自動控制原理 課件 第8章 非線性控制系統(tǒng)分析

第8章非線性控制系統(tǒng)分析8.1非線性控制系統(tǒng)概述

8.2相平面法

8.3描述函數(shù)法本章要點：⑴非線性控制系統(tǒng)概述。⑵相平面的基本概念及非線性系統(tǒng)的相平面分析法。⑶描述函數(shù)的基本概念及非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法。⑴理解非線性系統(tǒng)的特點，掌握典型非線性特性及對系統(tǒng)性能的影響。⑵掌握相平面的定義、性質及相軌跡的繪制方法；掌握二階線性系統(tǒng)的相軌跡及奇點的類型，正確理解極限環(huán)的概念；能夠利用相平面法分析非線性系統(tǒng)的運動特性。⑶掌握描述函數(shù)的概念及典型非線性特性描述函數(shù)的求取，能夠利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自激振蕩。學習目標：本章重點：⑴非線性系統(tǒng)的特點及典型非線性特性。⑵相軌跡的定義、性質及繪制方法；二階線性系統(tǒng)的相軌跡及奇點的類型，極限環(huán)的概念；利用相平面法分析非線性系統(tǒng)。⑶描述函數(shù)的概念及描述函數(shù)法的基本思想與應用條件；利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自激振蕩，自振參數(shù)的計算。第8章非線性控制系統(tǒng)分析

前面各章所研究的控制系統(tǒng)都是線性的。實際中理想的線性控制系統(tǒng)是不存在的。任何一個控制系統(tǒng)，其組成元件總是或多或少地帶有非線性，因此都屬于非線性系統(tǒng)的范疇。非線性系統(tǒng)不再滿足疊加原理，因此本書前七章介紹的線性系統(tǒng)分析和設計方法不再適用。但由于線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，線性系統(tǒng)的分析和設計方法在非線性控制系統(tǒng)的研究中仍發(fā)揮著非常重要的作用。8.1非線性控制系統(tǒng)概述

在控制系統(tǒng)的所有組成環(huán)節(jié)中，如果有一個或多個環(huán)節(jié)具有非線性特性，則該系統(tǒng)稱為非線性控制系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的本質區(qū)別在于能否應用疊加原理，由于兩類系統(tǒng)特性上的這種區(qū)別，它們的運動規(guī)律有很大差別。8.1.1非線性系統(tǒng)的特征

由前面的內容可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，而與輸入信號及初始條件無關。換句話說，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則無論受到多大的擾動，擾動消失后系統(tǒng)可以回到唯一的平衡點。而對于非線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)的結構和參數(shù)有關外，還與輸入信號和初始條件有關。即使同一個非線性系統(tǒng)，也可能存在穩(wěn)定運動和不穩(wěn)定運動，而穩(wěn)定的運動也不一定對于所有的初始擾動都是穩(wěn)定的，可能出現(xiàn)對于較大的初始擾動就不穩(wěn)定的情況。因此，對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念。下面通過實例加以說明。1.穩(wěn)定性分析復雜設描述非線性系統(tǒng)的微分方程為積分可得令

，可知該系統(tǒng)存在兩個平衡狀態(tài)

和

。當

時，方程可寫為若初始條件

，可求得從而得到由此可畫出不同初始條件下

的曲線如圖8-1-1所示。當

，

時，

隨

的增大而增大，在

時，

趨向于無窮大；當

時，

隨著

值的增大而趨近于零。由圖可見，平衡狀態(tài)

是穩(wěn)定的，因為它對于

的擾動都具有恢復原狀態(tài)的能力；而平衡狀態(tài)

則是不穩(wěn)定的，因為稍加擾動就會偏離平衡狀態(tài)。由此可見，非線性系統(tǒng)的平衡點不止一個，在某些平衡點非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，但在另一些平衡點卻是不穩(wěn)定的。2.可能產生自激振蕩

描述線性系統(tǒng)的微分方程可能有一個周期運動解，然而在實際系統(tǒng)中，這樣的周期運動是不能穩(wěn)定持續(xù)下去的。以二階無阻尼系統(tǒng)為例，其自由運動的解為

，其中角速度

由系統(tǒng)的結構和參數(shù)決定，而振幅

和相角

取決于初始狀態(tài)。當系統(tǒng)受到干擾信號的影響時，

和

的值都會發(fā)生變化，原來的周期運動便不能持續(xù)下去，因此這種周期運動是不穩(wěn)定的。

對于非線性系統(tǒng)，即使在沒有外作用的情況下，也有可能產生固定頻率和振幅的周期運動，并且在擾動作用消失后，系統(tǒng)仍能保持原來頻率和振幅的周期運動，也就是說這種周期運動具有穩(wěn)定性。該周期運動稱為自激振蕩，簡稱自振。自激振蕩是非線性系統(tǒng)特有的運動現(xiàn)象，是非線性控制理論研究的重要問題之一。

