自動控制原理 課件 4.4 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能

4.4利用根軌跡分析系統(tǒng)性能應(yīng)用根軌跡法，可以確定系統(tǒng)在根軌跡增益或其他參數(shù)變化時閉環(huán)極點的位置，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，定性地分析系統(tǒng)性能，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。1.用根軌跡分析系統(tǒng)階躍響應(yīng)利用根軌跡法可以確定系統(tǒng)中參數(shù)變化時閉環(huán)極點的分布規(guī)律，以及對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。下面通過例4-15說明如何應(yīng)用根軌跡分析系統(tǒng)在階躍信號作用下的動態(tài)過程。4.4.1利用根軌跡分析系統(tǒng)性能例4-15已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)⑴繪制系統(tǒng)根軌跡;⑵試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍，并分析K*對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。將開環(huán)傳遞函數(shù)化為時間常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式，得將上式整理后，得

解：⑴繪制系統(tǒng)根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=2，有兩條根軌跡，一條漸近線。②系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點p1=0，p2=3，一個開環(huán)零點z1=-1。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點p1和p2，一條終止于開環(huán)零點z1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。③實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-1]和[0,3]。④根軌跡分離點（或會合點）

解得分離點坐標(biāo)為⑤根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程D(s)根據(jù)可得因此，根軌跡與虛軸交點為，對應(yīng)的K*=3為臨界根軌跡增益。繪制根軌跡如圖1所示。⑵分析系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)過程由圖4-4-1可知，當(dāng)根軌跡增益K*>3，相應(yīng)開環(huán)增益K>1時，閉環(huán)特征根具有負(fù)實部，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。利用模值方程求得分離點d2=-3處對應(yīng)的根軌跡增益為

此時，對應(yīng)的開環(huán)增益由圖4-4-1可見，當(dāng)K≥3時，閉環(huán)特征根有兩個不相等的負(fù)實根或者兩個相等的負(fù)實根，此時，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)中無振蕩分量，但有超調(diào)；當(dāng)1<K<3時，特征根有一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根，系統(tǒng)的響應(yīng)為衰減振蕩；當(dāng)K=1時，特征根有一對共軛虛根，系統(tǒng)的響應(yīng)為等幅振蕩；當(dāng)0<K<1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。⑶K*=10時系統(tǒng)的閉環(huán)極點和單位階躍響應(yīng)當(dāng)K*=10時，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)閉環(huán)極點為s1=-2，s2=-5。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉普拉斯變換為

進行拉普拉斯反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為由此可見，當(dāng)K*=10時，系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的響應(yīng)無振蕩分量，但有超調(diào)。若令，得峰值時間此時超調(diào)量為可見，利用根軌跡可以很方便地分析根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

2.用閉環(huán)主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)如果高階系統(tǒng)閉環(huán)極點滿足具有閉環(huán)主導(dǎo)極點的分布規(guī)律，就可以忽略非主導(dǎo)極點及偶極子的影響，將高階系統(tǒng)近似看作一、二階系統(tǒng)，可以較為簡便地計算（或估算）出系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)。例4-16已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為⑴試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。⑵試計算阻尼比ζ=0.5時的系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)。⑶計算此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時間常數(shù)形式，得

⑴繪制根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3，有3條根軌跡，3條漸近線。②系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-2，無開環(huán)零點。3條根軌跡始于開環(huán)極點，趨于無窮遠(yuǎn)處。③實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-2]和[-1,0]。④漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑤根軌跡分離點（或會合點）

解得（舍去）⑥根軌跡與虛軸的交點閉環(huán)特征方程為

令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程根據(jù)可得因此，根軌跡與虛軸的交點為，對應(yīng)的K*=6為臨界根軌跡增益。繪制根軌跡如圖4-4-2所示。

⑵計算ζ=0.5時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)為了滿足阻尼比ζ=0.5的條件，首先作出ζ=0.5的等阻尼線，它與負(fù)實軸的夾角，如圖4-4-2所示。等阻尼線與根軌跡的交點坐標(biāo)為s1和s2。設(shè)復(fù)數(shù)極點s1,2=σ±jω，從根軌跡上可得交點s1的坐標(biāo)滿足求得，則。設(shè)第3個閉環(huán)極點為s3，由根之和條件可得即

閉環(huán)特征方程為

比較系數(shù)有因此，當(dāng)ζ=0.5時，解得閉環(huán)極點s1,2=-0.333±j0.577，s3=-2.334，對應(yīng)K*=1.037。當(dāng)K*=1.037時系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由s1,2=-0.333±j0.577和s3=-2.334可見，s3至虛軸的距離是s1（或s2）至虛軸的距離的7倍，滿足閉環(huán)主導(dǎo)極點的條件。因此，s1,2可認(rèn)為是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點，可以根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點來估算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為二階系統(tǒng)的形式，即由此可得二階系統(tǒng)阻尼比ζ=0.5，無阻尼振蕩頻率ωn=0.666rad/s。在單位階躍信號作用下二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)為⑶計算ζ=0.5時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為

