《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第7章

7.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析7.2非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換

7.3傅里葉變換性質(zhì)及定理7.4系統(tǒng)的頻域分析方法7.5無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)7.6理想低通濾波器與物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)7.7時(shí)域采樣與恢復(fù)（插值）習(xí)題七

LTI系統(tǒng)分析的一個(gè)基本任務(wù)是求解系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)。基本方法是將信號(hào)分解為多個(gè)基本信號(hào)元。頻域分析是將正弦函數(shù)作為基本信號(hào)元，任意信號(hào)可以由不同頻率的正弦函數(shù)表示。如果已知LTI系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的響應(yīng)，利用LTI系統(tǒng)的疊加、比例與時(shí)不變性就可以得到任意信號(hào)的響應(yīng)。除了求解系統(tǒng)的響應(yīng)外，頻域分析還可以方便地討論系統(tǒng)的頻響、失真、物理可實(shí)現(xiàn)(因果)性等在工作中經(jīng)常會(huì)遇到的實(shí)際問題。7.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析三角函數(shù)集是最重要的基本正交函數(shù)集，正、余弦函數(shù)都屬于三角函數(shù)集。它具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)三角函數(shù)是基本函數(shù)；

(2)用三角函數(shù)表示信號(hào)，建立了時(shí)間與頻率兩個(gè)基本物理量之間的聯(lián)系；

(3)單頻三角函數(shù)是簡(jiǎn)諧信號(hào)，簡(jiǎn)諧信號(hào)容易產(chǎn)生、傳輸、處理；

(4)三角函數(shù)信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號(hào)，僅幅度和相位有變化，計(jì)算方便。由于三角函數(shù)的上述優(yōu)點(diǎn)，周期信號(hào)通常被表示（分解）為無窮多個(gè)正弦信號(hào)之和。利用歐拉公式還可以將三角函數(shù)表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)，所以周期函數(shù)還可以展開成無窮多個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)之和，其優(yōu)點(diǎn)與三角函數(shù)級(jí)數(shù)相同。用這兩種基本函數(shù)表示的級(jí)數(shù)，分別被稱為三角形式傅里葉級(jí)數(shù)及指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)。它們是傅里葉級(jí)數(shù)中兩種不同的表達(dá)形式，都簡(jiǎn)稱傅氏級(jí)數(shù)。本節(jié)利用傅氏級(jí)數(shù)研究周期信號(hào)的頻域特性，建立信號(hào)頻譜的概念。7.1.1三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)

周期信號(hào)是周而復(fù)始，無始無終的信號(hào)。表示式為

f(t)=f(t+nT)(7.1-1)其中T是信號(hào)的最小重復(fù)時(shí)間間隔，其倒數(shù)是信號(hào)的基波頻率。若f(t)滿足狄里赫利條件，則f(t)可以展開為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，表示式為f(t)=a0+a1cos

0t+a2cos2

0t+

+b1sin

0t+b2sin2

0t+

(7.1-2)式中，(7.1-3)式中，ω0=2π/T是基波角頻率，有時(shí)也簡(jiǎn)稱基波頻率。一般取t0=-T/2。利用三角函數(shù)的邊角關(guān)系，我們還可以將一般三角形式化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式：(7.1-4)式(7.1-4)說明，任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)都可以表示為直流及其許多余弦分量之和。這些分量的頻率是ω0=2π/T的整數(shù)倍，通常稱ω0為基頻或基波頻率；2ω0為二次諧波頻率，3ω0為三次諧波頻率，…，nω0為n次諧波頻率，…；相應(yīng)的c0為直流幅度，c1為基波振幅，c2為二次諧波振幅，…，cn為n次諧波振幅；φ1為基波初相位，…，φn為n次諧波初相位。即周期信號(hào)可以被分解為直流分量、基波分量以及各次諧波分量之和。各頻率分量的振幅大小、相位的變化取決于信號(hào)的波形。信號(hào)的波形與頻譜是客觀存在的，我們可以通過示波器觀察信號(hào)的波形，也可以用頻譜分析儀觀察或度量信號(hào)的頻譜。事實(shí)上，通過頻譜而不是通過時(shí)域的波形，更容易理解人耳的聽覺過程。式(7.1-4)的傅里葉級(jí)數(shù)準(zhǔn)確地反映了周期信號(hào)分解的結(jié)果，但直觀性差，要將各次諧波分量疊加起來更是費(fèi)時(shí)費(fèi)力。為了簡(jiǎn)單、直觀地表示信號(hào)所包含主要頻率分量的振幅、相位隨頻率變化的情況，人們借助頻譜圖來描述信號(hào)的頻率及相位特性。周期信號(hào)的頻譜圖用信號(hào)的三個(gè)要素：頻率、振幅、相位來描述信號(hào)的主要信息，即以頻率ω為自變量，描述cn與ω，φn

與ω之間關(guān)系的圖形。一般由兩部分組成：一是振幅圖，用來描述振幅與頻率的關(guān)系，每條線的長(zhǎng)度代表該頻率振幅的大小；二是相位圖，用來描述相位與頻率的關(guān)系，每條線的長(zhǎng)度表示該頻率相位的大小。

例7.1-1已知周期信號(hào)f(t)如下，畫出其頻譜圖。解：將f(t)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式其中：c0=c1=c2=1,

,φ2=-π,。振幅譜與相位譜如圖7.1-1所示。圖7.1-1例7.1-1的頻譜圖(a)振幅圖；(b)相位圖畫頻譜圖時(shí)要注意，先將展開式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，且振幅cn≥0，jn一般取值在-π~π之間。7.1.2指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

利用歐拉公式(7.1-5）可將三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)(7.1-6)其中，系數(shù)F(n