應當指出，系統(tǒng)長時間大幅度的振蕩會造成不可逆的機械磨損，并增加系統(tǒng)的控制誤差，多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自激振蕩發(fā)生，但在有些控制系統(tǒng)中，適當?shù)囊敫哳l小幅度的振蕩卻有利于系統(tǒng)克服間隙和死區(qū)等非線性因素產生的不良影響。因此研究自激振蕩的產生條件及抑制，確定自激振蕩的頻率和周期，是非線性系統(tǒng)分析的重要內容。3.頻率響應發(fā)生畸變

由第五章的內容可知，線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，僅在幅值和相位上與輸入不同。針對這一特點，可以利用頻率特性的概念描述系統(tǒng)動態(tài)特性。而對于非線性系統(tǒng)，其頻率響應除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量外，還含有高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。因此線性系統(tǒng)的頻域分析法不再適用于非線性系統(tǒng)。

在非線性系統(tǒng)的分析和控制中，還會產生一些其他與線性系統(tǒng)明顯不同的現(xiàn)象，在此不再贅述。8.1.2典型非線性特性一般測量元件、放大器以及執(zhí)行機構都不同程度地存在不靈敏區(qū)。例如電動機由于軸上存在著摩擦力矩和負載力矩，只有在電樞電壓達到一定數(shù)值后電動機才會轉動。這種在輸入信號比較小時沒輸出，只有在輸入量超過一定值后才有輸出的特性稱為死區(qū)（不靈敏區(qū)）非線性特性。典型的死區(qū)特性如圖8-1-2所示，其數(shù)學表達式為1.死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性

式中，

是死區(qū)寬度，K為死區(qū)外直線的斜率。死區(qū)特性的存在，一方面會使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，跟蹤精度降低，另一方面死區(qū)能濾去從輸入端引入的小幅值干擾信號，可以提高系統(tǒng)抗擾動的能力。飽和特性是指輸出和輸入之間的線性關系只能維持在一定的輸入范圍內，當輸入超出這個范圍時，輸出被限制在一個常數(shù)值。例如晶體管放大器有一個線性工作范圍，超出這個范圍，放大器就會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。典型的飽和特性如圖8-1-3所示，其數(shù)學表達式為2.飽和特性式中，a為線性區(qū)寬度；K為線性區(qū)的斜率。

飽和特性的存在一般將使系統(tǒng)開環(huán)增益降低，從而導致系統(tǒng)過渡過程時間增加，穩(wěn)態(tài)誤差變大。但在有些控制系統(tǒng)中，人們有目的地引入飽和非線性環(huán)節(jié)，例如在具有轉速和電流反饋的雙閉環(huán)直流調速系統(tǒng)中，把速度調節(jié)器和電流調節(jié)器有意識地設計成具有飽和非線性特性，以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和限制系統(tǒng)的最大電流。在各種傳動機構中，由于機械加工精度的限制和工藝裝配的需要，間隙的出現(xiàn)是不可避免的。例如齒輪傳動中，如果主動輪改變運動方向，只有當主動輪反向移動消除間隙后，從動輪才隨主動輪運行。典型的間隙特性如圖8-1-4所示，其數(shù)學表達式為3.間隙特性式中，2b為間隙寬度，K為間隙特性斜率。

間隙特性的存在，通常會使系統(tǒng)輸出在相位上產生滯后，從而導致系統(tǒng)穩(wěn)定裕量減小，動態(tài)性能變壞，甚至使系統(tǒng)產生自激振蕩。繼電器是廣泛應用于控制系統(tǒng)、保護裝置和通信設備中的器件。由于繼電器吸合及釋放狀態(tài)下磁路的磁阻不同，吸合與釋放電壓是不相同的。因此，繼電特性輸入輸出關系不完全是單值的，圖8-1-5所示為具有滯環(huán)的三位置繼電特性，其數(shù)學表達式為4.繼電特性式中，h為繼電器吸合電壓，mh為繼電器釋放電壓，M為飽和輸出。當

