下面討論該諧振電路的能量關(guān)系。設(shè)諧振時(shí)電路中的電流為則電感的瞬時(shí)儲(chǔ)能為(4.3-15)諧振時(shí)電容電壓的振幅為，其相位落后于電流，于是電容電壓為電容瞬時(shí)儲(chǔ)能為(4.3-16)串聯(lián)諧振電路諧振時(shí)總的瞬時(shí)儲(chǔ)能w0等于兩個(gè)儲(chǔ)能元件的瞬時(shí)儲(chǔ)能之和，即

(4.3-17)諧振電路中任意時(shí)刻t的電磁能量恒為常數(shù)說(shuō)明電路諧振時(shí)與激勵(lì)源之間確實(shí)無(wú)能量交換。只是電容與電感之間存在電磁能量的相互交換。諧振時(shí)，電路中只有電阻r消耗能量，一周期內(nèi)電阻r所消耗的能量為。根據(jù)定義式(4.3-11)，諧振電路諧振時(shí)的品質(zhì)因數(shù)(4.3-18)比較式(4.3-18)和式(4.3-8)，可看出二者相同。由此可見，諧振電路的Q值實(shí)質(zhì)上描述了諧振時(shí)電路的儲(chǔ)能和耗能之比。必須指出，諧振電路的品質(zhì)因數(shù)僅在諧振時(shí)才有意繡，在失諧情況下，式(4.3-18)不再適用。這就是說(shuō)，計(jì)算電路Q值時(shí)應(yīng)該用諧振角頻率ω0。4.3.3頻率響應(yīng)

前面討論了串聯(lián)諧振電路諧振時(shí)的特點(diǎn)，這里進(jìn)一步研究串聯(lián)諧振電路電流的頻率特性。圖4.3-1電路中的電流為(4.3-19)式中H0=1/r。因此，電路電流的頻率響應(yīng)為(4.3-20)與式(4.2-10)或式(4.2-13)比較可見，它是一個(gè)帶通函數(shù)。其幅頻和相頻特性分別為式(4.2-14)和(4.2-15)，截止頻率為式(4.2-18)和(4.2-19)；通頻帶寬B為式(4.2-20)。把Q=ω0L/r

代入式(4.2-20a)，可得串聯(lián)諧振電路的帶寬(用角頻率表示)(4.3-21)圖4.3-5rLC串聯(lián)諧振電路的頻率響應(yīng)由圖4.3-5(a)可見，諧振電路對(duì)頻率具有選擇性，其Q值越高，幅頻曲線越尖銳，電路對(duì)偏離諧振頻率的信號(hào)的抑制能力越強(qiáng)，電路的選擇性越好，因此在電子線路中常用諧振電路從許多不同頻率的各種信號(hào)中選擇所需要的信號(hào)。可是，實(shí)際信號(hào)都占有一定的頻帶寬度，由于通頻帶寬與Q成反比，因而Q過(guò)高，電路帶寬則過(guò)窄，這樣將會(huì)過(guò)多地削弱所需信號(hào)中的主要頻率分量，從而引起嚴(yán)重失真。

例4.3-1

一串聯(lián)諧振電路，L=50μH，C=200pF，回路品質(zhì)因數(shù)Q=50，電源電壓Us=1mV，求電路的諧振頻率、諧振時(shí)回路中的電流I0和電容上的電壓UC0以及帶寬B。

解由式(4.3-5)可求得電路的諧振頻率為求出諧振時(shí)的電流，可先求出回路的損耗電阻r。由式(4.3-8)可得所以諧振時(shí)的電流諧振時(shí)電容電壓UC0=QUS=50×10-3=50mV即為電源電壓Us的50倍。電路的帶寬4.4并聯(lián)諧振電路4.4.1GCL并聯(lián)諧振