0)=Fn

(7.1-7)F(nω0)是復(fù)常數(shù)，通常簡(jiǎn)寫為Fn。還可以將Fn表示成模和幅角的形式(7.1-8)指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為(7.1-9)三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式中cn是第n次諧波分量的振幅，但在指數(shù)形式中，F(xiàn)n要與相對(duì)應(yīng)的第-n項(xiàng)F-n合并，構(gòu)成第n次諧波分量的振幅和相位。由于復(fù)指數(shù)引入了-n使得頻譜有了負(fù)頻率。實(shí)際應(yīng)用中不存在負(fù)頻率，負(fù)頻率是將第n項(xiàng)諧波分量的三角形式寫成兩個(gè)復(fù)指數(shù)形式后出現(xiàn)的數(shù)學(xué)表示。同樣，為了簡(jiǎn)單、直觀地表示信號(hào)所包含的主要頻率分量隨頻率變化的情況，可以畫出指數(shù)形式的頻譜圖。與三角形式相同，頻譜圖一般由兩部分組成。振幅圖|Fn|中每條線的長(zhǎng)度代表該頻率振幅大小；相位圖jn

中每條線的長(zhǎng)度代表該頻率相位大小。不過，指數(shù)形式的頻譜是雙邊譜，即ω的取值范圍是從-∞~∞，不難推出|Fn|=cn/2是偶對(duì)稱的，jn是奇對(duì)稱的。例7.1-1的復(fù)指數(shù)形式頻譜如圖7.1-2所示。圖7.1-2例7.1-1的復(fù)指數(shù)形式頻譜圖

(a)振幅圖；(b)相位圖例7.1-2周期矩形脈沖f(t)的波形如圖7.1-3所示，求周期矩形脈沖頻譜。圖7.1-3例7.1-2周期矩形脈沖解：其中ω0=2π/T。將f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)(7.1-10)

式中，(7.1-11)特別設(shè)T=5τ，E=1，τ=T/5，代入式(7.1-11)其零點(diǎn)為，即5ω0、10ω0，…，且有c0=0.2，c1=0.37，c2=0.3，c3=0.2，c4=0.1，c5=0，c6=0.06，c7=0.086，c8=0.075，c9=0.04，c10=0，…。

T=5τ的三角形式與指數(shù)形式的振幅譜如圖7.1-4所示。圖7.1-4周期矩形信號(hào)的頻譜對(duì)圖7.1-4作如下討論：

(1)頻譜圖是離散的，頻率間隔ω0=2π/T。特別的，隨著周期T的增加，離散譜線間隔ω0減小；若T→∞，|Fn|→0，ω0→0，離散譜將變?yōu)檫B續(xù)譜。

(2)直流、基波及各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度E及脈沖寬度τ，反比于周期T。各諧波幅度隨Sa(nω0τ/2)的包絡(luò)變化，ω=2kπ/τ為零點(diǎn)(k=±1，±2，…)。若τ→0，第一個(gè)零點(diǎn)ω=2π/τ→∞。

(3)頻譜圖中有無窮多根譜線，但主要能量集中在第一個(gè)零點(diǎn)ω=2π/τ之間。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常把0~2π/τ的頻率范圍定義為矩形信號(hào)的頻帶寬度，記為B，于是(7.1-12)或Bω的單位是弧度/秒(rad/s)，Bf的單位是赫茲(Hz)。以上雖然是對(duì)周期矩形信號(hào)的頻譜分析，但其基本特性對(duì)所有周期信號(hào)都適用，由此給出周期信號(hào)頻譜的特性：

(1)離散性：譜線沿頻率軸離散分布。譜線僅在0、ω0、2ω0、…等基波的倍頻等（離散的）頻率點(diǎn)上出現(xiàn)。

(2)諧波性：各譜線等距分布，相鄰譜線的距離等于基波頻率。周期信號(hào)沒有基波頻率整數(shù)倍以外的頻率分量。

(3)收斂性：隨著n→∞，|Fn|或cn趨于零。7.2非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換

7.2.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換若將非周期信號(hào)看做是周期信號(hào)T→∞的極限情況。非周期信號(hào)就可以表示為fT(t)=f(t)

以周期矩形脈沖為例，當(dāng)T→∞時(shí)，周期信號(hào)就變成單脈沖的非周期信號(hào)。由7.1節(jié)分析可知，隨著周期T增大，|Fn|減小，離散譜線間隔ω0變窄；當(dāng)T→∞時(shí)，|Fn|→0，ω0→0，離散譜變成連續(xù)譜。雖然此時(shí)|Fn|→0，但其頻譜分布規(guī)律依然存在，它們之間的相對(duì)值仍有差別。為了描述這種振幅、相位隨頻率變化的相對(duì)關(guān)系，引入頻譜密度函數(shù)。已知周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為(7.2-1)式中，

Fn=F(n

0)=

(7.2-2)對(duì)式(7.2-2)兩邊取極限，并乘以T，使Fn不為零，得到(7.2-3)當(dāng)T→∞，周期信號(hào)fT(t)變成非周期信號(hào)f(t)，離散頻率nω0變?yōu)檫B續(xù)變量ω；|Fn|→0，但不為零，并將記為F(ω)，則式(7.2-3)變?yōu)?7.2-4)

因?yàn)椋菃挝活l帶的頻譜值，故為頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。非周期信號(hào)頻譜密度函數(shù)與周期信號(hào)的傅氏系數(shù)的關(guān)系為同樣，，由fT(t)的傅氏級(jí)數(shù)取極限得到(7.2-5)式(7.2-5)表明非周期號(hào)可以分解為無窮多個(gè)復(fù)振幅為的復(fù)指數(shù)分量之和。