系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為3.用根軌跡計算系統(tǒng)的參數(shù)利用根軌跡法可以計算在一定性能指標(biāo)下的系統(tǒng)參數(shù)。這里通過例4-17來討論如何根據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)來確定系統(tǒng)的參數(shù)。例4-17已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

⑴試確定系統(tǒng)響應(yīng)為等幅振蕩K的取值及振蕩頻率。⑵若要求閉環(huán)系統(tǒng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)增益K的范圍。⑶能否通過選擇K滿足調(diào)節(jié)時間的要求？⑷能否通過選擇K滿足誤差系數(shù)的要求？解：將開環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點標(biāo)準(zhǔn)形式，得

⑴繪制系統(tǒng)根軌跡①開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=4。有4條根軌跡，4條漸近線。②系統(tǒng)有4個開環(huán)極點p1,2,3,4=-2，無開環(huán)零點。4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。③實軸上無根軌跡。④漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為⑥根軌跡的出射角

得⑦根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

根據(jù)勞斯表可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時K*=64，將其帶入輔助方程

即得s1,2=±j2繪制根軌跡如圖4-4-3所示。系統(tǒng)響應(yīng)為等幅振蕩，即根軌跡與虛軸相交，臨界根軌跡增益K*=64，對應(yīng)的開環(huán)增益K=4，振蕩頻率ω=2rad/s。

⑵由根軌跡可見，系統(tǒng)存在一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，系統(tǒng)的性能可以由二階系統(tǒng)性能指標(biāo)公式近似估算。根據(jù)解得ζ=0.5，等阻尼角，如圖4-4-3所示。設(shè)閉環(huán)極點s1,2=-α±jω，由根軌跡圖可知交點是s1的坐標(biāo)滿足求得α=0.732，ω=1.268,則s1,2=-0.732±j1.268?？稍O(shè)另外兩個閉環(huán)極點為s3,4=-γ±jω,由根之和條件可得γ=3.268，則s3,4=-3.268±j1.268

顯然s3,4至虛軸的距離約是s1,2至虛軸的距離的5倍，滿足閉環(huán)主導(dǎo)極點的條件。因此，s1,2可認(rèn)為是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點。當(dāng)ζ=0.5時對應(yīng)的K*值可由模值方程求出，即將s1代入模值方程可得

得到K*=10.34，相應(yīng)K=0.646。綜上所述，當(dāng)開環(huán)增益取K≤0.646時，最大超調(diào)量滿足σ%≤16.3%。⑶要求

，即。表明閉環(huán)主導(dǎo)極點必須位于s平面左半部分，且距離虛軸大于(0.75-1)，即可滿足要求。由圖4-4-3可知，在系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，閉環(huán)主導(dǎo)極點的實部絕對值均小于2，所以能通過選擇K滿足ts≤4s的要求。⑷由于臨界穩(wěn)定根軌跡增益為K*=64，所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的位置誤差系數(shù)應(yīng)滿足故不能通過選擇K滿足誤差系數(shù)的要求。

