機(jī)器學(xué)習(xí)與復(fù)雜系統(tǒng)

機(jī)器學(xué)習(xí)與復(fù)雜系統(tǒng)1

目錄

第?部分復(fù)雜性

1復(fù)雜系統(tǒng)

2用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)看世界經(jīng)濟(jì)（閱讀難度★）

3風(fēng)險(xiǎn)管理策略之復(fù)雜科學(xué)視角

4從物理角度看復(fù)雜

第二部分機(jī)器學(xué)習(xí)

5白話機(jī)器學(xué)習(xí)（閱讀難度★）

6淺談貝葉斯分析

7簡(jiǎn)單貝葉斯分類(lèi)器（閱讀難度★）

8決策樹(shù)方法（閱讀難度★★）

9感知機(jī)：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)（閱讀難度★★★）

10降維：應(yīng)對(duì)復(fù)雜的通用武器（閱讀難度★）

第三部分神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

11神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不神秘

12CNN的幾人關(guān)鍵詞（閱讀難度★★★）

13時(shí)間序列與RNN

14會(huì)遺忘的呻經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（閱讀難度★★★）

15跟著AlphaGo理解深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)框架（閱讀難度★★★）

16從阿爾法元看強(qiáng)化學(xué)習(xí)的更廣闊潛力

第四部分宇宙間最復(fù)雜的就是我們的大腦

17深層視覺(jué)信息的編碼機(jī)制（閱讀難度★）

18大腦的自由能假說(shuō)一一兼論認(rèn)知科學(xué)與機(jī)器學(xué)習(xí)（閱讀難度★★）

19大腦中的支持向量機(jī)（閱讀難度★★★）

20機(jī)器學(xué)習(xí)是如何巧妙理解我們大腦的工作原理的（閱讀難度★★）

21大腦經(jīng)濟(jì)學(xué)（閱讀難度★）

22人工智能vs人類(lèi)智能（閱讀難度★★）

第五部分人工智能應(yīng)用談

23人工智能會(huì)取代藝術(shù)家的工作嗎

24機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)心理疾病

25人機(jī)協(xié)作決策的兩種方式

26小數(shù)據(jù)機(jī)器學(xué)習(xí)

27用深度學(xué)習(xí)玩圖像的七重關(guān)卜

28深度學(xué)習(xí)助力基因科技

29機(jī)器學(xué)習(xí)對(duì)戰(zhàn)復(fù)雜系統(tǒng)

第一部分復(fù)雜性

1復(fù)雜系統(tǒng)

何為復(fù)雜（閱讀難度★）

復(fù)雜系統(tǒng)用來(lái)闡述模式的產(chǎn)生?，F(xiàn)實(shí)生活中模式無(wú)處不在，例如，同類(lèi)型的商店往往

比鄰而居；分久必合，合久必分，熱戀過(guò)后不是分手就是回歸平淡。甚至那些我門(mén)不認(rèn)為

是模式的，比如生命過(guò)程本身，其實(shí)都可以看作自然界中模式涌現(xiàn)的過(guò)程。這些模式往往

可以歸結(jié)為組成系統(tǒng)的個(gè)體通過(guò)簡(jiǎn)單相互作用達(dá)到某種非同尋常的集體的現(xiàn)象，復(fù)雜系統(tǒng)

用動(dòng)力學(xué)的思想闡述了這一過(guò)程的發(fā)生。

（1）系統(tǒng)可以被分解為比自身簡(jiǎn)單許多的個(gè)體。市場(chǎng)T人，生物-細(xì)胞。但是個(gè)體

和系統(tǒng)之間卻呈現(xiàn)了完全不同的屬性，用完全不同的特征描述。比如，人具有的生物屬性

是吃喝拉撒，而由很多人組成的社會(huì)系統(tǒng)，就具有了國(guó)家、政府、交易市場(chǎng)等這些特征。

（2）個(gè)體之間的相互作用反過(guò)來(lái)受到系統(tǒng)制約。比如，人與人交換物品，需要依靠

共同的媒介一一錢(qián)，而依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)是大量交易行為中涌現(xiàn)的價(jià)格。這些制約因素往往是在

