《電路分析》課件1第4章

第4章正弦交流電路4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的相量表示法4.3電容元件和電感元件4.4三種元件伏安特性的相量形式4.5基爾霍夫定律的相量形式4.6RLC串聯(lián)電路4.7RLC并聯(lián)電路4.8用相量法分析正弦交流電路4.9正弦交流電路中的功率4.10正弦交流電路中的最大功率4.11串聯(lián)諧振4.12并聯(lián)諧振4.13三相正弦電路習(xí)題４4.1正弦量的基本概念4.1.1正弦量的三要素

正弦量可用解析函數(shù)式（簡稱解析式）和波形圖表示。以正弦電流為例，其解析式為相應(yīng)的波形圖如圖4.1所示(設(shè)θ>0)。其中Im、ω、θ分別稱為正弦量的振幅值、角頻率、初相，亦稱其為正弦量的三要素。

i(t)=Imsin(ωt+θ)（4-1）圖4.1正弦量的波形圖

1.瞬時值和振幅值交流量任一時刻的值稱瞬時值。瞬時值中的最大值(指絕對值)稱為正弦量的振幅值，又稱峰值。通常用大寫字母加下標“m”來表示。Im、Um分別表示正弦電流、電壓的振幅值。振幅值表示正弦量瞬時值變化的范圍或幅度。

2.周期和頻率正弦量變化一周所需的時間稱為周期。通常用“T”表示，單位為秒(s)。實用單位有毫秒(ms)、微秒(μs)、納秒(ns)。正弦量每秒鐘變化的周數(shù)稱為頻率，用f表示，單位為赫茲(Hz)。周期和頻率互成倒數(shù)，即f=1/T,二者都表示正弦量變化的快慢程度。周期越短，頻率越高，變化越快。直流量可看成f=0(T=∞)的正弦量。我國和世界上大多數(shù)國家都采用50Hz(T=0.02s)作為電力工業(yè)的標準頻率(美、日等少數(shù)國家采用60Hz)，習(xí)慣上稱為工頻。

3.相位、角頻率和初相

ωt+θ稱為相位角，簡稱相位或相角。正弦量在不同瞬間有著不同相位，因而有著不同狀態(tài)(包括瞬時值和變化趨勢)，相位反映了正弦量每一瞬間的狀態(tài)或變化的進程。相位角變化的速度稱為角頻率，相位變化2π，經(jīng)歷一個周期T，那么(4-2)根據(jù)ω、f、T的關(guān)系，正弦量的解析式可以寫成作波形圖時，橫坐標可用角度ωt或時間t表示，圖4.1列出兩種橫坐標以作比較。稱θ(t=0時的相位）為初相，它反映了正弦量在計時起點處的狀態(tài)，稱初始狀態(tài)。此時的瞬時值i(0)=Imsinθ，稱為初始值。同一初始值，對應(yīng)兩個不同的初相值，該二值為互補關(guān)系。如Um=537V的正弦電壓，初始值為u(0)=268.5V， ,則 或角頻率ω的單位為rad/s(或1/s)，相位角和初相的單位應(yīng)為rad，為方便起見，初相也可以用度“°”，應(yīng)注意計算時單位的統(tǒng)一。初相與計時起點(即坐標原點)的選擇有關(guān)，隨著計時起點的改變，初相可為0、為正、為負，如圖4.2所示。當(dāng)θ=0時，正弦波的零點（規(guī)定正弦波瞬時值由負變正時的過零點為正弦波的零點）就是計時起點，如圖4.2(a)所示；當(dāng)θ>0時，正弦波零點在計時起點之左，如圖4.2（b）所示；當(dāng)θ<0時，正弦波零點在計時起點之右，如圖4.2(c)所示。圖4.2計時起點的選擇由波形圖確定初相值時，對于圖4.3所示的連續(xù)波形，規(guī)定離坐標原點近的A點（而非B點）作為零點，因此θ為-120°而不是240°。規(guī)定：初相的絕對值不超過180°。解析式中初相絕對值若大于180°，要按規(guī)定來換算。其方法為：原值為正時減360°，為負時加360°。如初相原值為240°、-240°，換算后為-120°、120°。圖4.3初相的規(guī)定正弦量的初相值與參考方向的選擇有關(guān)，當(dāng)參考方向改變后，解析式為-Imsin(ωt+θ)=Imsin(ωt+θ±π)取“+π”還是取“-π”是由θ±π的絕對值不超過π來決定的。

例4.1

圖4.4給出正弦電壓uab和正弦電流iab的波形。

(1)寫出uab和iab的解析式并求出它們在t=100ms時的值。

(2)寫出iab的解析式并求出t=100ms時的值。圖4.4例4.1圖

解由波形可知Uab=300mV,Iab=5mA，周期均為T=2×0.5ms=1ms，頻率均為f=1/T=1kHz，ω=2000πrad/s,θu=π/6,θ1=-π/3，解析式分別為(1)t=100ms時，uab、iab分別為(2)4.1.2相位差

為比較同頻率正弦量變化進程的先后順序，引入相位差。如兩個同頻率的正弦量之間相位之差稱為相位差，用φ或φ帶雙下標表示對于電壓u與電流i的相位差φ(或φui)=θu-θi

可見，兩個同頻率正弦量的相位差，等于它們的初相之差。同頻率正弦量初相相同時稱之為同相，如圖4.5(a)所示的u和i。

圖4.5相位差的幾種情況

如果兩個正弦量到達某一確定狀態(tài)的先后次序不同，則稱先到達者為超前，后到達者為滯后。如圖4.5(b)所示的u1和u2，θ1>θ2，u1超前u2，或者說u2滯后u1

。兩個正弦量的相位差為π(180°)，稱之為反相，如圖4.5(c)所示的i1和i2。兩個正弦量的相位差為π/2(90°)，稱之為正交，如圖4.5(d)所示的u和i。規(guī)定相位差的絕對值|φ|≤π，否則，將使超前或滯后發(fā)生顛倒。為了比較同一電路中同頻率的各正弦量之間的相位關(guān)系，可選其中一個為參考正弦量，取其初相為零，這樣其它正弦量的初相便由它們與參考正弦量之間的相位差來確定。一個電路中只能有一個參考正弦量，究竟選哪一個則是任意的。

例4.2

求兩個正弦電流i1(t)=-14.1sin(ωt-120°)A，i2(t)=7.05cos(ωt-60°)A的相位差φ12。

解把i1和i2寫成標準的解析式，求出二者的初相，再求出相位差。則

例4.3

三個正弦電壓uA(t)=311sin314tV，uB(t)=311sin(314t-2π/3)V，uC(t)=311sin(314t+2π/3)V，若以uB為參考正弦量，寫出三個正弦電壓的解析式。

解先求出三個正弦量的相位差，由已知得以uB為參考正弦量，它們的解析式為4.1.3正弦量的有效值

為了確切反映正弦量在轉(zhuǎn)換能量方面的效果，采用交流電的有效值來度量其大小，用I、U分別表示電流、電壓的有效值。其定義為：某一交流電流和一直流電流分別通過同一電阻R，在一個周期T內(nèi)所產(chǎn)生的能量相等，則稱這個直流電流的值為交流電流的有效值。由此得出所以，交流電流的有效值為(4-3)同理，交流電壓的有效值為(4-4)有效值為其瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值的算術(shù)平方根，故又稱其為方均根值。式（4-3）、（4-4）適用于所有周期量有效值的計算。對于正弦交流電流i(t)=Imsin(ωt+θ)代入式(4-3)，它的有效值為同理(4-5a)(4-5b)

可見，正弦量的有效值僅由其最大值確定，而與其周期、初相無關(guān)。有效值可代替振幅值出現(xiàn)在正弦量解析式中（用替代Um或用替代Im）。說明：交流電氣設(shè)備銘牌上所標的及交流測量儀表所指示的電壓、電流均指有效值。

例4.4

一正弦電流的初相為60°，與t=T/4時其值為5A，試求該電流的有效值。

解該正弦電流的解析式為由已知得或則對應(yīng)的有效值練習(xí)與思考

4.1-1

一個正弦電壓的振幅值為311V，t=0時的值為-155.5V，試求其解析式。

4.1-2

已知i(t)=1.5sin(1000πt-60°)A，u(t)=120sin(1000πt+240°)V，求i比u超前或滯后多少相角和時間?