圖4.4-1是GCL并聯(lián)諧振電路，它是圖4.3-1rLC串聯(lián)諧振電路的對(duì)偶電路，因此它的一些結(jié)果都可由串聯(lián)諧振電路對(duì)偶地得出。對(duì)此，下面將作簡(jiǎn)略的討論。圖4.4-1并聯(lián)諧振電路的總導(dǎo)納為(4.4-1)圖4.4-1GLC并聯(lián)電路當(dāng)電納B=0時(shí)，電路的端電壓與激勵(lì)同相，稱為并聯(lián)諧振。這時(shí)的頻率稱為并聯(lián)諧振頻率，用f0表示，角頻率用ω0表示。于是在并聯(lián)諧振時(shí)有可得諧振角頻率ω0和頻率f0為(4.4-2)在并聯(lián)諧振時(shí)，由于B=0，故諧振導(dǎo)納(4.4-3)這時(shí)導(dǎo)納為最小值，且為電阻性，而諧振阻抗(4.4-4)為最大值，且為電阻性。諧振時(shí)，感納1/(ω0L)與容納ω0C相等，因而感抗ω0L和1/(ω0C)也相等，稱為諧振電路的特性阻抗，即(4.4-5)并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)(見式4.3-13)為(4.4-6)諧振時(shí)，回路的端電壓(4.4-7)為最大值。這時(shí)各支路電流分別為(4.4-8)可見，并聯(lián)諧振時(shí)，電容電流和電感電流

的模值都等于QIs，但相位相反，故相互抵消(參見圖4.42(b))。根據(jù)這一特點(diǎn)，并聯(lián)諧振也稱為電流諧振。這時(shí)電源電流全部通過(guò)電導(dǎo)G，電導(dǎo)電流IG達(dá)最大值。在不同頻率時(shí)，各支路電流與電壓的相量關(guān)系如圖4.4-2所示。由圖可見，當(dāng)ω<ω0時(shí)，ωC<1/(ωL)，電納B為負(fù)值，電路呈電感性，電壓超前于電流，如圖4.4-2(a)所示。當(dāng)諧振時(shí)ω=ω0，電納B=0，電壓為最大值，且與電流

同相，如圖4.4-2(b)所示。當(dāng)ω>ω0時(shí)，ωC>1/(ωL)，電納B為正值，電路呈電容性，電壓落后于電流，如圖4.4-2(c)所示。圖4.4-2GLC并聯(lián)電路的相量圖對(duì)并聯(lián)諧振電路，我們常研究以端電壓為輸出的頻率響應(yīng)。對(duì)圖4.4-1所示的諧振電路，其端電壓為(4.4-9)式中H0=R=1/G

。因此，并聯(lián)諧振電路電壓的頻率響應(yīng)為(4.4-10)可見式(4.4-10)與式(4.3-20)形式相同，也是帶通函數(shù)；其幅頻和相頻特性曲線與圖4.3-5(a)和(b)的曲線完全相同；截止頻率仍為式(4.2-18)和(4.2-19)；通頻帶寬B為式(4.2-20)。把Q=ω0C/G

代入式(4.2-20a)，可得并聯(lián)諧振電路的帶寬(用角頻率表示)(4.4-11)4.4.2實(shí)用的簡(jiǎn)單并聯(lián)諧振電路

電子技術(shù)中實(shí)用的并聯(lián)諧振電路常具有圖4.4-3所示的形式，其中r是電感線圈的損耗電阻，一般電容的損耗很小，這里忽略不計(jì)。通常，諧振電路的Q值較高(Q1)，并且工作于諧振頻率附近，這時(shí)圖4.4-3的電路可等效為圖4.4-1的簡(jiǎn)單并聯(lián)諧振電路。圖4.4-3實(shí)際的并聯(lián)諧振電路圖4.4-3電路的總導(dǎo)納為當(dāng)回路的品質(zhì)因數(shù)Q較高，即r2＜＜(ωL)2

時(shí)，上式的分母中r2可以略去，于是得電路的導(dǎo)納(4.4-12)在諧振頻率附近，即ω≈ω0，上式中電導(dǎo)(4.4-13)式(4.4-12)正是圖4.4-1電路的總導(dǎo)納(見式4.4-1)。這表明，圖4.4-1的電路與圖4.4-3的電路，在諧振頻率附近且Q值較高時(shí)是相互等效的。在相互變換時(shí)，L和C不變，串聯(lián)于回路中的電阻r(見圖4.4-4(a))可以變換為并聯(lián)于回路兩端的電阻R(電導(dǎo)G)，如圖4.4-4(b)所示；同樣地，并聯(lián)于回路兩端的電阻R，也可變換為串聯(lián)于回路中的電阻r。由式(4.4-13)，它們相互變換的關(guān)系為(4.4-14)