F(ω)還可表示為

F(j

)=

F(j

)

e

j

(

)

(7.2-6)式中|F(ω)|是振幅譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱振幅譜；j(ω)是相位譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱相位譜。一般把式(7.2-4)與式(7.2-5)叫做傅里葉變換對(duì)，其中式(7.2-4)為傅里葉變換，式(7.2-5)為傅里葉反變換。傅里葉變換對(duì)關(guān)系也常用下述符號(hào)表示：或F(

)

f(t)(7.2-7)式(7.2-7)表示F(ω)與f(t)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，F(xiàn)(ω)是f(t)的頻譜密度函數(shù)，而f(t)是F(ω)的原函數(shù)。傅里葉變換也簡(jiǎn)稱傅氏變換。任意信號(hào)傅氏變換存在的充分條件是信號(hào)滿足絕對(duì)可積，即(7.2-8)信號(hào)的時(shí)間函數(shù)f(t)和它的傅氏變換即頻譜F(ω)是同一信號(hào)的兩種不同表現(xiàn)形式。f(t)顯示了時(shí)間信息而隱藏了頻率信息；F(ω)顯示了頻率信息而隱藏了時(shí)間信息。7.2.2常用函數(shù)的傅里葉變換對(duì)

1.單邊指數(shù)函數(shù)

1)單邊因果指數(shù)函數(shù)f(t)=e

at

(t)a>0其中(7.2-9)單邊因果指數(shù)函數(shù)的波形f(t)、振幅譜|F(ω)|、相位譜j(ω)如圖7.2-1所示。圖7.2-1單邊指數(shù)函數(shù)的f(t)、振幅譜、相位譜

2)單邊非因果指數(shù)函數(shù)其中(7.2-10)單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形f(t)、振幅譜|F(ω)|、相位譜j(ω)如圖7.2-2所示。圖7.2-2

eatε(-t)波形及其振幅、相位譜

2.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e

|a|t

－

<t<

，a>0或f(t)=eat

(－t)+e

at

(t)利用以上單邊指數(shù)函數(shù)的變換結(jié)果有其中

(

)=0

(7.2-11)雙邊指數(shù)函數(shù)的波形f(t)、頻譜F(ω)如圖7.2-3所示。圖7.2-3雙邊指數(shù)函數(shù)的波形f(t)、頻譜

3.符號(hào)函數(shù)

符號(hào)函數(shù)也稱正負(fù)函數(shù)，記為sgn(t)，表示式為=－

(－t)+

(t)顯然，這個(gè)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用式(7.2-4)直接來求。我們可以用極限形式來表示sgn(t)函數(shù)上式是兩個(gè)單邊指數(shù)函數(shù)的組合，利用前面的結(jié)果，并取極限可得(7.2-12)符號(hào)函數(shù)的波形f(t)、振幅譜|F(ω)|、相位譜j(ω)如圖7.2-4所示。圖7.2-4符號(hào)函數(shù)的波形f(t)、振幅譜、相位譜

4.門函數(shù)gτ(t)

g

(t)是寬度為

，幅度為1的偶函數(shù)，也常常被稱為矩形脈沖信號(hào)，表示式為其中(7.2-13) 門函數(shù)的波形f(t)、振幅譜

F(j

)

、相位譜

(

)如圖7.2-5所示。圖7.2-5

gτ(t)的波形及振幅、相位譜由于門函數(shù)的F(ω)是實(shí)函數(shù)，其相位譜只有0、-π兩種情況，反映在F(ω)上是正、負(fù)的變化。因此其頻率可直接用F(ω)表示，如圖7.2-6所示。圖7.2-6

gτ(t)的頻譜函數(shù)由圖7.2-5可見，門函數(shù)在時(shí)域中是時(shí)寬有限的信號(hào)，而它的振幅譜是按|Sa(ωτ/2)|的規(guī)律變化,無限頻寬的頻譜。但是主要能量集中在頻譜函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)之內(nèi)，所以通常定義它的頻帶寬度為(7.2-14)

5.沖激函數(shù)

時(shí)域沖激函數(shù)δ(t)的變換可由定義直接得到(7.2-15)由式(7.2-15)可知，時(shí)域沖激函數(shù)δ(t)頻譜的所有頻率分量均勻分布(為常數(shù)1)，這樣的頻譜也稱白色譜。沖激函數(shù)δ(t)及其頻譜函數(shù)如圖7.2-7所示。圖7.2-7沖激函數(shù)及其頻譜頻域沖激函數(shù)δ(ω)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)亦可由定義直接得到(7.2-16)由式(7.2-16)可知頻域沖激函數(shù)δ(ω)的反變換是常數(shù)(直流分量)。(7.2-17)頻域沖激函數(shù)δ(ω)及原函數(shù)如圖7.2-8所示。圖7.2-8頻域沖激函數(shù)δ(ω)及其原函

6.階躍函數(shù)ε(t)階躍函數(shù)雖不滿足絕對(duì)可積條件，但ε(t)可以表示為對(duì)上式兩邊取傅氏變換(7.2-18)階躍函數(shù)的波形、振幅譜|F(ω)|、相位譜j(ω)如圖7.2-9所示。圖7.2-9階躍函數(shù)的波形以及振幅、相位譜由以上常見信號(hào)的傅氏變換可見，在引入奇異(廣義)函數(shù)(沖激函數(shù))概念之后，過去許多不滿足式(7.2-8)條件的函數(shù)，如階躍函數(shù)、周期函數(shù)(將在7.3節(jié)討論)等，都有了確切的頻譜函數(shù)表示式。7.3傅里葉變換性質(zhì)及定理

