《材料力學》課件第6章

第6章彎曲變形6.1引言6.2確定梁位移的積分法6.3確定梁位移的疊加法6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計6.5簡單靜不定梁6.1引言

1.工程中的彎曲變形問題工程中的很多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在工作時，對于彎曲變形都有一定的要求。一類是要求構(gòu)件的位移不得超過一定的數(shù)值。例如行車大梁在起吊重物時，若其彎曲變形過大，則小車行駛時就要發(fā)生振動；若傳動軸的彎曲變形過大，不僅會使齒輪不能很好地嚙合，還會使軸頸與軸承產(chǎn)生不均勻的磨損；輸送管道的彎曲變形過大，會影響管道內(nèi)物料的正常輸送，還會出現(xiàn)積液、沉淀和法蘭聯(lián)結(jié)不密等現(xiàn)象；造紙機上的軋輥，若彎曲變形過大，生產(chǎn)出來的紙張就會厚薄不均，成為廢品。另一類是要求構(gòu)件能產(chǎn)生足量的變形。例如車輛鋼板彈簧，變形大可減緩車輛所受到的沖擊；又如繼電器中的簧片，為了有效地接通和斷開電源，在電磁力作用下必須保證觸點處有足夠大的位移。

2.撓度、轉(zhuǎn)角及其相互關(guān)系

在平面彎曲中，梁變形后的軸線是位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條連續(xù)光滑的平面曲線，稱為梁的撓曲線，如圖6－1所示。圖6－1通常情況下，剪力對彎曲變形的影響可忽略不計。因此，即使是橫力彎曲，梁的橫截面在變形時仍保持為平面，且垂直于梁的撓曲線，“剛性”地繞中性軸轉(zhuǎn)過某一角度。由此可見，梁的變形可用橫截面形心的位移及截面的角位移來描述。

選取x－w平面坐標系。x軸沿梁變形前的軸線，向右為正，表示梁橫截面的位置；w軸沿垂直于梁軸線的方向，向上為正，表示梁橫截面形心的橫向位移。橫截面的形心沿w軸方向的線位移稱為撓度，用w表示。不同橫截面的撓度一般不同，撓度是坐標位置的函數(shù)，可表示為上式稱為撓度方程。彎曲變形時，軸線位于中性層上，梁軸的長度保持不變，因此橫截面的形心沿梁軸方向也存在位移，但在小變形條件下，橫截面形心的軸向位移是二階微量，遠小于其橫向位移，可忽略不計。所以撓度方程也稱為梁的撓曲線方程（或撓曲軸方程）。

橫截面的角位移稱為轉(zhuǎn)角，用θ表示。橫截面的轉(zhuǎn)角θ等于撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角，如圖6－1所示。撓度的正負規(guī)定為向上為正、向下為負；轉(zhuǎn)角的正負規(guī)定為逆時針為正、順時針為負。工程中，梁的轉(zhuǎn)角一般都很小，例如不超過1°（0.075rad），由圖示幾何關(guān)系可得（6－1）即在小變形情形下，梁的撓度對坐標位置的一階導數(shù)等于轉(zhuǎn)角。 6.2確定梁位移的積分法

6.2.1撓曲線微分方程

由上一章知，用曲率表示的彎曲變形公式（5－1）為這一公式是在純彎曲情況下得到的，若忽略剪力對梁變形的影響，則此式也可用于一般橫力彎曲，由于梁軸上各點的曲率和彎矩均是橫截面位置x的函數(shù)，因而上式可寫為（a）由高等數(shù)學知識可知，平面曲線上任一點的曲率為（b）將式（b）代入式（a）可得（c）式(c)稱為撓曲線微分方程，是一個二階非線性常微分方程。在小變形情形下，轉(zhuǎn)角θ=(dw/dx)1，為一階微量，(dw/dx)2為高階微量,略去不計。式（c）可簡化為（d）（6－2）式(6－2)稱為梁撓曲線的近似微分方程。根據(jù)這個近似微分方程所得的解，在工程中，已足夠精確。對于等截面梁，抗彎剛度EI為常量，式(6－2)可改寫為（6－3）圖6－26.2.2積分法求梁的變形

對式（6－3）積分一次，得轉(zhuǎn)角方程為（6－4）再積分一次，得撓曲線方程為（6－5）式中C、D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁的邊界條件和撓曲線的連續(xù)光滑條件來確定。例如，在固定端處，橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為零，即w=0,

