自動控制原理 課件 7.8 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正

7.8離散系統(tǒng)的數(shù)字校正

類似于連續(xù)系統(tǒng)，線性離散系統(tǒng)的設(shè)計是指在系統(tǒng)的被控對象、執(zhí)行元件和測量元件等已經(jīng)確定的前提下，設(shè)計數(shù)字校正裝置（數(shù)字控制器），以使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求。線性離散系統(tǒng)的設(shè)計方法主要有模擬化設(shè)計和離散化設(shè)計兩種。由于離散化設(shè)計方法比較簡便，可以實現(xiàn)比較復(fù)雜的控制規(guī)律，因此更具有一般性。本節(jié)主要介紹離散化設(shè)計方法，研究數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)及最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計等問題。7.8.1數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)定義廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為

設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-8-

1所示，圖中D(z)

為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，Gh(s)為零階保持器的傳遞函數(shù)，G0(s)為被控對象的傳遞函數(shù)。定義廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為誤差脈沖傳遞函數(shù)為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為顯然或由此可得離散化設(shè)計方法的具體設(shè)計步驟如下。(1)根據(jù)已知的被控對象，針對控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求及其他約束條件，確定理想的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

或誤差脈沖傳遞函數(shù)

；(2)確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)

；(3)根據(jù)D(z)編制控制算法程序。

所謂最少拍系統(tǒng)，是指在典型輸入信號作用下，能以最少采樣周期即最少拍結(jié)束響應(yīng)過程，且在采樣點上無穩(wěn)態(tài)誤差的離散系統(tǒng)。最少拍系統(tǒng)實質(zhì)上是時間最優(yōu)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的性能指標(biāo)就是調(diào)節(jié)時間最短或盡可能短。7.8.2最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計

最少拍系統(tǒng)的設(shè)計原則是，若廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)

G(z)在

z平面單位圓上及單位圓外沒有零點和極點(除(1,

j0)點外)，且不含有延遲環(huán)節(jié)，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

，使系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，經(jīng)最少拍后能使輸出序列在各采樣點上的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達(dá)到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)

。單位斜坡信號單位階躍信號單位加速度信號最少拍系統(tǒng)的設(shè)計，通常是針對典型輸入作用進(jìn)行的，常見的典型輸入信號有通常，典型輸入信號可以寫成一般形式式中，

B(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多項式。

q取1

、2

、3分別對應(yīng)單位階躍信號、單位斜坡信號和單位加速度信號。根據(jù)最少拍設(shè)計要求，要使系統(tǒng)在采樣點上無穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)滿足由上式表明，使

ess*

為零的條件是

中應(yīng)包含

(1

-

z-1

)m

因子，即其中

F

(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多項式。為使穩(wěn)態(tài)誤差最快衰減到零，即為最少拍系統(tǒng)，就應(yīng)使

最簡單，取

m=q,

F

(z)=1，此時所得

既滿足準(zhǔn)確性要求又滿足快速性要求。此時

下面分別討論最少拍系統(tǒng)在典型輸入信號作用下數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)的確定方法。1.單位階躍輸入當(dāng)輸入信號為

，即

，此時取

，則

可得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為單位階躍響應(yīng)的

z變換和誤差信號的

z變換分別為于是有

可見最少拍系統(tǒng)經(jīng)過一個采樣周期即一拍輸出便可以完全跟蹤輸入信號r(t)=

1(t)

。系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間

ts=T

，這樣的離散系統(tǒng)稱為一拍系統(tǒng)。最少拍系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出及誤差序列如圖7-8-2所示。2.單位斜坡輸入則

可得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為單位斜坡響應(yīng)的

z變換和誤差信號的

z變換分別為當(dāng)輸入信號為

，即

，此時取

，于是有

可見系統(tǒng)經(jīng)過二拍輸出便可以完全跟蹤輸入信號

r(t)=

t

的變化，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間

ts=2T，這樣的離散系統(tǒng)稱為二拍系統(tǒng)。最少拍系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的輸出及誤差序列如圖7-8-3所示。3.單位加速度輸入則

可得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為單位加速度響應(yīng)的

z變換和誤差信號的

z變換分別為當(dāng)輸入信號為

，即

，此時取

，于是有

最少拍系統(tǒng)在單位加速度信號作用下的輸出及誤差序列如圖7-8-4所示?？梢?，最少拍系統(tǒng)經(jīng)過三拍輸出便可以完全跟蹤輸入信號的變化。此時系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間