圖4.4-4(a)和(b)電路的品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算公式分別為(4.4-15)由式(4.4-14)和式(4.4-15)還可以看出,并聯(lián)于回路兩端的電阻R越大,相當(dāng)于串聯(lián)于回路中的電阻r越小,從而Q值越高;反之,R越小,相當(dāng)于r越大,從而Q值越低。圖4.4-4高Q等效電路

例4.4-1

圖4.4-5是某放大器的簡(jiǎn)化電路，其中電源電壓Us=12V，內(nèi)阻Rs=60kΩ并聯(lián)諧振電路的L=54μH，C=90pF，r=9Ω；電路的負(fù)載是阻容并聯(lián)電路，其中RL=60kΩ，CL=10pF。如整個(gè)電路已對(duì)電源頻率諧振，求諧振頻率、RL兩端的電壓和整個(gè)電路的有載品質(zhì)因數(shù)QL。圖4.4-5例4.4-1圖

解將電壓源與Rs相串聯(lián)的支路變換為電流源與電阻并聯(lián)，將諧振電路變換為GCL并聯(lián)電路，于是得出圖4.4-5電路的等效電路如圖4.4-6(a)所示，將有關(guān)元件并聯(lián)，得圖4.4-6(b)所示的電路。圖中Gs=1/Rs，GL=1/RL。由于

C′=C+CL=90+10=100pF故并聯(lián)電路的諧振阻抗圖4.4-6例4.4-1電路的等效圖4.4-6(b)中，總電導(dǎo)電阻根據(jù)圖4.4-6(b)可求得電路的諧振頻率R′的端電壓也就是RL兩端的電壓由式(4.4-15)，可得整個(gè)電路的有載品質(zhì)因數(shù)U=IS

R

=0.2×10–3×20×103=4V例4.4-2圖4.4-7所示的濾波器能夠阻止信號(hào)的基波通至負(fù)載RL,同時(shí)能夠使10次諧波順利地通過(guò)負(fù)載。設(shè)C=0.01μF,基波的角頻率ω=105rad/s,求電感L1和L2。圖4.4-7例4.4-2圖解

由于基波不能通過(guò),表示電路中某一局部電路對(duì)基波產(chǎn)生諧振而導(dǎo)致斷路。由圖可見,當(dāng)L1和C并聯(lián)電路對(duì)基波發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí),其諧振阻抗為無(wú)窮大,從而導(dǎo)致斷路。故有解得又因?yàn)?0次諧波能夠順利通過(guò),相當(dāng)于10次諧波信號(hào)直接加到負(fù)載RL上,表示L1、C并聯(lián)再和L2串聯(lián)的組合對(duì)10次諧波發(fā)生了諧振。這時(shí)諧振阻抗為零,該組合相當(dāng)于短路。故有將L1=0.01H,ω=105rad/s,C=0.01μF代入上式,可得L2=101μH。4.5.1信號(hào)分離電路

濾波器的一種典型應(yīng)用是信號(hào)分離。

1.高低音分離電路音頻信號(hào)是指20Hz~20kHz頻率范圍的信號(hào)。一般將高于2kHz的信號(hào)稱為高音信號(hào)，低于2kHz的信號(hào)稱為中低音信號(hào)。4.5應(yīng)用實(shí)例圖4.5-1(a)所示為一簡(jiǎn)單的高低音分離電路，它由一個(gè)RC高通濾波器和一個(gè)RL低通濾波器組成。它將從立體聲放大器一個(gè)通道中出來(lái)的高于2kHz頻率的信號(hào)送到高音揚(yáng)聲器，而低于2kHz頻率的信號(hào)送到中低音揚(yáng)聲器。將放大器用一個(gè)電壓源等效，揚(yáng)聲器用電阻作為電路模型，則圖4.5-1(a)所示的電路可等效為圖4.5-1(b)。其傳輸函數(shù)為幅頻特性為幅頻特性曲線如圖4.5-1(c)所示。圖4.5-1音頻信號(hào)分離電路及其幅頻特性