個(gè)體的相互作用中自發(fā)涌現(xiàn)的。這些制約可以看作一種宏觀秩序或者組織，使得相隔遙遠(yuǎn)

的個(gè)體通過(guò)它聯(lián)系起來(lái)。

一些非常簡(jiǎn)單的個(gè)體之間的相互作用規(guī)則就可以誕生出非常復(fù)雜的宏觀范式，這一現(xiàn)

象最早受到物理學(xué)的啟發(fā)。一個(gè)里程碑式的模型被稱(chēng)為ising模型，這個(gè)模型利用不同條

件下簡(jiǎn)單晶體的演變闡述了最復(fù)雜的物理問(wèn)題一一相變，在后面會(huì)繼續(xù)介紹。

（3）系統(tǒng)與外界環(huán)境的作用可以用信息的流入和流出描述。復(fù)雜系統(tǒng)在外界信息發(fā)

生變化時(shí)的反應(yīng)是描述復(fù)雜系統(tǒng)屬性的根本，很多能夠穩(wěn)定存在的復(fù)雜系統(tǒng)都具有相對(duì)外

界環(huán)境自發(fā)調(diào)整自己結(jié)構(gòu)的能力。

最典型的復(fù)雜系統(tǒng)的例子就是股市，大家都想預(yù)測(cè)股票價(jià)格，但是很難預(yù)測(cè)，這是因

為股票價(jià)格本身即是大量交易者買(mǎi)賣(mài)之間涌現(xiàn)的一種宏觀秩序，它與公司的業(yè)績(jī)并不明顯

相關(guān)，公司業(yè)績(jī)對(duì)股市的影響更像是進(jìn)入交易市場(chǎng)這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的一個(gè)外部信息，外部信

息影響交易者的心理但不決定他們的行為，最終股票的價(jià)格是由交易者間的相互作用（博

弈）決定的。如果要研究股市，更多的是研究如何根據(jù)交易者所透露的蛛絲馬跡推測(cè)其可

能的行為。即使你能夠跟蹤每一位交易者，也由于上述幾個(gè)原因，股市依然很難預(yù)測(cè)。

金融市場(chǎng)的不確定性的根本來(lái)自于復(fù)雜系統(tǒng)，這使得我們常常低估風(fēng)險(xiǎn)。比如次貸危

機(jī)，我們依據(jù)的假設(shè)很多時(shí)候是把市場(chǎng)看作獨(dú)立作用的部分，每個(gè)部分的風(fēng)險(xiǎn)是獨(dú)立的。

事實(shí)上市場(chǎng)的每一部分并沒(méi)有獨(dú)立，正是它們之間的互相關(guān)聯(lián)導(dǎo)致次貸危機(jī)的。

為何復(fù)雜（閱讀難度

復(fù)雜系統(tǒng)的復(fù)雜，是由哪些因素影響造成的呢？

作用（關(guān)聯(lián)）

不是單體的特性，而是單體是如何相互關(guān)聯(lián)形成組織的。因?yàn)檫@類(lèi)系統(tǒng)共同的特點(diǎn)是

長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)。關(guān)聯(lián)往往導(dǎo)致1+1>2或1+1V2,或稱(chēng)為非線性。市場(chǎng)中出現(xiàn)的價(jià)格是受網(wǎng)

絡(luò)相互作用導(dǎo)致的，我們都受到鄰居的影響（HerdingEffect）,相互作用非常重要。比

如，神經(jīng)元就是通過(guò)相互作用構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)處理信號(hào)的。

相互作用使得物理系統(tǒng)無(wú)法輕松地由整體拆成部分，非線性即其根源，那么還有什么

方法可以解決這個(gè)問(wèn)題？

一旦這種相互作用的維度增加，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的現(xiàn)象，即混沌?；煦缯f(shuō)的是由于系

統(tǒng)內(nèi)自由維度的增加，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)屬性不再歸于閉合軌道，而是開(kāi)放或成為不可預(yù)測(cè)的