4.1-3(1)i1(t)=10sin(100πt+30°)A,i2(t)=10cos(100πt-15°)A,i1和i2的相位差φ12=30°-(-15°)=45°，對嗎?(2)i1(t)=10sin(100πt+３0°)A，i2(t)=-10sin(100πt+60°)A，i1和i2的相位差為-30°，對嗎?

4.1-4

三個同頻率正弦電流i1、i2

、i3的最大值分別為1A、2A、3A。若i1比i2超前30°，較i3滯后150°，試以i3為參考正弦量，寫出三個電流的解析式。

4.1-5

整流二極管反向擊穿電壓為50V，接于220V市電上，需要幾只二極管串聯(lián)才行。4.2正弦量的相量表示法4.2.1正弦量的相量表示一個復(fù)數(shù)可以表示為其中r稱為“?！保步袕?fù)數(shù)的絕對值。θ稱為“輻角”，其取值不超過±180°。而在一個正弦量的解析式中，最大值（或有效值）和初相剛好與復(fù)數(shù)的“?！焙汀拜椊恰边@兩個量相對應(yīng)，由此而來使人聯(lián)想到能否用復(fù)數(shù)來表示正弦量？答案是肯定的。在正弦交流電路的計算中，由于所有激勵和響應(yīng)都是同頻率的正弦量，因此就可以不必考慮角頻率這個要素，而只須表示出正弦量的最大值（或有效值）和初相兩個要素就行了。這樣正弦量就可以寫成復(fù)數(shù)形式(4-6)像這樣能表示一個正弦量的最大值（或有效值）和初相的復(fù)數(shù)稱為正弦量的相量，其中，I稱為有效值相量，Im稱為最大值相量。如果知道了一個正弦量的解析式，就可以寫出它的相量；同樣，知道了一個正弦量的相量，也可以寫出它的解析式。同理，正弦電壓的相量為(4-7)相量是一個復(fù)數(shù)，它表示一個正弦量，因此在其符號字母上加一點，以與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別。應(yīng)當(dāng)強調(diào)指出：相量只能表征（或代表）正弦量而并不等于正弦量，二者之間只能用符號“”表示相互對應(yīng)的關(guān)系。在復(fù)平面上用一個矢量可以表示正弦量的相量，如圖4.6所示。分析正弦電路時，只有將同頻率多個正弦量對應(yīng)的相量畫在同一個復(fù)平面上（此即相量圖的定義）才有意義。圖4.6正弦量的相量圖

例4.5

已知正弦電壓u1(t)=141sin(ωt+π/3)V，u2(t)=70.5sin(ωt-π/6)V，寫出u1和u2的相量，并畫出相量圖。解

相量圖如圖4.7所示。圖4.7例4.5圖

例4.6

已知兩個頻率均為50Hz的正弦電壓，它們的相量分別為 ，試求這兩個電壓的解析式。解4.2.2兩個同頻率正弦量之和設(shè)有兩個同頻率正弦量利用三角函數(shù)，可以得出它們之和為同頻率的正弦量，即其中

可以看出，要求出同頻率正弦量之和，關(guān)鍵是求出它的有效值和初相。可以證明，若u=u1+u2，則有

因此，同頻率正弦量相加的問題可以化成對應(yīng)的相量相加的問題。其步驟為：

(1)由相加的正弦量的解析式寫出相應(yīng)的相量，并表示為代數(shù)形式。

(2)按復(fù)數(shù)運算法則進行相量相加，求出和的相量。

(3)由和的相量的有效值和初相寫出和的正弦量。還可以作相量圖，按照矢量的運算法則求相量和。用這種方法，形象、直觀、方便。矢量求和除了按平行四邊形法則之外，還可按矢量的三角形法則計算相量的和差，使過程簡化，如圖4.8所示。圖4.9表示多個相量加減的多邊形法則。圖4.8兩個相量加減的三角形法則圖4.9相量加減的多邊形法則例4.7求uA+uB和uA-uB。解(1)相量直接求和。則(2)作相量圖求解。見圖4.10，根據(jù)等邊三角形和頂角為120°的等腰三角形的性質(zhì)可以得出上述同樣的結(jié)果，讀者自行分析。圖4.10例4.7圖練習(xí)與思考

4.2-1

下列電壓、電流中，哪幾個能用相量表示?哪幾個能按相量進行運算?4.2-2

寫出下列各正弦量對應(yīng)的相量

4.2-3

已知i1(t)=17.3sin2000tmA，i2(t)=10cos2000tmA，求i=i1+i2,并作相量圖。

4.2-4

兩個同頻率正弦電壓u1(t)、u2(t)的有效值各為40V、30V。

(1)什么情況下它們之和的有效值分別為70V和10V?(2)什么情況下它們之和的有效值為50V?(3)什么情況下它們之和的有效值最大?是多少?(4)什么情況下它們之和的有效值最小?是多少?4.3電容元件和電感元件4.3.1電容元件

1.電容元件電容元件是各種實際電容器的理想化模型，其符號如圖4.11(a)所示。給電容器兩極板間加上電壓，沿電壓方向?qū)⒂械攘康恼⒇撾姾煞謩e聚集在兩極板上，于是兩極板間建立了電場，電源能量轉(zhuǎn)換為電場能儲存在電容器中。去掉電壓后，電荷繼續(xù)聚集在極板上，電場依然存在。電荷量與端電壓之比叫做電容元件的電容，理想電容器存儲電能而不消耗電能，其電容為一常數(shù)，電荷量q與端電壓u總成線性關(guān)系，即

q=Cu

(4-8)

電容C是體現(xiàn)電容元件電荷量大小的參數(shù)。在SI中其單位為法（F），常用單位有微法(μF)和皮法(pF)。式(4-8)表示電容元件電荷量與端電壓之間的約束關(guān)系，稱為線性電容的庫伏特性，為過坐標原點的一條直線。如圖4.11(b)所示。一般電容器不特別聲明，都當(dāng)作理想電容。圖4-11理想電容的符號和特性2.電容元件的伏安特性對于圖4.11(a)，當(dāng)u、i取關(guān)聯(lián)參考方向時，結(jié)合式(4-8)，有(4-9)當(dāng)u＞0，且du/dt＞0時，電容極板上的電荷增加，這是電容的充電過程，此時i>0，電流實際方向與圖4.11(a)中的參考方向相同。當(dāng)du/dt<0時，電容極板上的電荷減少，這是電容的放電過程，此時i<0,電流實際方向與圖4.11(a)中的參考方向相反。