傅氏變換揭示了信號(hào)時(shí)間特性與頻率特性之間的聯(lián)系。信號(hào)可以在時(shí)域中用時(shí)間函數(shù)f(t)表示，亦可以在頻域中用頻譜密度函數(shù)F(ω)表示；只要其中一個(gè)確定，另一個(gè)也隨之確定，兩者是一一對(duì)應(yīng)的。在實(shí)際的信號(hào)分析中，往往還需要對(duì)信號(hào)的時(shí)、頻特性之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、變換規(guī)律有更深入、具體的了解。例如我們希望清楚，當(dāng)一個(gè)信號(hào)在時(shí)域中發(fā)生了某些變化，會(huì)引起頻域的什么變化？反之亦然。除了明白信號(hào)時(shí)頻之間的內(nèi)在聯(lián)系，我們也希望了解傅氏變換在工程中的應(yīng)用以及是否能簡(jiǎn)化變換的運(yùn)算，為此對(duì)傅氏變換基本性質(zhì)及定理的理解與掌握就顯得非常重要。

1.線性若，則

(7.3-1)式中a、b為任意常數(shù)。f1(t)

F1(

)f2(t)F2(

)

af1(t)+b

f2(t)

aF1(

)+bF2(

)證：利用傅氏變換的線性特性，可以將待求信號(hào)分解為若干基本信號(hào)之和，如在上一節(jié)我們將階躍信號(hào)分解為直流信號(hào)與符號(hào)函數(shù)之和。

2.時(shí)延(時(shí)移、移位)性

若f(t)

F(j

)

則f1(t)=f(t

t0)F1(j)

=F(j

)e

(7.3-2)證：時(shí)延(移位)性說明波形在時(shí)間軸上時(shí)延，不改變信號(hào)振幅頻譜，僅使信號(hào)增加一線性相移-ωt0。例7.3-1求如圖7.3-1所示信號(hào)f1(t)的頻譜函數(shù)F1(ω)，并作頻譜圖。圖7.3-1例7.3-1信號(hào)解：令門函數(shù)為f(t)，f1(t)與其關(guān)系為由門函數(shù)的變換再利用時(shí)移性，得到

f1(t)的振幅、相位頻譜函數(shù)|F1(ω)|、j1(ω)如圖7.3-2所示。圖7.3-2例7.3-1的振幅、相位頻譜

3.頻移性若f(t)

F(

)，則

f(t)e

F(ω±ω0)(7.3-3)證：頻移特性表明信號(hào)在時(shí)域中與復(fù)因子ejω0t相乘，則在頻域中將使整個(gè)頻譜搬移ω0。頻移特性廣泛應(yīng)用在通信、電子、信息等領(lǐng)域的調(diào)制解調(diào)以及變頻中，所以這一性質(zhì)也稱調(diào)制特性。一般調(diào)制是將頻譜在ω=0附近的信號(hào)f(t)乘以，使其頻譜搬移到ω0附近。反之，解調(diào)是將頻譜在ω=ω0附近的高頻信號(hào)f(t)乘以，使其頻譜搬移到ω=0附近。變頻是將頻譜在ω=ωC附近的信號(hào)f(t)乘以，使其頻譜搬移到ω=ωC-ω0附近。實(shí)際調(diào)制、解調(diào)的載波信號(hào)是正、余弦信號(hào)，借助歐拉公式，正、余弦信號(hào)可以分別表示為這樣，若有f(t)

F(

)，則(7.3-4)(7.3-5)

4.尺度變換若f(t)

F(

)，則(7.3-6)特別地，當(dāng)a=-1時(shí)，得到f(t)的折疊函數(shù)f(-t)，其頻譜亦為原頻譜的折疊，即f(

t)F(

)尺度特性說明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮，頻域中就擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展，在頻域中就一定壓縮；即信號(hào)的脈寬與頻寬成反比。推論：時(shí)寬有限的信號(hào)，其頻寬無限，反之亦然。圖7.3-3表示了矩形脈沖及其頻譜的展縮情況。圖7.3-3矩形脈沖及頻譜的展縮

5.時(shí)域微分特性

若f(t)

F(j

)，則(7.3-7)證：(交換微、積分次序)所以同理，可推廣到高階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換(7.3-8)式中，j

是微分因子。

6.時(shí)域積分特性

若f(t)

F(

)，則(7.3-9)特別地，當(dāng)F(0)=0時(shí)(7.3-10)

7.頻域微分特性若f(t)

F(j

)，則一般頻域微分特性的實(shí)用形式為(7.3-11)(7.3-12)頻域微分特性對(duì)頻譜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)亦成立(7.3-13)或(7.3-14)

8.對(duì)稱性若f(t)

F(

)，則

F(t)

2

f(

)

(7.3-15)或(7.3-16)特別地，當(dāng)f(t)是t的偶函數(shù)，那么F(t)

2

f(

)=2

f(

)特別地，當(dāng)f(t)是t的偶函數(shù)，那么F(t)

2

f(

)=2

f(

)或(7.3-17)由式(7.3-17)看，在此條件下時(shí)域與頻域是完全對(duì)稱性關(guān)系。就是說，當(dāng)f(t)是偶函數(shù)時(shí)，如果f(t)的頻譜函數(shù)為F(ω)，則頻譜為f(ω)的信號(hào)，其時(shí)域函數(shù)必為。利用對(duì)稱性，可以得到任意周期信號(hào)的傅氏變換。

例7.3-2求的傅氏變換。

解:由時(shí)延特性，已知，且δ(t+t0)不是偶函數(shù)。利用對(duì)稱性，將上式左邊的t變換成-ω、右邊的ω變換成t、兩邊的t0變換成ω0，并乘以系數(shù)2π，我們得到另一對(duì)變換對(duì)(7.3-18)