時，繼電特性成為純滯環(huán)的兩位置繼電特性，如圖8-1-6所示。當

時，成為具有三位置的死區(qū)繼電特性，如圖8-1-7所示。當

時，則成為理想繼電特性，如圖8-1-8所示。繼電特性的存在一般會使系統(tǒng)產生自激振蕩，甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且也使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。8.1.3MATLAB實現(xiàn)在MATLAB的Simulink中，不連續(xù)系統(tǒng)模塊庫（Discontinuous）提供了12種常見的標準非線性特性模塊，如間隙、死區(qū)、繼電、飽和、開關等。對非線性系統(tǒng)進行仿真時，可以直接調用這些非線性模塊，對于Simulink中沒有提供的非線性模塊，則需要開發(fā)人員按照具體的非線性特性編程實現(xiàn)，然后進行模塊封裝，以便后期調用。解：在Simulink環(huán)境下搭建仿真模型如圖8-1-9所示。對各個模塊進行參數(shù)設置，如設定SineWave模塊的幅值Amplitude為1，角頻率Frequency為1rad/s，初相角Phase為0；設置Backlash模塊的Deadbandwidth為0.8。仿真運行，雙擊Scope圖標，就可以得到系統(tǒng)的仿真曲線如圖8-1-10所示。由圖可見，間隙非線性特性使系統(tǒng)輸出在相位上產生了明顯的滯后。8.1.3MATLAB實現(xiàn)例8-1某元件具有間隙特性如圖8-1-4所示，其中間隙寬度

。當輸入正弦信號

，試利用MATLAB/Simulink求輸入與輸出信號波形。圖8-1-9具有間隙非線性模塊的仿真模型圖8-1-10正弦信號作用于間隙非線性模塊的波形對比圖8.2相平面法

相平面法是龐加萊于1885年首先提出的。該方法是求解一、二階線性或非線性系統(tǒng)的圖解法，可以用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)、時間響應和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。8.2.1相平面的基本概念設一個二階系統(tǒng)為常微分方程8.2.1相平面的基本概念其中

為

和

的線性或非線性函數(shù)。方程的解可以用

的時間函數(shù)曲線表示，也可以用

和

的關系曲線表示，而時間

為參變量。以

為橫坐標，以

為縱坐標構成的直角坐標平面叫做相平面。相平面上的點隨時間

變化描繪出來的曲線稱為相軌跡。根據(jù)微分方程解的存在與唯一性定理，對于任一給定的初始條件，相平面上有一條相軌跡與之對應。多個初始條件下的運動對應多條相軌跡，形成相軌跡簇，而由一簇相軌跡所組成的圖形稱為相平面圖。相平面圖能夠直觀地反映系統(tǒng)在各種初始條件或輸入作用下的運動過程。（8-2-1）8.2.2相軌跡的性質式（8-2-1）可寫為如下形式1.相軌跡的斜率又因

，用其去除上式，可得相軌跡上任意一點

處的斜率為由上式可知，只要在點

處不同時滿足

和

，則相軌跡斜率是一個確定的值，通過該點的相軌跡不可能多于一條，即相軌跡不會在該點相交。這些點是相平面上的普通點。在相軌跡與橫軸的交點處，由于

，除去

的點外，相軌跡在該點處的斜率為

，即相軌跡垂直穿過橫軸。2.相軌跡的奇點在相平面上同時滿足

和

的點處，相軌跡的斜率為即相軌跡的斜率形式不定，這樣性質的點稱為奇點。由于相軌跡在奇點處的切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點處可以按任意方向趨近或離開奇點，因此在奇點處，多條相軌跡相交。由奇點定義可知，奇點一定位于相平面的橫軸上。在奇點處，

和

，

表明系統(tǒng)運動的速度和加速度同時為零，系統(tǒng)不再發(fā)生運動，處于平衡狀態(tài)，故奇點亦稱為平衡點。3.相軌跡的運動方向在相平面的上半平面，由于

，則

x隨

t的增大而增加，相軌跡的走向是由左向右的；相反，在相平面的下半平面，由于

，則x隨

t的增大而減小，相軌跡的走向是由右向左的。8.2.3相軌跡的繪制相平面法是一種圖解法，圖解的關鍵是繪制相軌跡。這里介紹兩種繪制相軌跡的方法，即解析法和等傾線法。1.解析法

當描述系統(tǒng)的微分方程比較簡單時，可以通過積分法，直接由微分方程獲得和的解析關系式，進而繪制系統(tǒng)的相軌跡。

例8-2已知某系統(tǒng)自由運動的微分方程為

，若初始條為

，和

，試確定系統(tǒng)自由運動的相軌跡。解：由微分方程可得可寫成兩邊積分可得整理得顯然，該系統(tǒng)自由運動的相軌跡為以坐標原點為圓心，以

為半徑的圓，如圖8-2-1所示。圖中箭頭表示相軌跡的運動方向。等傾線法是繪制系統(tǒng)相軌跡的一種圖解方法。具體做法是先確定相軌跡的等傾線，進而繪制出相軌跡的切線方向場，結合系統(tǒng)初始條件，沿方向場逐步繪制相軌跡。2.等傾線法設相平面上某點處的的相軌跡斜率為令

等于某一常數(shù)