式(4-9)為電容u、i為關(guān)聯(lián)參考方向下的伏安特性，當(dāng)u、i為非關(guān)聯(lián)參考方向時，有電容的伏安特性說明：任意時刻，線性電容的電流與該時刻電壓變化率成正比（與該時刻電壓大小無關(guān)）。電荷量變化，端電壓變化，才能形成電流，故稱電容為動態(tài)元件；其所在電路稱動態(tài)電路。直流電路中，電容電壓不變，則電流為零，相當(dāng)于開路。因此電容有隔斷直流的作用。

電容電壓的變化受到電流的約束。電容電流為有限值，因而電容電壓不能躍變。對式(4-9)積分可求出某一時刻電容的電壓值。任選初始時刻t0以后，t時刻的電壓為若取t0=0，則(4-10)3．電容元件的電場能

關(guān)聯(lián)參考方向下，電容吸收的功率

電容從u(0)=0(電場能為零)增大到u(t)所吸收的能量，即t時刻電容的電場能量。(4-11)當(dāng)電容電壓由u減小到零時，釋放的電場能量也按上式計算。

動態(tài)電路中，當(dāng)電容的u、i方向一致，即電容充電時，p＞0，|u|增大，電容從外電路吸收能量。當(dāng)u、i方向相反，即電容放電時，p＜0，|u|減小，電容向外電路釋放能量?？梢娫趧討B(tài)電路中，電容和外電路進行著電場能和其它能的相互轉(zhuǎn)換，本身不消耗能量。

例4.8(1)2μF電容兩端的電壓由t=1μs時的6V線性增長至t=5μs時的50Ｖ，試求在該時間范圍內(nèi)的電流值及增加的電場能。

(2)原來不帶電荷的100μF的電容器，今予以充電，充電電流為1mA，持續(xù)時間為2s，求電容器充電后的電壓。假定電壓、電流都為關(guān)聯(lián)參考方向。

解

(1)由式(4-9)得增加的電場能量(2)由式(4-10)和已知條件u(0)=0，求出2s末的電壓4．電容的串、并聯(lián)

(1)電容的并聯(lián)。如圖4.12所示，各電容兩端電壓相同。等效電容的電荷量

q=q1+q2+q3

對于線性電容元件有q=Cu，q1=C1u，q2=C2u，q3=C3u

代入電荷量關(guān)系式得Cu=(C1+C2+C3)u

圖4.12電容的并聯(lián)則(4-12)并聯(lián)的等效電容等于各電容之和。并聯(lián)使總電容值增大。當(dāng)電容器的耐壓值符合要求，但容量不夠時，可將幾個電容并聯(lián)。(2)電容的串聯(lián)。如圖4.13所示，串聯(lián)的每個電容上的電荷量相同，為q。由KVL得u=u1+u2+u3

對于線性電容元件有代入電壓關(guān)系式得則(4-13)圖4.13電容的串聯(lián)串聯(lián)等效電容的倒數(shù)等于各電容倒數(shù)之和。電容串聯(lián)使總電容減小。各電容的電壓為分壓值與各電容成反比，小電容分得高電壓。而兩個電容串聯(lián)時，有(4-14)兩個電容的分壓值為(4-15)

例4.9

電容都為0.3μF，耐壓值同為250V的三個電容器C1、C2、C3的連接如圖4.14所示。試求等效電容，問端口電壓值不能超過多少?若端口加一正弦電壓，有效值應(yīng)小于多少？

解

C2、C3

并聯(lián)等效電容C23=C2+C3=0.6μF總的等效電容C1<C23，則u1＞u23，應(yīng)保證u1不超過其耐壓值250V。當(dāng)u1=250V時，所以端口電壓不能超過u=u1+u23=250+125=375V。圖4.14例4.9圖4.3.2電感元件

1．電感元件電感元件是實際電感線圈的理想化模型。其符號如圖4.15(b)所示。圖4.15電感元件的符號和特性把金屬良導(dǎo)體（線）繞在一骨架上就構(gòu)成一個實際的電感線圈（稱空心線圈），內(nèi)置鐵磁材料的稱鐵心線圈。當(dāng)電流通過線圈時，線圈內(nèi)部及周圍就有磁場（因線圈的密繞，磁場主要集中在其內(nèi)部），將產(chǎn)生磁通Φ，它與N匝線圈相交鏈，磁鏈Ψ=NΦ。通常選定Φ和Ψ與產(chǎn)生它的電流I的參考方向符合右手螺旋定則，如圖4.15(a)所示。在SI中，Φ和Ψ的單位同為韋(Wb)，此時還有麥克斯韋（Mx)，1Mx=10－8Wb。電阻不計的空心線圈只儲存磁能而不消耗能量，可以用理想電感元件的模型表示。

磁鏈與產(chǎn)生它的電流的比值叫做電感元件的電感或自感。理想電感元件的電感為一常數(shù)，磁鏈Ψ總是與產(chǎn)生它的電流i成線性關(guān)系，即(4-16)電感L是體現(xiàn)電流激勵的磁場強弱的參數(shù)。在SI中其單位為亨(H)，常用單位有毫亨(mH)和微亨(μH)。式(4-16)表示電感元件的磁鏈與產(chǎn)生它的電流之間的約束關(guān)系，稱為線性電感的韋安特性,為過坐標原點的一條直線，如圖4.15(c)所示。

2．電感元件的伏安特性根據(jù)電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電壓等于磁鏈的變化率。當(dāng)電壓的參考方向與磁通的參考方向符合右手螺旋定則時，可得當(dāng)電感元件中的電流和電壓取關(guān)聯(lián)參考方向時，結(jié)合式(4-16)有式(4-17)為電感u、i取關(guān)聯(lián)參考方向時的伏安特性，當(dāng)u、i為非關(guān)聯(lián)參考方向時，有(4-17)電感伏安特性說明：任意時刻，線性電感的端電壓與該時刻電流變化率成正比（與該時刻電流大小無關(guān)）。因電流變化才有電壓，故稱其為動態(tài)元件；其所在電路稱動態(tài)電路。直流電路中，電感電流不變，其端電壓為零，相當(dāng)于短路，故電感對直流為短路。電感電流的變化受到電感電壓的約束，電感電壓為有限值，因而電感電流不能躍變。

對式(4-17)進行積分可求出某一時刻電感的電流值。任選初始時刻t0后，t時刻的電流為(4-18)若取t=0，則(4-19)

由此說明，某一瞬間的電流能反映以前電壓的情況，即電感電流有“記憶”電壓作用。3.電感元件的磁場能關(guān)聯(lián)參考方向下，電感吸收的功率電感電流從i(0)=0增大到i(t)時，總共吸收的能量，即t時刻電感的磁場能量(4-20)

當(dāng)電感的電流從某一值減小到零時，釋放的磁場能量也可按上式計算。

例4.10

電感元件的電感L=100mH，u和i的參考方向一致，i的波形如圖4.16(a)所示，試求各段時間元件兩端的電壓uL，并作出uL的波形，計算電感吸收的最大能量。在動態(tài)電路中，當(dāng)電感元件的u、i方向一致時，p＞0，|i|增大，電感從外電路吸收能量。當(dāng)電感元件的u、i方向相反時，p＜0，|i|減小，電感向外電路釋放能量。可見在動態(tài)電路中，電感元件和外電路進行著磁場能與其它能相互轉(zhuǎn)換，本身不消耗能量。圖4.16例4.10圖解

uL與i所給的參考方向一致，各段感應(yīng)電壓為(1)0～1ms間，(2)1～4ms間,電流不變化，得uL=0(3)4～5ms間，uL的波形如圖4.16(b)所示。吸收的最大能量練習(xí)與思考

4.3-1

恒定電流4A從t=0時開始對電容充電，C=2μF。問在10s后的儲能是多少?100s后又是多少?設(shè)電容初始電壓為零。

4.3-2

200μF/400V和100μF/200V的兩電容串聯(lián)使用。外接直流電壓500V，能否安全工作?