2

(

+

0)=2

(

0)利用這一結(jié)果，容易推導(dǎo)正、余弦周期函數(shù)的傅氏變換。(7.3-19)(7.3-20)cos(

0t)、sin(0t)的波形與頻譜如圖7.3-4所示。圖7.3-4正、余弦信號(hào)與其頻譜由的傅氏變換，可推導(dǎo)任意周期函數(shù)的頻譜函數(shù)為(7.3-21)證:

例7.3-3

求周期單位沖激序列的傅氏變換。解：先將周期單位沖激序列展開成傅氏級(jí)數(shù)其中，

Fn如圖7.3-5(a)所示。即再求這個(gè)級(jí)數(shù)的傅氏變換(7.3-22)

δT(t)的頻譜函數(shù)如圖7.3-5所示?？梢?，單位周期沖激序列的傅氏變換仍為周期沖激序列，其沖激強(qiáng)度為ω0。圖7.3-5

δT(t)的頻譜函數(shù)由上例給出求周期函數(shù)的傅氏變換(頻譜函數(shù))的一般步驟為：

(1)將周期函數(shù)展開為傅氏級(jí)數(shù)；

(2)對(duì)該傅氏級(jí)數(shù)求傅氏變換(頻譜函數(shù))。

9.時(shí)域卷積定理

若f1(t)

F1(

)f2(t)

F2(

)，則f1(t)

f2(t)F1(

)F2()(7.3-23)證根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的卷積運(yùn)算變?yōu)閮蓚€(gè)頻譜函數(shù)的相乘(代數(shù))運(yùn)算。由此可以用頻域法求解信號(hào)通過系統(tǒng)的響應(yīng)。

10.頻域卷積定理若

f1(t)

F1(

)f2(t)

F2(

)，則

(7.3-24)表7.3-1給出了傅氏變換的主要性質(zhì)及定理。表7-2傅氏變換性質(zhì)(定理)

7.4系統(tǒng)的頻域分析方法

前面討論過兩類不同分解復(fù)雜信號(hào)的方法，一類是在時(shí)域里，將信號(hào)分解為許多沖激之和；另一類是在頻域里，將信號(hào)分解為許多不同頻率分量之和。由兩類不同的信號(hào)分解方法，可以導(dǎo)出兩類不同求解響應(yīng)的方法。用時(shí)域分析，信號(hào)通過線性系統(tǒng)的響應(yīng)，由激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)卷積得到。而用頻域分析，信號(hào)通過線性系統(tǒng)的響應(yīng)是各頻率分量響應(yīng)之和。此外，利用傅氏變換還可以分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬、波形失真、物理可實(shí)現(xiàn)等實(shí)際應(yīng)用問題。7.4.1系統(tǒng)的頻響函數(shù)

設(shè)激勵(lì)是f(t)，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)的響應(yīng)為

yzs(t)=f(t)*h(t)=y(t)

(7.4-1)對(duì)式(7.4-1)兩邊取傅里葉變換，由卷積定理，可得

Yzs(ω)=F(ω)H(ω)=Y(ω)(7.4-2)其中H(ω)是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換。系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)表征的是系統(tǒng)時(shí)域特性，而H(ω)表征的是系統(tǒng)頻域特性。所以H(ω)被稱做系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)函數(shù)或頻響函數(shù)。式(7.4-2)還可以表示為(7.4-3)其中，|H(ω)|是系統(tǒng)的幅(模)頻特性，j(ω)是系統(tǒng)的相頻特性。式(7.4-3)表明，H(ω)除了可由系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)求解外，還可以由系統(tǒng)輸出(零狀態(tài))的傅氏變換與輸入傅氏變換表示。由系統(tǒng)不同的表示形式，可以用不同的方法得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)。

1.由微分方程求解已知二階LTI系統(tǒng)的微分方程的一般表示式為(7.4-4)利用線性和微分性對(duì)式(7.4-4)兩邊取傅里葉變換并整理

[(j

)2+

a1(j

)

+a0]Y(j

)=[b2(j

)2+

b1(j

)

+b0]F(j

)(7.4-5)由式(7.4-5)得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)為(7.4-6)式(7.4-6)表明H(ω)只與系統(tǒng)本身相關(guān)，與激勵(lì)無關(guān)。例7.4-1已知某系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的頻響函數(shù)H(ω)。解:對(duì)微分方程兩邊同時(shí)取傅氏變換，得到[(j

)2+3(j

)+2]Y(j

)=[(j

)+3]F(j

)

2.由轉(zhuǎn)移算子求解已知穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子，將其中的p用jω替代，可以得到系統(tǒng)函數(shù)。H(j

)=H(p)

p=j

例7.4-2

已知某穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子求系統(tǒng)函數(shù)。(7.4-7)，解：

3.由h(t)求解先求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，然后對(duì)沖激響應(yīng)h(t)求傅里葉變換。

例7.4-3

已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)=5[e(t)-e

(t-2)］，求系統(tǒng)函數(shù)H(ω)。解:

4.由頻域電路求解此法與6.8節(jié)的算子電路法相似，利用頻域電路簡(jiǎn)化運(yùn)算。動(dòng)態(tài)元件時(shí)域與頻域電壓電流關(guān)系表示為(7.4-8)(7.4-9)式(7.4-8)、(7.4-9)中jωL為頻域的感抗值，是電感的頻域表示；為頻域的容抗值，是電容的頻域表示；兩個(gè)等式右邊均滿足頻域(廣義)歐姆定律。將電路中的所有動(dòng)態(tài)元件以及激勵(lì)、響應(yīng)用頻域形式表示，得到頻域電路；再利用頻域(廣義)的電路定律，用類似解直流或穩(wěn)態(tài)電路的方法可以求解H(ω)。下面舉例說明由頻域電路求解系統(tǒng)函數(shù)H(ω)的方法。