，得等傾線方程為由該方程可在相平面上作出一條曲線，稱為等傾線。當相軌跡經過該等傾線上任一點時，其切線的斜率等于

。取

為若干不同的常數(shù)，由上式即可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點處作斜率為

的短直線，則構成相軌跡的切線方向場，沿方向場畫連續(xù)曲線就可以繪制出相軌跡。解：由微分方程可得例8-3設某二階系統(tǒng)的微分方程為

，試利用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。令

，可得等傾線方程為當

取不同值時，可畫出等傾線以及等傾線上對應的小線段如圖8-2-2所示。若給定的初始狀態(tài)為A點，從

A點起順時針把各小線段光滑地連接起來，就得到了從

A點出發(fā)的一條特定的相軌跡。

在使用等傾線法繪制相軌跡時，坐標軸

x和

應選取相同的比例尺，以便根據(jù)等傾線斜率準確繪制等傾線上一點的相軌跡切線。一般地，等傾線分布越密，所做的相軌跡越準確。但隨所取等傾線的增加，繪圖工作量增加，同時也使作圖產生的積累誤差增大。8.2.4二階線性系統(tǒng)的相軌跡設描述二階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程為可得根據(jù)系統(tǒng)特征方程根的分布特點，分下述幾種情況討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡。（8-2-5）1.無阻尼運動特征方程的根為一對共軛純虛根

，系統(tǒng)的自由運動為等幅正弦振蕩形式。則兩邊積分，可得相軌跡方程式中，

為由初始條件

和

決定的常數(shù)。系統(tǒng)無阻尼運動時的相平面圖如圖8-2-3所示，其為一簇同心的橢圓，每一個橢圓相當于一個簡諧振動。坐標原點為奇點，這樣的奇點通常稱為中心點。其中2.欠阻尼運動特征方程的根為一對具有負實部的共軛復根

，系統(tǒng)的自由運動為衰減振蕩形式。通過求取方程(8-2-5)的解可得系統(tǒng)欠阻尼運動時的相平面圖如圖8-2-4所示，其為一簇收斂的對數(shù)螺旋線。坐標原點為奇點，這種奇點稱為穩(wěn)定的焦點。其中3.過阻尼運動特征方程的根為兩個互異的負實根

，系統(tǒng)的自由運動為非振蕩衰減形式。通過求取方程（8-2-5）的解可得系統(tǒng)過阻尼運動時的相平面圖如圖8-2-5所示，其為一簇通過原點的高次“拋物線”。坐標原點為奇點，這種奇點稱為穩(wěn)定的節(jié)點。圖8-2-5系統(tǒng)過阻尼運動時的相平面圖4.負阻尼運動當

時，特征方程的根為一對具有正實部的共軛復根，系統(tǒng)的自由運動為振蕩發(fā)散形式，相平面圖如圖8-2-6所示，其為一簇發(fā)散的對數(shù)螺旋線，相應的奇點稱為不穩(wěn)定的焦點。當

時，特征方程的根為兩個正實根，系統(tǒng)的自由運動為非振蕩發(fā)散狀態(tài)，相平面圖如圖8-2-7所示，其為發(fā)散的拋物線簇，相應奇點稱為不穩(wěn)定的節(jié)點。圖8-2-6

時的相平面圖圖8-2-7

時的相平面圖另外，若系統(tǒng)極點

s1和

s2為兩個符號相反的實根，系統(tǒng)的自由響應呈現(xiàn)非振蕩發(fā)散狀態(tài)，對應的相軌跡是一簇雙曲線，相應奇點稱為鞍點，是不穩(wěn)定的平衡點。圖8-2-8系統(tǒng)的相平面圖對于非線性系統(tǒng)的各個平衡點，若描述非線性過程的非線性函數(shù)解析，可在平衡點附近作增量線性化處理，即對非線性微分方程兩端的各非線性函數(shù)作泰勒級數(shù)展開，并取一次項近似，獲得平衡點處的增量線性微分方程。然后基于線性系統(tǒng)特征根的分布，確定奇點的類型，進而確定平衡點附近相軌跡的運動形式。解：由微分方程可得令

，求得系統(tǒng)的兩個奇點為例8-4已知非線性系統(tǒng)的微分方程為

，試求系統(tǒng)的奇點及其類型，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。奇點

處的一階偏導數(shù)及增量線性化方程為特征根為

，是一對具有負實部的共軛復根，故奇點

為穩(wěn)定焦點。奇點

處的一階偏導數(shù)及增量線性化方程為特征根為

，

是兩個相異的實根，故奇點

為鞍點。根據(jù)奇點的位置和類型，作出該系統(tǒng)的相平面圖如圖8-2-8所示。相交于鞍點

的兩條特殊相軌跡稱為奇線，它們將相平面分成兩個不同的區(qū)域。如果初始點位于圖中的陰影區(qū)域內，則其相軌跡將收斂于坐標原點，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果初始點落在陰影區(qū)域的外部，則其相軌跡會趨于無窮遠，表示相應的系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可見，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性確實與其初始條件有關。8.2.5極限環(huán)極限環(huán)是非線性系統(tǒng)在相平面上的一條封閉的特殊相軌跡，它將相平面劃分為內部平面和外部平面兩部分，相軌跡不能從環(huán)內穿越極限環(huán)進入環(huán)外，或者相反。根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的運動特點，可將極限環(huán)分為穩(wěn)定的極限環(huán)、不穩(wěn)定的極限環(huán)和半穩(wěn)定的極限環(huán)，分別如圖8-2-9所示。當時間