4.3-3

若電流通過2H的電感能產(chǎn)生20V的恒定電壓，問該電流由1A增長至5A所需時間應(yīng)是多少?求出此段時間內(nèi)增加的磁場能量。

4.3-4

圖4.17所示的部分電路中，已知：R=3Ω，L=1/2H，C=1/4F,ucd(t)=(6e－2t-4e－4t)V。試求uad(t)。圖4.17題4.3-4圖

4.3-5

有的電阻器用電阻絲繞制而成，為了使它沒有電感，常用雙繞法，如圖4.18所示，說明其理由。圖4.18題4.3-5圖4.3-6

分析兩個電感線圈串、并聯(lián)的等效電感。本節(jié)內(nèi)容對應(yīng)習(xí)題為4.9~4.13。4.4三種元件伏安特性的相量形式4.4.1電阻元件

1．伏安特性在圖4.19(a)中，設(shè)電流為按照關(guān)聯(lián)參考方向下電阻的伏安特性，有上式表明:電阻兩端電壓u和電流i為同頻率同相位的正弦量，其關(guān)系如下(4-21)θi=0時的u和i

的波形如圖4.20所示。電阻上電壓相量和電流相量的關(guān)系為即(4-22)式(4-22)為電阻伏安特性的相量形式。它不僅表明了電阻電壓和電流之間有效值的關(guān)系，也表明了相位關(guān)系。電阻的相量模型及相量圖如圖4.19(b)、(c)所示。圖4.19電阻元件的相量模型及相量圖

2．功率

關(guān)聯(lián)參考方向下電阻元件吸收的瞬時功率p=ui，為了計算方便，取θi=0，則其波形如圖4.20所示。它隨時間周期性變化，其值總是正的。這說明電阻始終消耗功率，是耗能元件。圖中陰影面積的值相當(dāng)于一個周期內(nèi)電阻消耗的能量。圖4.20電阻元件i、u、p波形

瞬時功率一般不便應(yīng)用，因此工程中都用平均功率這一概念。平均功率定義為瞬時功率p在一個周期T內(nèi)的平均值，用大寫字母P表示。即與直流電路中的情況相類似，這里P是平均功率，U和I是有效值。由于平均功率反映了實際耗能的情況，所以又稱為有功功率，其單位是瓦(W)或千瓦(kW)，一般電氣設(shè)備所標的額定功率以及功率表測量的都指有功功率，習(xí)慣上簡稱功率。(4-23)

例4.11

一電阻R=100Ω，通過的電流i(t)=1.41sin(ωt-30°)A。試求

(1)R兩端電壓U和u；

(2)R消耗的功率P。

解

(1)電流電壓或利用相量關(guān)系求解對應(yīng)的正弦量有效值(2)R消耗的功率P=UI=1×100=100W或P=I2R=1×100=100W4.4.2電感元件

1．伏安特性在圖4.21(a)中，設(shè)通過電感元件的電流為 ，按照關(guān)聯(lián)參考方向下電感的伏安特性，有上式表明電感兩端電壓u和電流i是同頻率的正弦量，電壓超前電流90°。θi=0時,i和u的波形如圖4.22所示。電壓和電流的有效值關(guān)系為U=XLI(Um=XLIm)。即圖4.21電感元件的相量模型及相量圖(4-24)而(4-25)稱為感抗，單位為Ω。由式(4-25)可見，XL表示電感對正弦電流的阻礙作用。XL與電源頻率及電感成正比。對于直流ω=0,XL=0，電感元件相當(dāng)于短路。感抗的倒數(shù)(4-26)稱為感納，單位為西門子(S)。電感電流相量和電壓相量的關(guān)系為即式(4-27)為電感在關(guān)聯(lián)方向下伏安特性的相量形式,它既表明電感電壓和電流有效值的關(guān)系,也表明了相位關(guān)系。電感的相量模型及相量圖如圖4.21(b)、(c)所示。(4-27)2．功率在關(guān)聯(lián)參考方向下，當(dāng)θi=0時,電感吸收的瞬時功率為由上式可見p是以兩倍于電流的頻率按正弦規(guī)律變化，如圖4.22所示。最大值為UI或I2XL。電感儲存磁場能量圖4.22電感元件的i，u，p波形磁場能量在最大值 和零之間周期性地變化,總是大于零。從圖4.22可以看出，電感在某一個1/4周期從外部吸收多少能量，在另一個1/4周期釋放多少能量，本身不消耗能量，平均功率為零。P也可以由下式計算出為了衡量電感與外部交換能量的規(guī)模，引入無功功率,(4-28)電感元件交換能量的規(guī)模應(yīng)為可見，QL的大小反映了電感元件交換能量的規(guī)模(或吞吐量的大小)。無功功率并非實際做功的功率。為與有功功率相區(qū)別，其單位為伏安（V·A）。

例4.12

流過0.1H電感的電流為 ,試求關(guān)聯(lián)參考方向下電感兩端的電壓u、無功功率及磁場能量的最大值。

解用相量關(guān)系求解對應(yīng)的正弦電壓無功功率磁場能量的最大值或4.4.3電容元件

1．伏安特性在圖4.23(a)中，設(shè)加在電容兩端的電壓為圖4.23電容元件的相量模型及相量圖按照電容關(guān)聯(lián)參考方向下的伏安特性，有上式表明電容電流和端電壓是同頻率的正弦量，電流超前電壓90°。θu=0時,u和i的波形如圖4.24所示。電流和電壓的關(guān)系為或(4-29)而(4-30)稱為容抗，單位為Ω。由式(4-30)可見，XC表示電容對正弦電流的阻礙作用。XC與電源的頻率及電容成反比。對于直流ω=0,XC=∞，電容元件相當(dāng)于開路。容抗的倒數(shù)(4-31)稱為容納,單位是西門子(S),電容電流相量和電壓相量的關(guān)系為即(4-32)式(4-32)為電容在關(guān)聯(lián)方向下伏安特性的相量形式。它既表明了電容電壓和電流有效值的關(guān)系,也表明了相位關(guān)系。電容的相量模型及相量圖如圖4.23(b)、(c)所示。

2．功率在關(guān)聯(lián)參考方向下，當(dāng)θu=0時，電容吸收的瞬時功率為由上式可見，p是以兩倍于電壓的頻率按正弦規(guī)律變化，如圖4.24所示。最大值為UI或I2XC。電容儲存電場能量電場能量在最大值 和0之間周期性地變化,總是大于零。從圖4.24還可以看出，電容在某一個1/4周期從外部吸收多少能量，在另一個1/4周期內(nèi)釋放多少能量，它本身不消耗能量，平均功率為零。P也可以由下式計算出為了衡量電容與外部交換能量的規(guī)模引入無功功率QC，(4-33)電容的無功功率的單位與電感的無功功率的單位相同。電容元件交換能量的規(guī)模為由此可見，QC的大小反映了電容元件交換能量的規(guī)模(或吞吐量的大小)。圖4.24電容元件的u、i、p波形

例4.13

流過0.5F電容的電流 ，試求關(guān)聯(lián)參考方向下，電容的電壓u、無功功率和電場能量的最大值。

解用相量關(guān)系求解故A301-=I&無功功率電場能量最大值或練習(xí)與思考

4.4-1

已知一電感線圈通過50Hz正弦電流時感抗為50Ω；頻率為10kHz時，其感抗為多少?