。表7-8-1最少拍系統(tǒng)的設(shè)計結(jié)果由以上分析，將各種典型輸入信號作用下最少拍系統(tǒng)的設(shè)計結(jié)果列于表7-8-1中例7-33已知線性定常離散系統(tǒng)如圖所示，其中

，

，采樣周期

。若要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入時實現(xiàn)最少拍控制，試確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

。解：系統(tǒng)的廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為為滿足系統(tǒng)在單位斜坡輸入時實現(xiàn)最少拍控制，應(yīng)選擇數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)誤差序列和輸出響應(yīng)序列分別為

顯然，離散系統(tǒng)在單位斜坡輸入作用下，經(jīng)過兩個采樣周期后過渡過程結(jié)束，調(diào)整時間為二拍，且在采樣點上系統(tǒng)的輸出完全跟蹤輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，所求的數(shù)字控制完全滿足設(shè)計指標(biāo)要求。

應(yīng)當(dāng)指出，上述校正方法只能保證在采樣點處穩(wěn)態(tài)誤差為零，而在采樣點之間系統(tǒng)的輸出可能會出現(xiàn)波動，因而這種系統(tǒng)稱為有紋波系統(tǒng)。紋波的存在不僅影響控制精度，而且會增加系統(tǒng)的機械磨損和功耗，這當(dāng)然是不希望的。適當(dāng)?shù)卦黾铀矐B(tài)響應(yīng)時間可以實現(xiàn)無紋波輸出，由于篇幅所限，這里就不再詳述。7.8.3MATLAB實現(xiàn)例7-34利用MATLAB設(shè)計例7-33最少拍控制系統(tǒng)。

解：MATLAB程序如下。clc;clearG0=zpk([],[0,-1],10);G=c2d(G0,1,'zoh');z=tf([10],[1],1);phil=(1-1/z)^2;phi=2/z-(1/z)^2;D=phi/(G*phil)sys0=feedback(G,1);sys=feedback(G*D,1);t=0:1:8;u=t;figure(1)lsim(sys0,u,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('校正前系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)');figure(2)lsim(sys,u,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('校正后系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)');執(zhí)行該程序，運行結(jié)果為D=0.54366z^3(z-0.5)(z-0.3679)(z-1)------------------------------------z^3(z+0.7183)(z-1)^2Sampletime:1secondsDiscrete-timezero/pole/gainmodel.由仿真結(jié)果得到系統(tǒng)的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為圖7-8-5校正前后系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線校正前后系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線如圖7-8-5所示。由圖可見，校正前系統(tǒng)不穩(wěn)定，校正后系統(tǒng)在第二拍跟蹤上單位斜坡信號，滿足設(shè)計要求。(a)校正前(b)校正后例7-35利用MATLAB/Simulink分析例7-33的最少拍控制系統(tǒng)。

解：利用Simulink搭建閉環(huán)離散系統(tǒng)的仿真模型如圖7-8-6所示圖7-8-6閉環(huán)離散系統(tǒng)的仿真模型設(shè)置相關(guān)參數(shù)，并將仿真時間設(shè)為10s，啟動仿真，示波器輸出系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線如圖7-8-7所示。由圖可見，離散系統(tǒng)在單位斜坡輸入作用下，經(jīng)過兩個采樣周期后過渡過程結(jié)束，調(diào)整時間為二拍，且在采樣點上系統(tǒng)的輸出完全跟蹤輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零。圖7-8-7單位斜坡輸入時的系統(tǒng)輸出本例是針對單位斜坡輸入設(shè)計的最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器，那么所設(shè)計的系統(tǒng)在單位階躍或單位加速度輸入時，系統(tǒng)的輸出情形如何？對于單位階躍輸入，利用Simulink搭建閉環(huán)離散系統(tǒng)的仿真模型如圖7-8-8所示。圖7-8-8閉環(huán)離散系統(tǒng)的仿真模型仿真結(jié)果如圖7-8-9所示，由圖可知，系統(tǒng)也是經(jīng)過二拍后過渡過程結(jié)束，但在第一個采樣時刻時，有100%的超調(diào)量。圖7-8-9單位階躍輸入時的系統(tǒng)輸出對于單位加速度輸入，利用Simulink搭建閉環(huán)離散系統(tǒng)的仿真模型如圖7-8-10所示。圖7-8-10閉環(huán)離散系統(tǒng)的仿真模型仿真結(jié)果如圖7-8-11所示。由圖可知，系統(tǒng)過渡過程仍為二拍，但