例7.4-4如圖7.4-1(a)所示電路，輸入是激勵(lì)電壓f(t)，輸出是電容電壓y(t)，求系統(tǒng)頻響函數(shù)H(ω)。圖7.4-1

(a)例7.4-4電路；(b)例7.4-4頻域電路

解：頻域電路如圖7.4-1(b)所示，由KVL列出方程將(1)式代入(2)式得系統(tǒng)頻響函數(shù)7.4.2系統(tǒng)的頻域分析

由卷積定理我們可以得到頻域分析法的基本方框圖表示，如圖7.4-2所示。圖7.4-2頻域分析基本框圖

例7.4-5已知系統(tǒng)函數(shù)，

激勵(lì)f(t)=e-3tε(t)，求響應(yīng)y(t)。解

由例7.4-5我們看到利用頻域分析法，解決了系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解。優(yōu)點(diǎn)是時(shí)域的卷積運(yùn)算變?yōu)轭l域的代數(shù)運(yùn)算，代價(jià)是正、反兩次傅氏變換。還可以看到，由非周期信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)，必有瞬態(tài)響應(yīng)，這與周期信號(hào)激勵(lì)時(shí)只有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同。7.5無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)在信號(hào)傳輸過程中，為了不丟失信息，傳輸系統(tǒng)應(yīng)該不失真地傳輸信號(hào)。人們也稱無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)為理想傳輸系統(tǒng)。信號(hào)失真是指系統(tǒng)的輸出與輸入相比波形發(fā)生了變化。所謂無失真?zhèn)鬏斒侵感盘?hào)通過系統(tǒng)的輸出波形與輸入波形相比，只有幅度大小及時(shí)延的不同，形狀不變，如圖7.5-1所示。圖7.5-1無失真?zhèn)鬏斣O(shè)激勵(lì)信號(hào)為f(t)，響應(yīng)為y(t)，則系統(tǒng)無失真時(shí)，輸出信號(hào)應(yīng)為

y(t)=kf(t-t0)(7.5-1)其中,k是系統(tǒng)的增益，t0是延遲時(shí)間，k與t0均為常數(shù)。由式(7.5-1)得到理想傳輸系統(tǒng)的時(shí)域不失真條件之一是幅度乘以k倍，之二是波形滯后t0。又因?yàn)閥(t)=f(t)*h(t)，故式(7.5-1)可表示為

y(t)=f(t)*kδ(t-t0)(7.5-2)所以無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)=kδ(t-t0)(7.5-3)對(duì)式(7.5-3)兩邊取傅氏變換，可得

式中,|H(ω)|=k，

j(ω)=-ωt0，對(duì)應(yīng)的幅頻及相頻特性如圖7.5-2所示。(7.5-4)圖7.5-2無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻及相頻特性式(7.5-4)是理想傳輸系統(tǒng)的頻域不失真條件。它要求系統(tǒng)具有無限寬的均勻帶寬，幅頻特性在全頻域內(nèi)為常數(shù)；相移與頻率成正比，即相頻特性是通過原點(diǎn)的直線。例7.5-1已知某系統(tǒng)的振幅、相位特性如圖7.5-3所示，輸入為x(t)，輸出為y(t)。求：(1)當(dāng)輸入x1(t)=2cos(10πt)+sin(12πt)時(shí)，響應(yīng)y1(t)有無失真？若有指出為何種失真，并求出y1(t)。(2)當(dāng)x2(t)=2cos(10πt)+sin(26πt)時(shí)，響應(yīng)y2(t)有無失真？若有指出為何種失真，并求出y2(t)。圖7.5-3例7.5-1傳輸系統(tǒng)的幅頻及相頻特性解：由圖7.5-3可知該系統(tǒng)的振幅、相位函數(shù)為由振幅、相位函數(shù)可知信號(hào)頻率在ω≤20π范圍內(nèi)，系統(tǒng)增益為k=2；信號(hào)頻率ω>20π，系統(tǒng)增益k=0。信號(hào)頻率在ω≤30π范圍內(nèi)，系統(tǒng)相移與頻率成正比，其時(shí)延t0=1/60；信號(hào)頻率ω>30π后，系統(tǒng)相移均為0。由無失真?zhèn)鬏敆l件，可得輸入信號(hào)在0≤ω≤20π范圍內(nèi)，輸出信號(hào)無失真。

(1)輸入信號(hào)x1(t)在0≤ω≤20π范圍內(nèi)，輸出信號(hào)無失真，且

(2)輸入信號(hào)x2(t)在0≤ω≤20π范圍內(nèi)，輸出有振幅失真，且從這個(gè)例題我們看到，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，雖然系統(tǒng)不滿足全頻域無失真?zhèn)鬏斠?，但在一定條件及范圍內(nèi)可以近似無失真?zhèn)鬏敾蚓€性。這表明系統(tǒng)可以具有分段無失真或線性，這種方法在工程中經(jīng)常用到。7.6理想低通濾波器與物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)