4.4-2

已知一電容器電流為50Hz正弦電流時，電壓為100mＶ。電流有效值不變，頻率變?yōu)?000Hz時，電壓有效值變?yōu)槎嗌?4.5基爾霍夫定律的相量形式4.5.1基爾霍夫節(jié)點電流定律的相量形式根據(jù)基爾霍夫節(jié)點電流定律，在正弦電路中，對任一節(jié)點而言，與它相連接的各支路電流任一時刻的瞬時值的代數(shù)和為零，即

根據(jù)正弦量的和差與它們相量和差的對應(yīng)關(guān)系，可以推出：正弦電路中任一節(jié)點，與它相連接的各支路電流的相量代數(shù)和為零，即(4-34)4.5.2回路電壓定律的相量形式根據(jù)基爾霍夫回路電壓定律，在正弦電路中，對任一閉合回路而言，各段電壓任一刻瞬時值的代數(shù)和為零，即∑u(t)=0同理可以推出正弦電路中，任一閉合回路，各段電壓的相量代數(shù)和為零，即

式(4-35)就是基爾霍夫回路電壓定律的相量形式，簡稱KVL的相量形式。(4-35)

例4.14

正弦電路中，與某一個節(jié)點相連的三個支路電流為i1、i2、i3。已知i1、i2流入，i3流出， ，求i3

。

解先寫出i1和i2的相量(注意，i1的初相應(yīng)為60°+90°=150°)i3的相量為，由KCL得則練習(xí)與思考

4.5-1

圖4.25所示電路中，元件1和2為R、L、C中哪一種時，有下列關(guān)系：

(1)I1+I2=I，(2)I1-I2=I，(3)I12+I22=I2

4.5-2

圖4.26所示電路中，元件1和2為R、L、C中哪一種時，有下列關(guān)系：

(1)U1+U2=U，(2)U1－U2=U，(3)U12+U22=U2圖4.25題4.5-1圖圖4.26題4.5-2圖4.6RLC

串聯(lián)電路圖4.27(a)為RLC串聯(lián)正弦電路，其相量模型如圖4.27(b)所示。圖4.27RLC串聯(lián)電路及相量模型4.6.1電壓與電流的關(guān)系以電流相量為參考相量作相量圖，如圖4.28(a)所示，圖中設(shè)UL>UC。圖4.28RLC串聯(lián)電路的相量圖

顯然， 組成一個直角三角形，稱為電壓三角形，由電壓三角形可得、、可見，正弦電路端口電壓的有效值并不等于各串聯(lián)元件電壓有效值之和。U也可寫成(4-36)式（4-36）為RLC串聯(lián)電路伏安特性的相量形式，其中Z為復(fù)阻抗，Z是復(fù)數(shù)但不是相量（不代表正弦量），因此其上部不加“·”。其中X=XL-XC稱為電抗，|Z|和φz分別稱為復(fù)阻抗的模和阻抗角，其關(guān)系為(4-38)(4-37)顯然|Z|、R、X也組成一個直角三角形，稱為阻抗三角形，與電壓三角形相似。設(shè)端口電壓電流的相量分別為則由上式可得(4-39)可見，復(fù)阻抗的模等于端口電壓和電流有效值之比，阻抗角等于電壓與電流的相位差。4.6.2電路的三種性質(zhì)

根據(jù)RLC串聯(lián)電路的電抗

隨著ω、L、C的變化，RLC串聯(lián)電路有以下三種不同性質(zhì)：(1)當(dāng)ωL>1/ωC時，X>0，φz>0，UL>UC。UX超前電流90°，端口電壓超前電流。這時，電路呈感性，可以等效成電阻與電感串聯(lián)的電路，相量圖如圖4.28(a)所示。此時，WLm>WCm，電路除電阻的耗能外，與外部進行著磁場能量的交換。.(2)當(dāng)ωL<1/ωC時，X<0，φz<0，UL<UC，Ux滯后電流90°，端口電壓滯后電流。這時電路呈容性，可等效成電阻與電容串聯(lián)的電路。相量圖如圖4.28(b)所示。此時，WLm<WCm，電路除電阻耗能外，與外部進行電場能量的交換。

(3)當(dāng)ωL=1/ωC時，X=0，φz=0，UL=UC，Z=R。端口電壓與電流同相，電路呈阻性,WLm=WCm。這種狀態(tài)稱為串聯(lián)諧振，將在4.11節(jié)中介紹。相量圖如圖4.28(c)所示。當(dāng)L、C固定不變，ω由小變大時，電路由容性經(jīng)阻性變?yōu)楦行浴?

任何無源二端網(wǎng)絡(luò)和無源二端元件都可以引入它的復(fù)阻抗，端口伏安特性的相量形式都可以用式(4-36)表示。RL串聯(lián)電路、RC串聯(lián)電路、LC串聯(lián)電路、電阻元件、電感元件、電容元件都可以看成RLC串聯(lián)電路的特例。

R、L、C的復(fù)阻抗Z分別為R、jXL、－jXC，φz分別為0、90°、-90°。

RL串聯(lián)RC串聯(lián)由RLC串聯(lián)可推廣到阻抗串聯(lián)的一般情況，其等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗之和。

例4.15

圖4.29(a)所示為RC串聯(lián)移相電路,u為輸入正弦電壓,以uC為輸出電壓。已知，C=0.01μF，u的頻率為6000Hz，有效值為1V。欲使輸出電壓比輸入電壓滯后60°，試問應(yīng)選配多大的電阻R?在此情況下，輸出電壓多大?圖4.29例4.15圖

解作出相量圖，如圖4.29(b)所示。容性電路的阻抗角為負值，根據(jù)已知，有φz=－30°即可得在此情況下，輸出電壓練習(xí)與思考

4.6-1

圖4.30所示的電路中，電壓表V1、V2的讀數(shù)都是50V，試分別求圖(a)、(b)電路中電壓表V的讀數(shù)。圖4.30題4.6-1圖

4.6-2

圖4.31所示電路中，(1)V1、V2、V3的讀數(shù)均為50V，試求電路中電壓表V的讀數(shù)。(2)V的讀數(shù)為5V，V1的讀數(shù)為3V，V2的讀數(shù)為8V，試求V3的讀數(shù)。圖4.31題4.6-2圖

4.6-3

圖4.32所示電路中，電壓表V1的讀數(shù)為12V，V3的讀數(shù)為40V，V的讀數(shù)為20V，分別求出V4，V2的讀數(shù)。圖4.32題4.6-3圖