t

趨于無窮時，起始于極限環(huán)內部和外部的相軌跡都逐漸卷向極限環(huán)，這樣的極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖8-2-9（a）所示。當任何微小擾動使系統(tǒng)的狀態(tài)離開極限環(huán)后，最終仍會回到這個極限環(huán)。該極限環(huán)所表示的周期運動是穩(wěn)定的，對應系統(tǒng)的自激振蕩。1.穩(wěn)定的極限環(huán)當時間

t

趨于無窮時，起始于極限環(huán)內部和外部的相軌跡都逐漸卷離極限環(huán)，這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖8-2-9（b）所示。任何微小擾動使系統(tǒng)的運動或者收斂于環(huán)內的奇點或者發(fā)散至無窮，極限環(huán)所表示的周期運動是不穩(wěn)定的。2.不穩(wěn)定的極限環(huán)當時間

t

趨于無窮時，起始于極限環(huán)內（外）部的相軌跡卷向極限環(huán)，而起始于極限環(huán)外（內）部的相軌跡卷離極限環(huán)，這樣的極限環(huán)叫做半穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖8-2-9（c）和（d）所示。具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)不會產生自激振蕩，系統(tǒng)的運動或者趨于發(fā)散（見圖8-2-9（c））或者趨于收斂（見圖8-2-9（d））。3.半穩(wěn)定的極限環(huán)(a)(b)(c)(d)圖8-2-9不同類型的極限環(huán)應當指出，不是相平面內所有的封閉曲線都是極限環(huán)。在無阻尼的二階線性系統(tǒng)中，其相平面圖是一簇連續(xù)的封閉曲線，這類閉合曲線不是極限環(huán)，因為它們不是孤立的，在任何特定的封閉曲線鄰近，仍存在著封閉曲線。而極限環(huán)是相互孤立的，在任何極限環(huán)的鄰近都不可能有其他的極限環(huán)。8.2.6非線性控制系統(tǒng)的相平面分析

許多非線性控制系統(tǒng)所含有的非線性特性是分段線性的，用相平面法分析這類系統(tǒng)時，一般將非線性元件的特性作分段線性化處理，即把整個相平面分成若干個線性區(qū)域，在各線性區(qū)域內，分別用線性微分方程來描述，然后繪出各線性區(qū)域的相平面圖，最后將各區(qū)域的邊界線上（邊界線又稱相軌跡的開關線）的相軌跡銜接成連續(xù)的曲線，即可獲得系統(tǒng)的相平面圖。1.具有死區(qū)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)具有死區(qū)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)結構圖如圖8-2-10所示。其中

為反饋網絡，輸入

。（1）單位反饋情況當反饋網絡

時，誤差

。根據(jù)圖8-2-10，可列寫系統(tǒng)的微分方程為可得取

和

為相坐標，相平面以直線

為界被分成三個不同的區(qū)域，稱

為相軌跡的開關線。在

的區(qū)域內，系統(tǒng)方程為求導，可得若初始條件為

且

，上式的解為當

時有當

時可解出可得當

時有當

時有在

的區(qū)域內，系統(tǒng)方程為此時系統(tǒng)的相軌跡為一簇斜率為

的直線，其方程為在

的區(qū)域內，系統(tǒng)方程為將上述三個區(qū)域的相軌跡銜接合并，就可以得到具有死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖如圖8-2-11所示。圖8-2-11

時，具有死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖由圖8-2-11可見，在

開關線處，相軌跡發(fā)生了轉換，表明繼電特性由一種工作狀態(tài)轉換為另一種工作狀態(tài)。以圖中由

出發(fā)的相軌跡為例，該條相軌跡經過

終止于

點，在

和

處，繼電器的工作狀態(tài)均發(fā)生了轉換。

點處取

c最大值。圖中

，

是一段相軌跡的終止線段，稱為平衡段，它上面每一點都對應于系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。（2）速度反饋情況系統(tǒng)相軌跡方程可以分為下面幾種情況討論。當反饋網絡