θ=0在鉸支座處，橫截面的撓度為零，即w=0中間鉸鏈左右兩側(cè)截面的撓度相等，滿足連續(xù)條件，即梁橫截面的已知位移條件或約束條件，稱為梁位移的邊界條件。當彎矩方程需要分段建立時，各段梁的撓度、轉(zhuǎn)角方程也將不同，但在相鄰梁段的交接處，左右兩鄰面應(yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角，即應(yīng)滿足連續(xù)光滑條件,稱為梁位移的連續(xù)光滑條件,可表示為一般來說，積分常數(shù)可由位移邊界條件和連續(xù)光滑條件共同確定。當積分常數(shù)確定后，將其代入式（6－4）和式（6－5），即得梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。這種通過兩次積分確定梁位移的方法稱為積分法。

例6－1有一支承管道的懸臂梁AB（見圖6－3）。管道的重量為W，梁長為l，抗彎剛度為EI，求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。圖6－3

解選取坐標系如圖6－3所示。距梁左端為x處截面的彎矩為代入式（6－3），得撓曲線的近似微分方程為（a）將式（a）積分一次，得（b）再積分一次，得（c）確定積分常數(shù)C和D的邊界條件為：在固定端截面處，撓度和轉(zhuǎn)角均為零。即將（b）、(c)兩式代入，得將所得積分常數(shù)代入（b）、(c)兩式，得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為顯然在自由端處轉(zhuǎn)角與撓度最大，即當x=l時，得式中轉(zhuǎn)角為負值，表示梁變形時B橫截面繞中性軸按順時針方向轉(zhuǎn)動；撓度為負，表明B截面形心向下移動。

例6－2

簡支梁AB受力如圖6－4所示（圖中a>b），梁的抗彎剛度EI為常量，求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并確定最大撓度值。圖6－4

解（1）求約束力。建立坐標系如圖所示,求得約束力為方向均豎直向上。（2）寫出彎矩方程。由于集中力加在兩支座之間，彎矩方程在AC、BC兩段各不相同。

AC段:CB段:（3）分段建立梁的撓曲線近似微分方程。寫出撓曲線的近似微分方程分別為

AC段:CB段:（4）積分法求變形。分別積分兩次，可得

AC段:CB段(a)(b)(c)(d)

確定上述四個積分常數(shù)需要四個條件。支座A、B兩處的邊界條件為由連續(xù)光滑條件可知，在AC和CB段的分段點C處（x=a），左右兩鄰面的撓度和轉(zhuǎn)角必相等，即利用式（e）和式（f），即可解得于是，求得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為(e)(f)AC段:CB段:(g)（h）（i）（j）（5）求梁的最大轉(zhuǎn)角與最大撓度。

將x=0代入式（g）可得梁左端面的轉(zhuǎn)角為將x=l代入式（i）可得梁右端面的轉(zhuǎn)角為若 ，則梁右端面轉(zhuǎn)角絕對值最大，即：

簡支梁的最大撓度應(yīng)在處，先分析AC段梁，由撓度的一階導數(shù)為零可解得當a>b時，此值小于a，因而最大撓度確實在AC段內(nèi)，代入式（g）得(↓)若，即集中力作用在跨度中點，則梁中點處的撓度最大為(↓) 6.3確定梁位移的疊加法表6－1

用疊加法求梁的位移時應(yīng)注意以下兩點：一是正確理解梁的變形與位移之間的區(qū)別和聯(lián)系，位移是由變形引起的，但沒有變形不一定沒有位移；二是正確理解和應(yīng)用變形連續(xù)]條件，即在線彈性范圍內(nèi)，梁的撓曲線是一條連續(xù)光滑的曲線。下面舉例說明疊加法的應(yīng)用。例6－3

某橋式起重機力學模型如圖6－5（a）所示，橫梁自重可視為均布載荷，集度為q，作用于跨度中點的載荷為F＝ql，梁的抗彎剛度為EI，試求B點處截面的轉(zhuǎn)角θB及C點處的撓度wC。圖6－5

解用疊加法求解此題。

將載荷分解為中點作用集中力、全梁作用均布載荷的簡支梁兩種情況，查表6－1可得由集中力F引起的C處的撓度wCF和B處的轉(zhuǎn)角θBF分別為由均布載荷q引起的C處的撓度wCq和B處的轉(zhuǎn)角θBq分別為所以B截面處的轉(zhuǎn)角和C截面處的撓度分別為例6－4