4.6-4

一個電磁鐵加上220V的工頻電壓時，線圈的電流在22A以上才能吸緊銜鐵，已知感抗為8Ω，試問：線圈的電阻不應(yīng)大于多少?(電磁鐵當(dāng)作電感和電阻的串聯(lián))。

4.6-5

Z=536.9°Ω的阻抗串聯(lián)一電容后，端口電壓、電流的有效值不變，求容抗XC。本節(jié)內(nèi)容對應(yīng)習(xí)題為4.18~4.24。4.7

RLC并聯(lián)電路圖4.33(a)為RLC并聯(lián)正弦電路,其相量模型如圖4.33(b)所示。圖4.33RLC并聯(lián)電路及相量模型4.7.1電壓與電流的關(guān)系以電壓相量為參考相量作相量圖如圖4.34(a)所示,圖中設(shè)IC>IL。圖4.34RLC并聯(lián)電路的相量圖、、

顯然， 也組成一個直角三角形，稱為電流三角形。由電流三角形可得可見，正弦電路端口電流的有效值并不等于并聯(lián)各元件電流有效值之和。I也可寫成(4-40)

上式中的Y稱為等效復(fù)導(dǎo)納，與復(fù)阻抗一樣，Y不代表正弦量，是復(fù)數(shù)但不是相量。式(4-40)就是RLC并聯(lián)電路伏安特性的相量形式。Y=G+j(BC-BL)=G+jB=|Y|φy

其中B=BC-BL稱為電納，|Y|和φy分別稱為導(dǎo)納的模和導(dǎo)納角。其關(guān)系為(4-41)(4-42)設(shè)端口電流、電壓相量分別為則由上式可得(4-43)由此可見，導(dǎo)納的模等于端口電流和電壓有效值之比，導(dǎo)納角等于電流與電壓的相位差。4.7.2電路的三種性質(zhì)隨著ω、L、C的變化，根據(jù)RLC并聯(lián)電路的電納RLC并聯(lián)電路有以下三種不同性質(zhì)：

(1)當(dāng)ωC>1/ωL時，B>0,φy>0,IC>IL,IB超前電壓90°，端口電流超前電壓。這時，電路呈容性，可等效成電阻與電容并聯(lián)的電路。相量圖如圖4.34(a)所示。此時，WCm>WLm,電路除電阻的耗能外，與外部進行著電場能量的交換。.(2)當(dāng)ωC<1/ωL時，B<0,φy<0，ＩＣ<IＬ，ＩB滯后電壓90°，端口電流滯后電壓。這時電路呈感性，可等效成電阻與電感并聯(lián)的電路，相量圖如圖4.34(b)所示。此時,WCm<WLm,電路除電阻耗能外，與外部進行磁場能量的交換。

(3)當(dāng)ωC=1/ωL時，B=0，φy=0，IC=IL。IB=0，Y=G，I=IG，端口電流與電壓同相，電路呈阻性，WCm=WLm,如圖4.34(c)所示。這種狀態(tài)稱為關(guān)聯(lián)諧振，將在4.12節(jié)中進一步研究。當(dāng)L、C固定，ω由小變大時，RLC并聯(lián)電路由感性經(jīng)阻性變?yōu)槿菪浴?

任何無源的二端網(wǎng)絡(luò)和無源二端元件，都可引入它的導(dǎo)納。端口的伏安特性都可以用式(4-40)表示。R、L、C元件，RL并聯(lián)電路，RC并聯(lián)電路，LC并聯(lián)電路都可以看成RLC并聯(lián)電路的特例。

R、L、C三種元件的復(fù)導(dǎo)納分別為G、－jBL、jBC，φy分別為0、-90°、90°。RL并聯(lián)電路，RC并聯(lián)電路，

由RLC并聯(lián)各導(dǎo)納的關(guān)系，可以推廣到導(dǎo)納并聯(lián)的一般情況，等效導(dǎo)納等于并聯(lián)導(dǎo)納之和。4.7.3復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納的等效互換由前面分析可知，同一無源二端網(wǎng)絡(luò)，復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納互為倒數(shù)。復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納分別聯(lián)系著串、并聯(lián)電路端口電壓和電流，由等效概念知，當(dāng)端口電壓、電流相同時，復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納相互等效，則串、并聯(lián)電路亦相互等效，其等效互換關(guān)系為ZY=1，此式可寫成即|Z||Y|=1,,則φz+φy=0，因此φz=-φy

根據(jù)上式可以推導(dǎo)出兩種等效電路參數(shù)間的關(guān)系。對于串聯(lián)電路，有則其中 是把R和X串聯(lián)電路等效變換為并聯(lián)電路時電導(dǎo)和電納的計算公式。對于并聯(lián)電路，有則其中 是把G和B并聯(lián)電路等效變換為串聯(lián)電路時電阻和電抗的計算公式。從以上可以看出注意：只有在同頻率條件下才能進行復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效互換，互換后電路的性質(zhì)不變。

例4.16

R、L串聯(lián)電路圖4.35(a)所示。Ｒ＝５0Ω，Ｌ＝０.06mH，ω=106rad/s，把它等效為圖(c)所示的R′、L′并聯(lián)電路，試求Ｒ′和L′的大小。圖4.35例4.16圖

解原電路的等效并聯(lián)電路如圖4.35(b)所示，依原電路，有故有對于圖4.35(b)所示電路，有Y′=G+jBL，等效時應(yīng)有Y=Y′的關(guān)系，故則練習(xí)與思考

4.7-1

圖4.36中，電流表A1，A2的讀數(shù)都是10A，求電流表A的讀數(shù)。圖4.36題4.7-1圖

4.7-2

圖4.37中，已知電流表A1，A2

，A3的讀數(shù)均為10A，求電流表A的讀數(shù)。圖4.37題4.7-2圖

4.7-3

圖4.38中，R=5Ω，XL=4Ω，當(dāng)S打開或閉合時電流表的讀數(shù)不變，求XC。圖4.38題4.7-3

4.7-4

圖4.39中，XL=10Ω，S打開和閉合時電流表的讀數(shù)都是5A,求XC。圖4.39題4.7-4圖4.7-5RC串聯(lián)到角頻率為ω、有效值為U1的正弦電壓。試證明本節(jié)內(nèi)容對應(yīng)習(xí)題為4.25~4.29。4.8用相量法分析正弦交流電路4.8.1復(fù)阻抗混聯(lián)電路的分析計算

例4.17

電路如圖4.40(a)所示,求i、iC、iL。圖4.40例４.17圖解寫出已知正弦電壓的相量作相量模型,如圖4.40(b)所示。其中，電感元件和電容元件的復(fù)阻抗分別為由各相量寫出對應(yīng)的正弦量例４.18

圖4.41(a)所示的電路中,端口電壓，計算uab。圖4.41例４.18圖解端口正弦電壓的相量作相量模型，如圖4.41(b)所示。R1和R2所在支路的復(fù)阻抗分別為則由KVL得由相量寫出相應(yīng)的正弦量

例4.19

圖4.42(a)所示為電子電路中常用的RC選頻網(wǎng)絡(luò)，端口正弦電壓u的頻率可以調(diào)節(jié)變化。計算輸出電壓u2與端口電壓u同相時u的頻率ω0，并計算U2/U。圖4.42例4.19圖解