經(jīng)典濾波的概念往往與選頻有關(guān)，因?yàn)樵谠S多實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)需要保留信號(hào)的部分頻率分量，抑制另一部分頻率分量，用以提取所需信號(hào)。例如要從電視信號(hào)中選出所需要頻道的信號(hào)，就要利用濾波器。濾波器有很多種，最典型的是通帶幅頻特性為1，阻帶幅頻特性為0的理想濾波器。如理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻濾波器等，其幅頻特性如圖7.6-1所示。理想濾波器的特點(diǎn)是對(duì)信號(hào)中要保留的頻率分量直通，而將其余部分衰減到零。本節(jié)只討論理想低通濾波器。通過用頻域分析法分析典型信號(hào)通過理想低通的響應(yīng)，討論脈沖響應(yīng)建立時(shí)間與系統(tǒng)帶寬的關(guān)系，系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)等問題。圖7.6-1理想濾波器的幅頻特性7.6.1理想低通濾波器及其沖激響應(yīng)理想低通濾波器的頻率特性如圖7.6-2所示，傳遞函數(shù)為(7.6-1)式中,ωC是通帶截止頻率；-t0是相位斜率。圖7.6-2理想低通濾波器的頻率特性這樣的理想低通濾波器的頻帶寬度就等于通帶截止頻率ωC，它對(duì)激勵(lì)信號(hào)低于ωC的頻率分量可以無失真?zhèn)鬏?幅度均勻放大，時(shí)延t0)，而高于ωC的頻率分量則被完全抑制。理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為理想低通濾波器的輸入與單位沖激響應(yīng)如圖7.6-3所示。(7.6-2)圖7.6-3理想低通濾波器的輸入與單位沖激響應(yīng)由圖7.6-3可見，對(duì)在t=0時(shí)刻加入的激勵(lì)，其響應(yīng)的最大值出現(xiàn)在t0處，這說明響應(yīng)建立需要時(shí)間。由圖7.6-3還可見，響應(yīng)不僅延時(shí)了t0，并在響應(yīng)脈沖建立的前后出現(xiàn)了起伏振蕩。從理論上講，振蕩一直延伸到±∞處。這是由信號(hào)的幅度失真造成的，因?yàn)橄喈?dāng)一部分的高頻分量被完全抑制了。t<0時(shí)有響應(yīng)出現(xiàn)說明系統(tǒng)是非因果的，而違背了因果規(guī)律的連續(xù)系統(tǒng)是物理不可實(shí)現(xiàn)的。7.6.2理想低通濾波器的階躍響應(yīng)

我們以階躍信號(hào)為典型信號(hào)，討論其通過理想低通濾波器的響應(yīng)，這是因?yàn)殡A躍信號(hào)的前沿很陡，含有豐富的高頻分量。分析階躍響應(yīng)所得到的脈沖建立時(shí)間與通帶的關(guān)系，與實(shí)際情況基本一致，因此具有典型的應(yīng)用價(jià)值。理想低通濾波器的階躍響應(yīng)g(t)為令ωC(τ-t0)=x，代入上式有其中，定積分因此(7.6-3)式中，y=ωC(t-t0)，為正弦積分，由標(biāo)準(zhǔn)表格或曲線可查Si(y)的值，Si(y)曲線如圖7.6-4所示。由圖可見Si(y)是奇函數(shù)，當(dāng)y→±∞時(shí)，Si(y)在處起伏振蕩；在處起伏振蕩；在0，1處起伏振蕩；又因?yàn)閥=ωC(t-t0)，當(dāng)t=0時(shí)，y=-ωCt0<0，所以若以t為自變量，則Si(y)波形右移。圖7.6-4Si(y)曲線最后得到的理想低通的階躍響應(yīng)g(t)如圖7.6-5所示。圖7.6-5理想低通濾波器的階躍響應(yīng)

(1)響應(yīng)g(t)時(shí)間滯后。若以作為響應(yīng)的開始時(shí)間，則由解出延時(shí)t=t0，這正是線性相移的斜率。

(2)響應(yīng)g(t)建立需要時(shí)間(脈沖上升時(shí)間)。若定義g(t)在t=t0處斜率的倒數(shù)為響應(yīng)建立時(shí)間tr，則(7.6-4a)若取g(t)從最小值上升到最大值為響應(yīng)建立時(shí)間tr1，由圖7.6-5可得：(7.6-4b)式(7.6-4)的兩種表示都說明響應(yīng)建立時(shí)間與通帶帶寬成反比，通帶越寬則響應(yīng)上升時(shí)間越短，反之亦然。一般系統(tǒng)響應(yīng)建立時(shí)間與通帶帶寬的乘積是常數(shù)，所以當(dāng)系統(tǒng)通帶帶寬越寬時(shí)，系統(tǒng)的傳輸速率就越快。

(3)t<0有輸出。由圖7.6-5再次看到輸出波形的起伏振蕩延伸到了t<0的時(shí)間區(qū)域。注意到激勵(lì)是t=0時(shí)刻加入的，t<0時(shí)有響應(yīng)出現(xiàn)說明系統(tǒng)是非因果的。

(4)吉布斯現(xiàn)象。由對(duì)Si(y)的正弦積分，響應(yīng)的最大峰值點(diǎn)在y=π處，且Si(y)

y=

=1.8514則(7.6-5)如圖7.6-4所示，在處有近9%的上沖。7.6.3物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)

通過對(duì)理想低通濾波器單位沖激響應(yīng)的分析，可知理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。LTI連續(xù)系統(tǒng)是否物理可實(shí)現(xiàn)，時(shí)域與頻域都有判斷準(zhǔn)則。LTI連續(xù)系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)的時(shí)域準(zhǔn)則是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足因果性，即h(t)=0，t<0