時，誤差

。該系統(tǒng)的微分方程為①當

時若

，則

；若

，則

。若

，則

；若

，則

。②當

時，則③當

時系統(tǒng)開關線方程為

和

。由此可畫出具有速度反饋的死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖如圖8-2-12所示。圖8-2-12具有速度反饋的死區(qū)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖將圖8-2-12與圖8-2-11進行比較可以看出，系統(tǒng)相軌跡的開關線發(fā)生改變。未接入速度反饋時，開關線為通過

的兩條與

c軸垂直的直線，接入速度反饋后，這兩條開關線分別繞

c軸上

的點逆時針方向轉了一個角度

，由于開關線逆時針方向轉動，相軌跡提前進行轉換，這樣就使得自由運動的超調量減小，調節(jié)時間縮短，系統(tǒng)的性能得到改善。2.具有變增益特性的非線性控制系統(tǒng)具有變增益特性的非線性控制系統(tǒng)，其結構圖和變增益特性如圖8-2-13所示，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零?？傻迷撓到y(tǒng)的微分方程為取

為相坐標，系統(tǒng)的開關線

將相平面分成三個區(qū)域。下面討論在階躍輸入和斜坡輸入兩種情況下系統(tǒng)的相軌跡。（1）階躍輸入

情況當

時，有

，系統(tǒng)的微分方程為相應系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)特征根為若

，

，在區(qū)域

和

內，特征根為一對具有負實部的共軛復根，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，奇點

為穩(wěn)定的焦點，相應的相軌跡為收斂的對數(shù)螺旋線；在區(qū)域

內，特征根為兩個不相等的負實根，系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)，奇點

為穩(wěn)定的節(jié)點，相應的相軌跡為收斂的拋物線。繪出階躍輸入下系統(tǒng)誤差信號的相軌跡如圖8-2-14所示。相軌跡的起點A由初始條件

決定，相軌跡依次通過

BCDEF最終收斂于穩(wěn)定節(jié)點P2(0,0)，其橫坐標即為穩(wěn)態(tài)誤差，說明在階躍信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，與線性放大器時的情況相同。以上分析表明，在這種情況下，引入變增益線性放大器不但不會增加階躍響應的穩(wěn)態(tài)誤差，還加快了系統(tǒng)誤差響應的收斂速度，改善了系統(tǒng)性能。圖8-2-14階躍輸入下的相軌跡（2）斜坡輸入

的情況當

時，有

，

系統(tǒng)的微分方程為求得不同區(qū)域內系統(tǒng)的奇點為

和

，系統(tǒng)在奇點處的增量線性化方程為與階躍輸入相比，斜坡信號作為輸入時，系統(tǒng)相平面的開關線不變，奇點的位置發(fā)生變化。若

，

，奇點

為穩(wěn)定的焦點，奇點

為穩(wěn)定的節(jié)點。由于

，所以奇點P2總在P1的右邊。圖8-2-15表示了

而

時誤差信號的相軌跡。相軌跡的起點

A由初始條件

所決定，相軌跡經過B點最終到達P2點，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為OP2。圖8-2-15

且

時的相軌跡圖8-2-16表示了

而

時誤差信號的相軌跡。相軌跡的起點A由

所決定，相軌跡經過點BCDE最終趨于

，誤差信號表現(xiàn)為振蕩的特性，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為

。圖8-2-16

且

的相軌跡圖8-2-17表示了

而

時誤差信號的相軌跡。相軌跡起點A由初始條件

所決定，它經過

BCD最終趨向于

P1

點，穩(wěn)態(tài)誤差等于OP1

。圖8-2-17

且

時的相軌跡

綜上分析表明，非線性控制系統(tǒng)的輸入信號形式、大小不同時，響應曲線可以是非周期形式或振蕩形式。8.2.7MATLAB實現(xiàn)利用MATLAB繪制系統(tǒng)的相軌跡，可以采用編程方法，也可以采用Simulink仿真方法。1.編程方法繪制相軌跡的實質是求解微分方程的解。在MATLAB中提供了求解微分方程數(shù)值解的常用函數(shù)ode45，它是一種變步長的龍歌-庫塔4/5階算法，其調用格式如下。[t,y]=ode45(’fun’,t,y0)%fun為一個自定義的M文件函數(shù)名；參數(shù)t為由初始時間和終止時間構成的向量；參數(shù)y0為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，其默認值是一個空矩陣。函數(shù)調用后，將返回系統(tǒng)的時間向量t和狀態(tài)變量y。例8-5已知二階非線性微分方程為

，設初始條件為

，試用MATLAB繪制系統(tǒng)的相軌跡圖及時間響應曲線。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=0:0.01:80;x0=[50]';[t,x]=ode45('test1',t,x0);subplot(1,2,1);plot(x(:,1),x(:,2));gridsubplot(1,2,2);plot(t,x(:,1));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)')（a）系統(tǒng)的相軌跡圖（b）系統(tǒng)的時間響應曲線functiondx=test1(t,x)dx=[x(2);(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];%調用函數(shù)運行結果如圖8-2-18所示，由圖可見系統(tǒng)相軌跡為一個穩(wěn)定的極限環(huán)，對應時間響應為等幅振蕩。圖8-2-18運行結果解：描述系統(tǒng)的微分方程為例8-6設具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)如圖8-2-19所示，已知

