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7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析
與連續(xù)系統(tǒng)相同,離散系統(tǒng)必須穩(wěn)定,才有可能正常工作,因此穩(wěn)定性分析是離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。對(duì)于線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng),通常在s域研究系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題,而離散系統(tǒng)則在
域研究系統(tǒng)穩(wěn)定性。因?yàn)?/p>
變換是從拉普拉斯變換推廣而來(lái),所以首先應(yīng)從s域和
域的映射關(guān)系開(kāi)始研究。7.5.1
s平面到z平面的映射若令根據(jù)
變換的定義,復(fù)變量
和
的關(guān)系為則于是,
平面與
平面之間的映射關(guān)系為當(dāng)
時(shí),,表示s平面的虛軸映射到z平面上是以原點(diǎn)為圓心的單位圓;當(dāng)
時(shí),,表示s平面的虛軸映射到z平面上是以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)部區(qū)域;當(dāng)
時(shí),,表示s平面的虛軸映射到z平面上是以原點(diǎn)為圓心的單位圓外部區(qū)域。
線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于系統(tǒng)的特征根在
s平面上的位置,若特征根全部位于s左半平面,則系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)s平面和
z平面的映射關(guān)系,線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:特征方程的根(即脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn))均位于
z平面單位圓內(nèi),系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)特征根在單位圓外,系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若特征根位于單位圓上,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),在工程上屬于不穩(wěn)定范疇。7.5.2離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件
線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:特征方程的根(即脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn))均位于
z平面單位圓內(nèi),系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)特征根在單位圓外,系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若特征根位于單位圓上,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),在工程上屬于不穩(wěn)定范疇。設(shè)典型閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-6所示,其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為
將
z平面的單位圓內(nèi)的區(qū)域映射到
w
平面的左半平面。這種變換稱(chēng)為雙線(xiàn)性變換,又稱(chēng)
w變換。7.5.3線(xiàn)性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)1.w變換與w域中的勞斯判據(jù)如果令則有z和
w
均為復(fù)變量,令則有當(dāng)
時(shí),
,
平面的單位圓映射于
平面的虛軸。當(dāng)
時(shí),
,
平面的單位圓映內(nèi)射于
平面的左半平面。當(dāng)
時(shí),
,
平面的單位圓映外射于
平面的右半平面。
通過(guò)雙線(xiàn)性變換,可將離散系統(tǒng)以
z為變量的特征方程D(z)變換為以
w
為變量的特征方程
D(w),然后在
w
域內(nèi)利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,將這種方法稱(chēng)為
w
域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。解:例7-24
已知離散系統(tǒng)的特征方程
D(z)=
3z3
+
2z2
+
z+1
=
0,試判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用雙線(xiàn)性變換
,得整理得列勞斯表由于勞斯表第一列系數(shù)全為正,即所有根均在
z平面單位圓內(nèi),故該離散系統(tǒng)穩(wěn)定。
勞斯穩(wěn)定判據(jù)是確定連續(xù)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的簡(jiǎn)單有效方法,只有通過(guò)雙線(xiàn)性變換才可以用于離散系統(tǒng),而不能直接應(yīng)用于
z域。朱利穩(wěn)定判據(jù)是可以直接在
z域判斷離散系統(tǒng)特征方程的根是否在單位圓內(nèi)的判據(jù)。2.朱利穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為朱利表其中
離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是共(n-1)個(gè)約束條件所有條件均滿(mǎn)足時(shí),離散系統(tǒng)穩(wěn)定,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。解:根據(jù)閉環(huán)特征方程列朱利表可得例7-25
已知線(xiàn)性離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為
D(z)=3z4
+
z3
-z
2
-
2z+1
=0試用朱利穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因?yàn)闈M(mǎn)足滿(mǎn)足不滿(mǎn)足由于不滿(mǎn)足朱利穩(wěn)定準(zhǔn)則,故該離散系統(tǒng)不穩(wěn)定。解:系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為例7-26
設(shè)帶有零階保持器的線(xiàn)性離散系統(tǒng)如圖7-5-4所示,當(dāng)采樣周期T分別取1s和0.
1s
時(shí),試求離散系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K
值范圍。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為當(dāng)T=1s時(shí),閉環(huán)特征方程為滿(mǎn)足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為解得T=1s離散系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍為
0<
K<
2.39。若T=0.
1s時(shí),通過(guò)計(jì)算可得離散系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍為
0<K<20.3。
通過(guò)例7-26可見(jiàn),采樣周期
T
和開(kāi)環(huán)增益
K都對(duì)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響。當(dāng)采樣周期一定時(shí),加大開(kāi)環(huán)增益會(huì)使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差,甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定;當(dāng)開(kāi)環(huán)增益一定時(shí),采樣周期越長(zhǎng),丟失的信息越多,對(duì)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能均不利。判斷線(xiàn)性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,最直接的方法是求出系統(tǒng)的所有特征根,根據(jù)特征根是否位于平面的單位圓內(nèi)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用MATLAB中的函數(shù)roots()可求特征根,函數(shù)abs()可求特征根的模值,函數(shù)zplane()可繪制離散系統(tǒng)帶單位圓的零極點(diǎn)圖,其中極點(diǎn)用“×”表示,零點(diǎn)用“o”表示。7.5.4MATLAB實(shí)現(xiàn)解:MATLAB程序如下。例7-27
已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-5-5所示,采樣周期T=1s
,試判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。clc;clearnum=[3];den=[1,2,0,0];[num1,den1]=c2dm(num,den,1,'imp');[numd,dend]=feedback(num1,den1,1,1);r=roots(dend)abs(r)zplane(numd,dend)執(zhí)行該程序,運(yùn)行結(jié)果為圖7-5-6離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖r=0.6000+1.1205i
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