圖6－6所示的簡支梁受半跨度均布載荷作用，梁的抗彎剛度為EI。試求梁中點C處的撓度wC。圖6－6

解本題可用兩種方法求解。

解法一：均布載荷可視為作用在梁軸上的無數(shù)微小集中載荷。由表6－1（7）可知，在距梁左端為x(l/2<x<l)處的微小載荷qdx作用下（見圖6－6(b)），簡支梁中點的撓度為所以半跨度均布載荷在簡支梁中點處所引起的撓度為

解法二：將圖6－6(a)所示的梁上載荷分解為作用在整個梁上向下的均布載荷q（見圖6－6(c)）和左半跨度上的均布載荷q（見圖6－6(d)）。由表6－1（8）可查出，圖6－1(c)所示載荷作用下，梁中點的撓度為

由對稱性可知，在圖9-6d所示的半跨度均布載荷作用下，簡支梁中點的撓度與所要求的大小相等，方向相反，即

由疊加法可知，梁中點C的撓度為所以有圖6－7

例6－5

圖6－7(a)所示的組合梁由梁AB與梁BC用鉸鏈連接而成。在梁AB上作用有均布載荷q，梁BC的中點作用有集中力F＝qa。試求截面B的撓度與截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)兩段梁的抗彎剛度均為EI。

解梁AB與梁BC的受力分別如圖6－7(b)所示。由靜平衡條件可求得支座A及中間鉸鏈B處的約束力分別為分析懸臂梁BC，查表6－1（1)、(2）可得變形后撓曲線的大致形狀如圖6－7(c)中細實線所示。截面A的轉(zhuǎn)角等于因中間鉸鏈B處撓度所引起的截面A的轉(zhuǎn)角與均布載荷作用于簡支梁AB所引起截面A的轉(zhuǎn)角的代數(shù)和，即 6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計

1.梁的剛度條件

在機械設(shè)備及工程結(jié)構(gòu)中，許多梁除應(yīng)滿足彎曲強度條件外，還應(yīng)具備必要的剛度。在工程中應(yīng)對許多梁的撓度加以限制，對于某些梁（如傳動軸），還需要對其轉(zhuǎn)角加以限制。

若許用撓度用［δ］表示，許用轉(zhuǎn)角用［θ］表示，梁的剛度條件可表示為（6－6）（6－7）

式中wmax與θmax均取絕對值。剛度條件要求梁在工作時其最大撓度與最大轉(zhuǎn)角分別不超過各自的許用值。而在有些情況下，還會限制某些特定截面的撓度、轉(zhuǎn)角不超過其許用值。

許用撓度與許用轉(zhuǎn)角的數(shù)值由梁的工作條件決定。例如對跨度為l的橋式起重機梁，其許用撓度為對于跨度為l一般用途的軸，其許用撓度為跨度為l的架空管道的許用撓度為對于高度為h的一般塔器的許用撓度為在安裝齒輪或滑動軸承處，軸的許用轉(zhuǎn)角則為至于其他梁或軸的許用位移值，可從有關(guān)設(shè)計規(guī)范或手冊中查得。

例6－6一簡支梁由單根工字鋼制成，跨度中點承受集中載荷F，已知F＝35kN，跨度l＝3m，許用應(yīng)力［σ］＝160MPa，許用撓度［δ］＝l／500，彈性模量E＝200GPa，試選擇工字鋼型號。

解（1）強度設(shè)計。

梁的最大彎矩為根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強度條件，可得

查型鋼表得，18號工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz=1.85×105mm3,滿足強度條件。（2）剛度校核。

查型鋼表得，18號工字鋼對中性軸的慣性矩為Iz=1.66×107mm4，最大撓度在梁跨度的中點，它的數(shù)值為梁的許可撓度［δ］=l/500=6mm。所以wmax<［δ］滿足剛度條件。大多數(shù)構(gòu)件的設(shè)計過程都是先進行強度設(shè)計或工藝結(jié)構(gòu)設(shè)計，確定截面的形狀和尺寸，然后再進行剛度校核。

2.提高彎曲剛度的措施

梁的撓度和轉(zhuǎn)角不僅與受力有關(guān)，而且與梁的抗彎剛度、跨度以及約束條件有關(guān)。據(jù)此，在梁的設(shè)計中可采取以下主要措施提高梁的剛度以減小其變形：增大梁截面的慣性矩；盡量減小梁的跨度或長度；增加支承；改善梁的受力情況等。