，試用MATLAB繪制系統(tǒng)的相軌跡圖及相應的時間響應曲線。MATLAB程序如下。clc;clear[t,c]=ode45('text2',[0,30],[-3,0]);figure(1)plot(c(:,1),c(:,2));gridfigure(2)plot(t,c(:,1));grid;xlabel('t(s)');ylabel('c(t)')%調用函數(shù)functiondc=text2(t,c)dcl=c(2);if(c(1)<-2)dc2=2-c(2);elseif(abs(c(1))<2)dc2=-c(1)-c(2);elsedc2=-2-c(2);enddc=[dcldc2]';運行該程序，可得相軌跡圖和時間響應曲線分別如圖8-2-20和8-2-21所示。由圖可見，相軌跡為收斂的螺旋線，系統(tǒng)的奇點為穩(wěn)定的焦點，系統(tǒng)振蕩收斂。圖8-2-20系統(tǒng)的相軌跡圖圖8-2-21系統(tǒng)的時間響應曲線2.Simulink仿真方法例8-7具有理想繼電特性的非線性控制系統(tǒng)如圖8-2-22所示，當系統(tǒng)初始狀態(tài)為0，輸入

時，試繪制系統(tǒng)的相軌跡圖和階躍響應曲線。解：首先在Simulink環(huán)境下建立系統(tǒng)仿真模型如圖8-2-23所示，然后依據(jù)題意對各模塊進行參數(shù)設置如圖8-2-24所示，最后仿真運行，以

為相坐標的相軌跡通過XYGraph輸出，階躍響應曲線通過Scope輸出，仿真結果如圖8-2-25所示。由仿真結果可知，系統(tǒng)振蕩收斂，系統(tǒng)的奇點為穩(wěn)定的焦點。圖8-2-23系統(tǒng)仿真模型（a）非線性環(huán)節(jié)參數(shù)設置

（b）二維圖形顯示模塊參數(shù)設置圖8-2-23系統(tǒng)仿真模型圖8-2-25仿真結果（a）相軌跡圖

（b）階躍響應曲線8.3描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是達尼爾于1940年提出的非線性系統(tǒng)分析方法。該方法主要用來分析在沒有輸入信號作用下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩問題。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，但具有一定的近似性，并且只能用來研究系統(tǒng)的頻率響應特性，不能給出時間響應的確切信息。8.3.1描述函數(shù)的概念設非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性為當輸入量為正弦信號

時，輸出量

一般都是非正弦周期信號，將其展開成傅里葉級數(shù)為式中，A0為直流分量，An和

Bn為傅里葉系數(shù)，

為第

n次諧波分量，且有該式表明，非線性環(huán)節(jié)的正弦響應可近似為一次諧波分量，具有與線性環(huán)節(jié)類似的頻率響應形式。若

且

當時，

均很小，則仿照線性系統(tǒng)頻率特性的概念，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)定義為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)正弦響應中一次諧波分量與輸入正弦信號的復數(shù)比，用

表示，其數(shù)學表達式為顯然，描述函數(shù)是輸入正弦信號幅值

X的函數(shù)。由于在描述函數(shù)的定義中，只考慮了非線性環(huán)節(jié)輸出中的一次諧波分量，而忽略了高次諧波的影響，因此這種方法也被稱為諧波線性化方法。解：例8-8設某非線性元件的特性為,求該非線性元件的描述函數(shù)。由于非線性特性是單值奇對稱的，因而

是奇函數(shù),故

，

，

。而因此非線性元件的描述函數(shù)為8.3.2典型非線性特性的描述函數(shù)1.死區(qū)特性的描述函數(shù)

式中，

是死區(qū)寬度，K為死區(qū)外直線的斜率。死區(qū)特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-1所示。輸出的數(shù)學表達式為由于死區(qū)特性是單值奇對稱的，所以

，

，

。由圖8-3-1可知

，故

，于是可求出

B1為死區(qū)特性的描述函數(shù)為由式可知，死區(qū)特性的描述函數(shù)是一個與輸入幅值有關的實函數(shù)。當輸入幅值

X很大或死區(qū)寬度

很小時，

，

，可認為描述函數(shù)等于線性段的斜率，死區(qū)的影響可以忽略不計。2.飽和特性的描述函數(shù)式中，a為線性區(qū)寬度；K為線性區(qū)的斜率。飽和特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-2所示。輸出的數(shù)學表達式為由于飽和特性是單值奇對稱的，所以