2.聲頻視頻信號(hào)分離電路一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)廣播波段的電視接收機(jī)必須處理視頻(圖像)信號(hào)和聲頻(聲音)信號(hào)。每個(gè)電視發(fā)射臺(tái)分配6MHz的帶寬。可以通過(guò)使用調(diào)諧放大器調(diào)整電視接收機(jī)的前端，以選擇眾多頻道中的一個(gè)。無(wú)論需要調(diào)諧的頻道是哪一個(gè)，接收機(jī)前端信號(hào)輸出的帶寬均為41~46MHz,這個(gè)頻帶稱為中頻(IF)，包括聲頻和視頻信號(hào)。圖4.5-3(a)所示為簡(jiǎn)單聲頻視頻信號(hào)分離電路。中頻混合信號(hào)送到顯像管之前，聲頻信號(hào)被4.5MHz(聲頻載波頻率)的帶阻濾波器(稱為陷波器)濾除，如圖4.5-3(a)所示。這種陷波器可以抑制聲音信號(hào)?；旌闲盘?hào)也輸入到帶通電路(如圖4.5-3(a)所示)，此帶通電路調(diào)諧至聲頻載波頻率4.5MHz，然后聲音信號(hào)經(jīng)過(guò)處理，并送往揚(yáng)聲器。圖4.5-2聲頻視頻信號(hào)分離電路圖4.5-2(b)給出了聲頻視頻信號(hào)分離電路的等效電路，揚(yáng)聲器和顯像管分別用電阻R1和R2等效。由圖4.5-2(b)，有求解，并整理，可得傳輸函數(shù)可見，帶通濾波電路的中心頻率為陷波器的中心頻率為其幅頻特性如圖4.5-3所示。取L1=L2=L，C1=C2=C，則f01=f02。圖4.5-3濾波電路的幅頻特性圖4.5-4例4.5-1圖4.5.2無(wú)線電接收機(jī)的調(diào)諧電路

串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路都普遍應(yīng)用于收音機(jī)和電視機(jī)的選臺(tái)技術(shù)中。無(wú)線電信號(hào)由發(fā)射機(jī)通過(guò)電磁波發(fā)射出來(lái)，然后在大氣中傳播。當(dāng)電磁波通過(guò)接收機(jī)天線時(shí)，將感應(yīng)出極小的電壓。接收機(jī)必須從接收的寬闊的電磁頻率范圍內(nèi)，僅取出一個(gè)頻率或一個(gè)頻率帶限。

例4.5-1

圖4.5-4給出某AM(調(diào)幅)收音機(jī)的調(diào)諧電路示意圖，已知其電感線圈的電感L=1μF，要使諧振頻率可由AM頻段(AM廣播的頻率范圍是540~1600kHz)的一端調(diào)整到另一端，問可變電容C的取值范圍應(yīng)該是多少？

解由公式可得對(duì)于AM頻段的高端，f0=1600kHz，與其相應(yīng)的C值為對(duì)于AM頻段的低端，f0=540kHz，與其相應(yīng)的C值為因此，C值必須是由9.9nF到86.9nF的可調(diào)電容器。習(xí)題4

4-1求題4-1圖示各電路的轉(zhuǎn)移電壓，并定性畫出幅頻和相頻特性曲線。

4-2求題4-2圖示各電路的轉(zhuǎn)移電流比，以及截止頻率和通頻帶。題4-1圖題4-2圖

4-3題4-3圖示電路是RC二階帶通電路。

(1)求電壓比；

(2)若R1=R2=R，C1=C2=C

為已知，求中心角頻率ω0、Q、幅頻特性的最大值Hmax以及下截止角頻率和上截止角頻率。題4-3圖

4-4一rLC串聯(lián)諧振電路，已知r=10Ω，L=64μH，C=100pF，外加電源電壓Us=1V。求電路的諧振頻率f0、品質(zhì)因數(shù)Q、帶寬B、諧振時(shí)的回路電流I0和電抗元件上的電壓UL和UC。

4-5一rLC串聯(lián)諧振電路，電源電壓Us=1V，且保持不變。當(dāng)調(diào)節(jié)電源頻率使電路達(dá)到諧振時(shí)，f0=100kHz，這時(shí)回