(1)提高梁的抗彎剛度EI。

各種鋼材的彈性模量E的數(shù)值相差不大，故采用高強度優(yōu)質(zhì)鋼來提高彎曲剛度的做法是不可取的。增大截面慣性矩I是提高抗彎剛度的主要途徑。與梁的強度問題一樣，可選用槽形、工字形、框形及空心圓等合理的截面形狀。

(2)改善梁的載荷。

改善梁上載荷的作用位置、方向及作用形式，降低梁上的彎矩，可提高梁的彎曲剛度。這與提高梁的強度措施一致。

(3)減小梁的跨度或合理增加梁的支承。

因為梁的撓度與跨度的三次方（集中載荷）或四次方（分布載荷）成正比，隨著梁的跨度的增加，梁的撓度迅速增大。在集中載荷作用下，簡支梁的跨度若加長20％，則最大撓度相應(yīng)增加48.8％。所以降低梁的跨度可明顯提高梁的彎曲剛度。

6.5簡單靜不定梁

前面所研究的梁均為靜定梁。在工程中，為了提高梁的強度和剛度，或由于結(jié)構(gòu)上的需要，往往給靜定梁增加約束，于是，梁的約束力數(shù)目超過獨立靜平衡方程的數(shù)目，即成為靜不定梁。

在靜定梁上增加的約束，對于維持構(gòu)件平衡來說是多余的，因此，習慣上常把這種約束稱為多余約束。與多余約束所對應(yīng)的支座約束力或約束力偶，統(tǒng)稱為多余約束反力。

通常把梁具有的多余約束反力數(shù)目，稱為梁的靜不定次數(shù)，靜不定次數(shù)等于約束反力總個數(shù)減去獨立靜平衡方程數(shù)。

圖6－8為了求解靜不定梁，除需要列出靜力平衡方程式外，還需要根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移間的物理關(guān)系，建立補充方程，補充方程個數(shù)應(yīng)與靜不定次數(shù)相等，這樣才能解出全部約束力。下面以圖6－9(a)為例，說明靜不定梁的求解方法。

該梁具有一個多余約束，為一次靜不定梁。如以B處支座作為多余約束，則相應(yīng)的多余約束力為FB。

為了求解，假想地將支座B解除，而以約束力FB代替其作用，于是得到一個承受集中力F和未知力FB的靜定懸臂梁AB，如圖6－9(b)所示。多余約束解除后，所得受力與原靜不定梁相同的靜定梁，稱為原靜不定梁的相當系統(tǒng)。圖6－9相當系統(tǒng)在載荷F與未知的多余反力FB作用下發(fā)生變形，為了使其變形與原靜不定梁相同，多余約束處的位移必須符合原靜不定梁在該處的約束條件。在本例中，即要求相當系統(tǒng)橫截面B的撓度為零，則圖6－9(b)與圖6－9(a)完全吻合。對于圖6－9(b)，要求其撓度為零的條件稱為變形協(xié)調(diào)條件。必須強調(diào)指出，這一變形協(xié)調(diào)條件是針對承受給定載荷和未知多余約束力的相當系統(tǒng)寫出的。

利用疊加法可求圖6－9(b)梁B點的撓度。由F力單獨作用時，如圖6－9(c)，B點撓度記為wBF,由FB力單獨作用時，如圖6－9(d)，B點撓度記為wBFB，所以變形協(xié)調(diào)條件可寫為（a）查表6－1得（b）（c）將式（b）、（c）代入式（a）并求解，可得

FB取正號，表示實際FB的方向與圖6－9(b)假設(shè)的方向相同。求出多余反力后，其余約束力即可由靜平衡方程求出。

以上分析表明，求解靜不定梁的關(guān)鍵在于確定多余約束力，其方法和步驟可概述如下：

（1）根據(jù)約束力與獨立平衡方程的數(shù)目，判斷梁的靜不定次數(shù)。

（2）解除多余約束，并以相應(yīng)的多余約束力代替其作用，得到原靜不定梁的相當系統(tǒng)。

（3）計算相當系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程，由此即可求出多余約束力。

例6－7

一懸臂梁AB，承受集中載荷F作用，因其剛度不夠，用一短梁加固，兩梁在C處的連接方式為鉸鏈連接，如圖6－10(a)所示。試計算梁AB最大撓度的減少量。假設(shè)二梁橫截面的抗彎剛度均為EI。

解（1）判斷靜不定次數(shù)。

梁AB與梁AC均為靜定梁，但由于在C處用鉸鏈相連增加一約束，因而該結(jié)構(gòu)屬于一次超靜定結(jié)構(gòu)。

（2）確定相當系統(tǒng)。

選