，

，

。由圖8-3-2可知

，故

，于是可求出

B1為飽和特性的描述函數(shù)為由式可知，飽和特性的描述函數(shù)是一個與輸入幅值有關的實函數(shù)。3.間隙特性的描述函數(shù)間隙特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-3所示。輸出的數(shù)學表達式為式中，

由于間隙特性是多值函數(shù)，在正弦信號作用下的輸出

y(t)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。故須分別求

A1和

B1為間隙特性的描述函數(shù)為由式可知，間隙特性的描述函數(shù)是一個與輸入幅值有關的復函數(shù)。很明顯，對于一次諧波，間隙非線性特性會引起相角滯后。4.繼電特性的描述函數(shù)式中，M為繼電元件的輸出值。具有滯環(huán)和死區(qū)的繼電特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-4所示。輸出的數(shù)學表達式為由圖可知，且

，因此可求出分別為由于具有滯環(huán)和死區(qū)的繼電特性是多值函數(shù)，在正弦信號作用下的輸出

y(t)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。故須分別求

A1和

B1為因此繼電特性的描述函數(shù)為式中，當參數(shù)

h

和

m

取不同值時，得到幾種特殊形式的繼電特性描述函數(shù)。(1)若

h=0，則可得兩位置理想繼電特性的描述函數(shù)為(2)若

m=1，則可得三位置死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為(3)若

m=-1，則可得具有滯環(huán)的兩位置繼電特性的描述函數(shù)為8.3.3非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法如前所述，非線性元件的描述函數(shù)是線性系統(tǒng)頻率特性概念的一種延伸和推廣。利用描述函數(shù)的概念，在一定條件下可以將非線性系統(tǒng)近似等效為一個線性系統(tǒng)，并可借用線性系統(tǒng)的頻域法對非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩進行分析。1.

描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的應用條件應用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時，要求系統(tǒng)滿足以下假設條件。(1)對系統(tǒng)結構的要求。非線性系統(tǒng)的結構可以簡化為一個非線性環(huán)節(jié)

和一個線性部分

閉環(huán)連接的典型結構形式，如圖8-3-5所示。(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是奇對稱的，這樣能夠保證非線性特性在正弦信號作用下輸出的直流分量

，而且

中一次諧波分量幅值占優(yōu)。(3)線性部分具有較好的低通濾波性能。當非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號時，實際輸出必定含有高次諧波分量，經線性部分的低通濾波特性，高次諧波分量被大大削弱，閉環(huán)通道內近似只有一次諧波分量流通。線性部分的階次越高，低通濾波性能越好，使用描述函數(shù)法所得結果越準確。欲具有低通濾波性能，線性部分G(s)的極點應位于

s平面的左半平面，即G(s)為最小相位環(huán)節(jié)。

若非線性系統(tǒng)滿足以上三個假設條件，則非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)可以等效為一個具有復變增益的比例環(huán)節(jié)，非線性系統(tǒng)經過諧波線性化處理后變成一個等效的線性系統(tǒng)，就可以應用線性系統(tǒng)理論中的頻率穩(wěn)定判據(jù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析對于圖8-3-5所示的典型非線性系統(tǒng)，如果非線性特性的描述函數(shù)是

，線性部分的頻率特性是

，可以寫出閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為即式中，

稱為非線性特性的負倒描述函數(shù)。在復平面上可以繪制出

隨

X變化而變化的曲線，即負倒描述函數(shù)曲線。

曲線上箭頭表示隨

X增大，

的變化方向。與線性系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)相比，

曲線相當于線性系統(tǒng)中臨界穩(wěn)定點

。只是在非線性系統(tǒng)中，表示臨界情況的不是一個點，而是一條

曲線。這樣可根據(jù)線性系統(tǒng)中的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)來判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其內容如下：若

曲線不包圍

曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若

曲線包圍

曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定；若

曲線與

曲線有交點，對應非線性系統(tǒng)做等幅周期運動，如果該周期運動能夠穩(wěn)定持續(xù)下去，即在外界小擾動作用下使系統(tǒng)偏離該周期運動，而當該擾動消失后，系統(tǒng)的運動仍能恢復原周期運動，則稱為穩(wěn)定的周期運動。穩(wěn)定的周期運動對應系統(tǒng)的自激振蕩。以理想繼電特性為例，其描述函數(shù)為負倒描述函數(shù)為若非線性系統(tǒng)的線性部分G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，這時

曲線將

曲線完全包圍，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定；若

G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，此時

曲線沒有包圍

曲線，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，此時

曲線與

曲線有交點，對應系統(tǒng)存在周期運動，若周期運動能穩(wěn)定的持續(xù)下去，便是系統(tǒng)的自激振蕩。3.非線性系統(tǒng)的自激振蕩或若

曲線與

曲線有交點，則在交點處必