4.4.2開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)特性與根軌跡的形狀密切相關(guān)，而開環(huán)零、極點的分布決定著根軌跡的形狀。因此，在系統(tǒng)中適當(dāng)?shù)卦黾娱_環(huán)零、極點或者改變開環(huán)零、極點在s平面的位置，可以改變根軌跡的形狀，從而改善系統(tǒng)的性能。1.開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響通過例4-18來說明增加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響。例4-18某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為在該系統(tǒng)中分別增加開環(huán)零點z為，試分析增加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響。解：4個系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布及根軌跡如圖4-4-4所示。從圖4-4-4可以看出，增加開環(huán)零點可以減少漸近線的條數(shù)，改變漸近線傾角及與實軸的交點；一般使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，提高系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，且開環(huán)零點越靠近虛軸，這種作用越顯著。因此，適當(dāng)?shù)匾腴_環(huán)零點，可以對系統(tǒng)的性能有所改善。因此，適當(dāng)?shù)匾敫郊恿泓c，可以對系統(tǒng)的性能有所改善。2.開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響通過例4-19來說明增加開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響。例4-19某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，在該系統(tǒng)中分別增加開環(huán)極點p為，試分析增加開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響。解：4個系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布及根軌跡如圖4-4-5所示。從圖4-4-5可以看出，增加開環(huán)極點改變了漸近線的條數(shù)、傾角及與實軸的交點；一般使根軌跡向右偏移，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，且附加極點離虛軸越近，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差，響應(yīng)速度越慢。因此，在系統(tǒng)設(shè)計時一般不單獨增加開環(huán)極點。3.偶極子對系統(tǒng)性能的影響在控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計中，偶極子的概念是十分有用的?？梢栽谙到y(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c，以抵消對動態(tài)過程影響較大的不利極點，使系統(tǒng)的動態(tài)性能得以改善。附加偶極子對系統(tǒng)性能的影響通過例4-20來說明。例4-20已知某比例積分控制系統(tǒng)如圖4-4-6所示，利用根軌跡分析控制系統(tǒng)性能。解：當(dāng)控制器為比例控制時，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，即穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)控制器為比例積分控制時，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中，z為開環(huán)零點。下面比較開環(huán)零點z分別為-4,-0.5,-1.2，阻尼比ζ=0.5時的系統(tǒng)性能。不加比例積分控制器（相當(dāng)于）的原系統(tǒng)，加入比例積分控制器（相當(dāng)于系統(tǒng)加入開環(huán)零點z分別為-4,-0.5,-1.2）的系統(tǒng)的根軌跡如圖4-4-7所示。設(shè)等阻尼線ζ=0.5(此時)與根軌跡的交點為s1則代入閉環(huán)特征方程

令其實部和虛部分別等于零，得到根據(jù)根之和規(guī)則，則第3個閉環(huán)極點可得即由可得整理得ωn=2a選定Kp，Ki可求出系統(tǒng)的開環(huán)零點z，由a可得到系統(tǒng)閉環(huán)極點s1,2、s3及ωn。當(dāng)z分別取-4,-0.5,-1.2時，對應(yīng)的計算結(jié)果如表4-4-1所示。根據(jù)表4-4-1，得出以下結(jié)論：⑴當(dāng)z=-4時，Kp較小，s3=-2.22距離開環(huán)零點z=-4較遠(yuǎn)，不存在零極點對消現(xiàn)象。閉環(huán)主導(dǎo)極點s1,2距離虛軸太近，系統(tǒng)穩(wěn)定性較差，調(diào)節(jié)時間ts較長。⑵當(dāng)z=-0.5時，Kp較大，s3=-0.432與開環(huán)零點z=-0.5互為偶極子，存在零極點對消現(xiàn)象。閉環(huán)主導(dǎo)極點s1,2離虛軸較遠(yuǎn)，調(diào)節(jié)時間ts較短，系統(tǒng)動態(tài)性能較好。⑶當(dāng)z=-1.2時，Kp=1.577，性能介于開環(huán)零點為-4和-0.5之間，s3=-1.282與開環(huán)零點z=-1.2互為偶極子，系統(tǒng)性能主要由閉環(huán)主導(dǎo)極點s1,2決定。若系統(tǒng)輸入為單位階躍信號，則可以確定它們的單位階躍響應(yīng)。畫出系統(tǒng)在開環(huán)零點z分別取-4，-0.5，-1.2時的單位階躍曲線，如圖4-4-8所示。從以上分析可以看出，加入合適的比例積分控制器，使系統(tǒng)形成偶極子，能盡量不改變原系統(tǒng)性能，即主導(dǎo)極點基本不變，而又能提高系統(tǒng)的控制精度。4.4.3MATLAB實現(xiàn)例4-21已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

⑴利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。⑵求ζ=0.5時的K值，繪制ζ=0.5時系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線并分析系統(tǒng)性能指標(biāo)。⑶確定當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數(shù)K的取值范圍。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)⑴利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡。輸入以下MATLAB命令：clc;clear%%繪制系統(tǒng)的根軌跡figure(1)num=1;den=conv(conv([10],[14]),[1832]);G=tf(num,den);%系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)rlocus(G)%繪制系統(tǒng)的根軌跡%%計算阻尼比為0.5對應(yīng)的根軌跡增益sgrid(0.5,[]);[k,poles]=rlocfind(G)%繪制阻尼比為0.5時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線figure(2)t=0:0.01:10;Go=feedback(tf(k*num,den),1);step(Go,t);%%計算臨界穩(wěn)定點的根軌跡增益與虛軸的交點AG=allmargin(G);Kc=AG.GainMargin%臨界根軌跡增益wc=AG.GMFrequency%根軌跡與虛軸的交點頻率⑴繪制系統(tǒng)的根軌跡程序運行結(jié)果如圖4-4-9（a）所示。⑵ζ=0.5時的K值及K值對應(yīng)的4個閉環(huán)極點程序運行結(jié)果：Selecta