RC串聯(lián)部分和并聯(lián)部分的復(fù)阻抗分別用Ｚ1和Ｚ2表示，且原電路的相量模型為Ｚ1，Ｚ2的串聯(lián)，如圖4.42(b)，由分壓關(guān)系得由題意知，與同相時，，而那么則即則u2和u同相， 且為最大值。4.8.2用網(wǎng)孔法和節(jié)點法分析正弦電路例4.20

圖4.43所示電路中，R=5Ω,XC=2Ω，XL=5Ω，求各支路的電流。

解各支路電流 和網(wǎng)孔電流 的參考方向如圖中所示，網(wǎng)孔方程為那么圖4.43例4.20圖

例4.21圖4.44(a)為RC滯后移相電路，輸入電壓的有效值Ui為已知，角頻率ω可以調(diào)節(jié)。試求出輸出電壓uo比ui滯后90°時的ωo及Uo。圖4.44例4.21圖

解作相量模型如圖4.21(b)，為了簡捷，用節(jié)點法，把右邊R和C的聯(lián)接點當(dāng)作一個節(jié)點2，計算出該點的電壓即的相量，節(jié)點方程為則依題意，有即或則而由此可知，當(dāng),Uo比Ui滯后90°時， 且為最大。

例4.22已知IS=100°A,G=1S,ωC=1S，1/ωL=0.5S，求圖4.45所示電路中的I。??圖4.45例4.22圖用節(jié)點法列節(jié)點方程

整理，得從而得則圖4.46例4.23圖4.8.3用戴維南定理分析正弦電路

例4.23

用戴維南定理計算例4.20中R支路的電流。

解先將圖4.43電路改畫為圖4.46(a)所示，R以左為有源二端網(wǎng)絡(luò)。先求其開路電壓再求輸入復(fù)阻抗戴維南電路與待求支路連接后如圖4.46(b)所示，則4.8.4相量圖法用作相量圖來分析正弦電路的方法叫相量圖法。此法形象直觀可免繁瑣計算。作相量圖時，先確定參考相量。并聯(lián)電路常以電壓為參考相量，串聯(lián)電路常以電流為參考相量。

例4.24

圖4.47(a)所示電路的相量模型中，IL=I=10A，U1=U2=200V，求XC。圖4.47例4.24圖

解先作相量圖，如圖4.47(b)所示，以U2為參考相量，由電阻、電感元件的性質(zhì)及IL=I的條件作出IL和I相量。由KCL給出IC=IL+I的關(guān)系，作出IC相量。由電容元件的性質(zhì)，作出UC相量。由KVL給出U1=UC+U2的關(guān)系及U1=U2的條件作出端口電壓U1的相量。特別注意U1的位置。由相量圖可知...............而

例4.25

圖4.48(a)所示的并聯(lián)復(fù)阻抗電路中，U=20V，Z1=3+j4Ω。開關(guān)S閉合前后I的有效值不變，開關(guān)閉合上后的I與U同相。試求Z2。..圖4.48例4.25圖.

解根據(jù)題中所給條件，以電壓U為參考相量，如圖4.48(b)所示。由Z1=3+j4Ω可知，負載Z1為感性，I1滯后U， 由此確定出I1的位置。S合上前、后， ,I和U同相，且 ，所以I1

，I2及I組成一個等腰三角形，兩個底角為(180°-53°)/2=63.5°。那么，復(fù)阻抗Z2的阻抗角φz2=-63.5°?？僧嬒嗔繄D如圖4.48(b)所示。........由相量圖可知則而練習(xí)與思考

4.8-1

圖4.49表示電子電路中常用的脈沖分壓器。試證明，R1C1=R2C2時，分壓比U2/U1=R2/(R1+R2),與輸入電壓的頻率無關(guān)。..圖4.49題4.8-1圖

4.8-2

用相量圖法求出例4.19的ω0。

4.8-3

圖4.50所示電路中，IS1=10°A，IS2=j2A,Z1=j2Ω,Z2=-j1Ω,Z=1Ω,試求I。

4.8-4

例4.18中，若R2與C位置對調(diào)，計算uab。...圖4.50題4.8-3圖4.9正弦交流電路中的功率4.9.1有功分量和無功分量

1.電壓的有功分量和無功分量對于圖4.51(a)所示的無源二端網(wǎng)絡(luò)，定義出關(guān)聯(lián)參考方向下的復(fù)阻抗為Z=R+jX則對電流而言，電壓相量可分解成Ua和Ur，相量圖如圖4.51(b)所示，相量模型如圖4.51(c)所示。與I同相的Ua為有功分量，其模Ua=Ucosφz，為二端網(wǎng)絡(luò)等效電阻R上的電壓，UaI=UIcosφz就是網(wǎng)絡(luò)的有功功率。與I相差90°的為無功分量，其模Ur=Usinφz為網(wǎng)絡(luò)等效電抗X上的電壓，UrI=UIsinφz就是網(wǎng)絡(luò)的無功功率。圖4.51電壓電流相量的分解2．電流的有功分量和無功分量

圖4.51(a)所示的無源網(wǎng)絡(luò)，還可定義出關(guān)聯(lián)參考方向下的導(dǎo)納為則4.9.2有功功率、無功功率、視在功率由4.9.1節(jié)的分析可知,二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流有效值分別為U、I，關(guān)聯(lián)參考方向下相位差為φ時，吸收的有功功率,即平均功率為吸收的無功功率,即交換能量的最大速率(4-45)(4-44)

φ有正有負，故Ｑ是可正可負的代數(shù)量，在電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，按式(4-45)計算，感性無源二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率為正值，容性無源二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率為負值。因電壓、電流之間存在相位差，正弦電路的平均功率小于UI，稱UI為視在功率，即(4-46)S表示在電壓U和電流I作用下，電源可能提供的最大功率。為了與平均功率相區(qū)別，它的單位不用瓦，而用伏·安(V·A)，常用的單位還有千伏·安(kV·A)。

一般發(fā)電機、變壓器、電器都是按照額定的電壓、電流設(shè)計和使用的，用視在功率表示設(shè)備的容量比較方便。通常所說的變壓器、發(fā)電機的容量就是指視在功率。式(4-46)中的P、Q、S可組成一個直角三角形，它與電壓三角形相似，稱其為功率三角形，如圖4.52所示。圖4.52功率三角形4.9.3功率因數(shù)的提高

1．功率因數(shù)的定義式(4-44)中決定有功功率大小的參數(shù)cosφ稱功率因數(shù),用λ表示,其定義為λ體現(xiàn)了有功功率在視在功率中占有的比例。功率因數(shù)的大小取決于電壓與電流的相位差，故把φ角也稱為功率因數(shù)角。電力電路中，大部分是作為動力用的電動機，為感性負載，其λ較低，一般在0.7~0.85左右。負載的λ<1，它的無功功率就不等于零，這就意味著電源輸出的能量中總有一部分在負載和電源之間交換。λ越低，電源供出的功率中交換部分所占的比例越大。(4-47)