(7.6-6)若系統(tǒng)的幅度函數(shù)|H(ω)|滿足平方可積，即(7.6-7)則由佩利—維納給出的頻域準(zhǔn)則為：物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的必要條件是(7.6-8)不滿足這個(gè)準(zhǔn)則的幅度函數(shù)，其系統(tǒng)必為非因果的。這個(gè)準(zhǔn)則既限制因果系統(tǒng)的幅度函數(shù)不能在某一頻帶內(nèi)為零，也限制幅度特性衰減不能太快。因?yàn)槿舢?dāng)|H(ω)|在ω1<ω<ω2為零，則ln|H(ω)|→∞時(shí)，式(7.6-8)積分不收斂，即由佩利—維納準(zhǔn)則可以推知所有的理想濾波器都是物理不可實(shí)現(xiàn)的。研究它們的意義在于：所有可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，總是按照一定的規(guī)律去逼近理想濾波器的。雖然逼近的數(shù)學(xué)模型不同，但都是在一定的程度上逼近理想濾波器的設(shè)計(jì)方法。所以只要實(shí)際濾波器以某種方式逼近理想濾波器的方法存在，就不失討論理想濾波器的意義。7.7時(shí)域采樣與恢復(fù)(插值)離散信號(hào)是自變量在不連續(xù)點(diǎn)上有確定值的信號(hào)。這些不連續(xù)的間隔可以是均勻的，也可以是不均勻的，本書所討論的間隔都是均勻的。離散信號(hào)可以是實(shí)際存在的信號(hào)，如醫(yī)院人口出生統(tǒng)計(jì)等，也可以是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣。時(shí)域采樣是用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號(hào)的重要環(huán)節(jié)。采樣就是利用“采樣器”從連續(xù)信號(hào)中“抽取”信號(hào)的離散樣值，如圖7.7-1所示。圖7.7-1信號(hào)的采樣這種離散的樣值函數(shù)通常稱為“采樣”信號(hào)?！安蓸印币卜Q“抽樣”或“取樣”。采樣信號(hào)是離散信號(hào)，一般用fs(t)表示。采樣信號(hào)在時(shí)間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號(hào)，還必須經(jīng)量化編碼轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號(hào)。所以數(shù)字信號(hào)是時(shí)間離散化、樣值量化的信號(hào)。但本書中離散信號(hào)與數(shù)字信號(hào)通用。7.7.1時(shí)域采樣最簡(jiǎn)單的采樣器如圖7.7-2(a)所示，是一個(gè)電子開關(guān)。開關(guān)接通，信號(hào)通過，開關(guān)斷開，信號(hào)被短路。而這個(gè)電子開關(guān)的作用，可以用一個(gè)如圖7.7-2(b)所示的乘法器等效，圖中的p(t)是周期性開關(guān)函數(shù)。當(dāng)p(t)為零時(shí)，乘法器輸出為零，等效為開關(guān)斷開，信號(hào)通不過去，反之亦然。這樣采樣信號(hào)fs(t)可以表示為fs(t)=f(t)p(t)(7.7-1)式中，p(t)是周期為T的周期函數(shù)，相應(yīng)的采樣頻率ωs=2πfs=2π/T。圖7.7-2采樣器與等效模型經(jīng)過采樣，連續(xù)信號(hào)f(t)變成為離散信號(hào)fs(t)。下面討論采樣信號(hào)fs(t)的頻譜函數(shù)Fs(ω)，以及它與原信號(hào)頻譜F(ω)的關(guān)系。先求周期開關(guān)函數(shù)p(t)的頻譜，其傅氏級(jí)數(shù)為對(duì)上式取傅氏變換，得到周期開關(guān)函數(shù)p(t)的頻譜為(7.7-2)由式(7.7-2)p(t)的頻譜，可求采樣信號(hào)fs(t)的頻譜。因?yàn)閒s(t)是f(t)與p(t)的乘積，由頻域卷積定理可知，此時(shí)頻譜應(yīng)為二者的卷積，有將式(7.7-2)代入上式，得到(7.7-3)式(7.7-3)表明，時(shí)域采樣信號(hào)頻譜Fs(ω)是原信號(hào)頻譜F(ω)以采樣角頻率ωs為間隔的周期重復(fù)，其中Pn為加權(quán)系數(shù)。當(dāng)開關(guān)函數(shù)p(t)是周期沖激信號(hào)時(shí)，也稱為理想采樣，此時(shí)(7.7-4)(7.7-5)將式(7.7-5)代入式(7.7-3)，可得(7.7-6)式(7.7-6)表示，理想采樣的頻譜Fs(ω)是原信號(hào)頻譜F(ω)的加權(quán)周期重復(fù)，其中周期為ωs，加權(quán)系數(shù)是常數(shù)1/T。理想采樣信號(hào)與頻譜如圖7.7-3所示。圖7.7-3理想采樣信號(hào)與頻譜如果從調(diào)制的角度分析式(7.7-6)，可以認(rèn)為式中的F(ω)是基帶頻譜，而F(ω±ωs)是一次諧波調(diào)制頻譜，F(xiàn)(ω±2ωs)是二次諧波調(diào)制頻譜，以此類推。這樣，理想采樣的頻譜Fs(ω)是由基帶頻譜與各次諧波調(diào)制頻譜組成的。周期沖激采樣可以認(rèn)為是周期矩形采樣τ→0的極限情況，采樣后信號(hào)頻譜是原頻譜的周期重復(fù)且幅度一樣，所以也稱理想采樣。實(shí)際的采樣信號(hào)都有一定的脈沖寬度，不過當(dāng)τ相對(duì)采樣周期T足夠小時(shí)，可以近似認(rèn)為是理想采樣。7.7.2采樣定理

由對(duì)理想采樣信號(hào)頻譜Fs(ω)的討論，知道Fs(ω)是原信號(hào)頻譜F(ω)的周期重復(fù)，重復(fù)周期的間隔為ωs。假設(shè)F(ω)是帶限信號(hào)，由圖7.7-4可見,不同ωs對(duì)Fs(ω)的