2．功率因數(shù)的意義功率因數(shù)是電力系統(tǒng)很重要的經(jīng)濟指標。

(1)它關(guān)系到電源設(shè)備能否充分利用。例如一臺額定容量為10000kV·A的變壓器，若在額定電壓、額定電流下運行，當(dāng)負載的λ=1時，它傳輸?shù)挠泄β蕿?0000kW，得到了充分的利用。負載的λ為0.8或0.6時，傳輸?shù)挠泄β史謩e是8000kW和6000kW，變壓器沒有得到充分的利用。(2)它關(guān)系到輸電線路中電壓和功率損耗的大小。在電源輸出電壓和負載的有功功率一定時，輸電線的電流由此可見，負載的λ越小，輸電線的電流越大，輸電線的能量損耗就越大。因此，為提高電源設(shè)備的利用率，減小線路壓降及功率損耗，應(yīng)盡量提高功率因數(shù)。3．提高功率因數(shù)的方法

提高感性負載功率因數(shù)的常用方法之一是在其兩端并聯(lián)電容器，這樣，電容與負載之間將進行一部分能量交換，減少了電源和負載間的能量交換，從而提高了功率因數(shù)。感性負載提高功率因數(shù)的原理可用圖4.53來說明。在圖4.53(a)中，未并電容前，線路中的電流I等于感性負載的電流I1，功率因數(shù)角為φ1(φ1也是感性負載的阻抗角)。并聯(lián)電容后，負載的電流I1，端電壓U，阻抗角φ1均未變，但線路中的電流I變了。此時I=I1+IC，結(jié)合圖4.53(b)的相量圖可見，其結(jié)果使得I<I1，φ1減小到φ2，因此使整個電路的功率因數(shù)從cosφ1提高到cosφ2。.........圖4.53提高功率因數(shù)的原理由圖4.53(b)可知或則而并聯(lián)電容器的電容值為例如，U=220V的工頻電為電源的40W日光燈，功率因數(shù)由cosφ1=0.5提高到cosφ2=0.9，所并聯(lián)電容器的電容值為練習(xí)與思考

4.9-1

圖4.54中，R1已知，三個電壓表讀數(shù)分別為U1、U2、U3，證明負載的功率圖4.54題4.9-1圖

4.9-2

圖4.55中，R1已知，三個電流表的讀數(shù)為I1、I2

、I3。試證明負載的功率為圖4.55題4.9-2圖

4.9-3

已知某無源網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗Z=1060°Ω，外加電壓U=22015°V，求網(wǎng)絡(luò)的P、Q、S、cosφ。本節(jié)內(nèi)容對應(yīng)習(xí)題為4.41~4.44。4.10正弦交流電路中的最大功率

在電子和通信技術(shù)中，一般要求負載能獲得最大功率，現(xiàn)以如圖4.56所示的電路相量模型為例，分析在US、ZS給定的條件下，負載ZL獲得最大功率的條件。其中由圖可知，電路中電流相量為電流的有效值為負載吸收的功率(4-48)圖4.56有內(nèi)阻抗的交流電源

1.負載的電阻和電抗均可調(diào)節(jié)從式(4-48)可見，若RL保持不變，只改變XL，當(dāng)XS+XL=0時，即XL=－XS，PL可以獲得最大值，這時再改變RL，使PL獲得最大值的條件是即故得RL=RS，因此，負載獲得最大功率的條件為(4-49)

上式表明：當(dāng)負載阻抗等于電源內(nèi)阻抗的共軛復(fù)數(shù)時，負載能獲得最大功率。負載阻抗與電源內(nèi)阻抗為共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系稱為共軛匹配。此時最大功率為(4-50)2．負載為純電阻此時，ZL=RL，RL可變化。這時式(4-48)中的XL=0，即PL為最大值的條件是,即由此可得(4-51)或即(4-52)式中|ZS|為內(nèi)阻抗的模。上式表明，當(dāng)負載為純電阻時，獲得最大功率的條件是負載電阻與電源的內(nèi)阻抗的模相等。這種匹配稱為模匹配。很顯然，與共軛匹配相比較，這時負載獲得的功率要小一些，即(4-53)

例4.26

在圖4.57所示的正弦電路中，R和L為損耗電阻和電感(即為電源內(nèi)阻參數(shù))。已知uS(t)=V,R=5Ω，L=50μH。RL=5Ω，試求：

(1)RL獲得的功率。

(2)當(dāng)RL為多大時，能獲得最大功率?最大功率等于多少?(3)若在RL兩端并聯(lián)一電容C，RL和C為何值時，RL能獲得最大功率?并求此最大功率。圖4.57例4.26圖解

(1)電源內(nèi)阻抗為設(shè)電壓源的相量為電路中的電流為負載獲得的功率為A(2)當(dāng) 時，模匹配，獲得最大功率，即電路中的電流為RL獲得的最大功率為或(3)并聯(lián)電容后，負載的復(fù)導(dǎo)納為則其復(fù)阻抗為根據(jù)共軛匹配，有 ，得聯(lián)立求解，得電路中的電流為練習(xí)與思考

4.10-1

圖4.58所示電路中ZL的實部、虛部均能變動，若使ZL獲得最大功率時，ZL應(yīng)為何值?最大功率是多少?(提示：將ZL左邊部分用戴維南定理等效為電壓源與阻抗的串聯(lián)。)圖4.58題4.10-1圖

4.10-2

電路相量模型如圖4.59所示，已知，求RL為何值時能獲得最大功率?最大功率為多少?圖4.59題4.10-2圖

4.10-3

電路相量模型如圖4.60所示，已知 ，ZL為何值時獲得最大功率?最大功率Pmax為多少?若ZL為電阻，求ZL獲得的最大功率。圖4.60題4.10-3圖4.11串聯(lián)諧振4.6節(jié)已提到RLC串聯(lián)電路在一定條件下會發(fā)生串聯(lián)諧振。從電路呈純阻性來看，串聯(lián)諧振的條件就是復(fù)阻抗虛部為零，即上式中Im［］是“取復(fù)數(shù)虛部”之意。串聯(lián)諧振的電路模型如圖4.61所示。圖4.61所示電路中的阻抗為4.11.1串聯(lián)諧振的條件圖4.61所示電路中的阻抗為由諧振的一般條件可得出串聯(lián)諧振條件是即當(dāng)電路L、C一定時，有或(4-54)由于ω0和f0完全由電路參數(shù)L、C決定，所以ω0和f0稱為固有角頻率和固有頻率。ω0和f0隨L、C變化而變化。因此,電路諧振的條件可以認為是，激勵的頻率與電路的固有頻率相等。調(diào)諧過程就是使二者由不相等達到相等的過程。當(dāng)激勵的頻率f一定時，改變L、C使電路的固有頻率f0=f而達到諧振。收音機選臺就是這樣，波段開關(guān)用來調(diào)節(jié)L值，調(diào)臺旋鈕用來改變可變電容器C的值。4.11.2串聯(lián)諧振的特點

1．電路的阻抗最小由于諧振時，X=0，所以網(wǎng)絡(luò)的復(fù)阻抗為一實數(shù)，即且最小。當(dāng)U和R一定時，諧振時的端口電流I0=U/R為最大，稱為諧振電流。

2．電感電壓和電容電壓遠大于端口電壓

串聯(lián)諧振時，網(wǎng)絡(luò)的感抗和容抗相等，為ρ只與網(wǎng)絡(luò)的L、C有關(guān)，叫做特性阻抗，單位為(Ω)。串聯(lián)諧振時電感電壓和電容電壓的有效值相等，為