軌跡，初始條件的輕微變化在未來(lái)的影響遠(yuǎn)未可知，想想真是脊背發(fā)涼。

相互作用導(dǎo)致協(xié)同效應(yīng)。兩個(gè)人在一起可以是1+1>2,也可以是1+1V2,但基本不

會(huì)是1+1=2,前兩者可以看作非線性的體現(xiàn)。比如為什么會(huì)有公司，那一定是其種合作

導(dǎo)致1+1大于2的效應(yīng)使得公司可以產(chǎn)生。

反饋

復(fù)雜系統(tǒng)多用于描述一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間變化過(guò)程，比如市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隨時(shí)

間的活動(dòng)等。研究這個(gè)時(shí)間變化過(guò)程，往往要考慮此刻的結(jié)果對(duì)下一刻系統(tǒng)輸出的影響。

股市的反身性就是反饋的一種。

反饋分為正反饋和負(fù)反饋兩種，負(fù)反饋導(dǎo)致定點(diǎn)平衡態(tài)，正反饋導(dǎo)致不穩(wěn)定性，如雪

崩、股市崩盤(pán)等。在所有復(fù)雜系統(tǒng)中，都有正反饋和負(fù)反饋兩種狀態(tài)。反饋帶有回路的概

念。一個(gè)單元通過(guò)相互作用傳遞給另一個(gè)單元，反過(guò)來(lái)另一個(gè)單元又可以把信息傳遞回來(lái)。

反饋往往是指此刻活動(dòng)對(duì)下一刻活動(dòng)的影響，比如市場(chǎng)價(jià)格。市場(chǎng)價(jià)格永遠(yuǎn)圍繞均衡波動(dòng),

價(jià)格高，導(dǎo)致市場(chǎng)買(mǎi)的人變少，買(mǎi)的人少后乂導(dǎo)致價(jià)格降低，這是典型的負(fù)反饋。負(fù)反饋

把系統(tǒng)維持在穩(wěn)定位置。dx=-x,這是負(fù)反饋。

相變

這是復(fù)雜系統(tǒng)的第三個(gè)重要特質(zhì)，而且是組織形成的核心。當(dāng)系統(tǒng)主導(dǎo)反饋的性質(zhì)發(fā)

生變化時(shí)，則經(jīng)歷一個(gè)相變。

相變?cè)谧匀唤绾蜕鐣?huì)中無(wú)處不在，自然界中的相變既包括冰和水之間的轉(zhuǎn)化，也包括

磁鐵從一種相到另一種相的變化。物理中相變的典型例子是磁鐵的ising模型。

磁鐵這個(gè)東西，并非總具有磁性。那么具有磁性和不具有磁性的磁鐵有什么區(qū)別呢？

磁鐵有兩個(gè)相，一個(gè)是組織成分均勻一致（有序）的狀態(tài)，另一個(gè)是無(wú)序而混亂的狀

態(tài)。雖然它們都是由鐵原子構(gòu)成的，但鐵原子只有在有序排序時(shí)才會(huì)產(chǎn)生磁性。當(dāng)需要對(duì)

外發(fā)揮一種作用時(shí)，就需要齊心合力，而無(wú)序的鐵原子使得每個(gè)磁針的磁性相互抵銷(xiāo)了。

這里就建立了相的概念。而相變，就是通過(guò)外部變量使得整個(gè)系統(tǒng)從一個(gè)相到達(dá)另一

個(gè)相的過(guò)程。相變理論是復(fù)雜系統(tǒng)研究的重要對(duì)象，我們知道，磁鐵有的有極性，有的沒(méi)

有極性。研究磁鐵極性變化的模型被稱(chēng)為ising模型，說(shuō)的是paramagnetic（無(wú)磁性）到

ferromagnetic（有磁性）的變化。這里影響一個(gè)系統(tǒng)相變的主要因素有兩個(gè)：一個(gè)是端

（無(wú)序性，系統(tǒng)信息的缺失），另一個(gè)是某種趨同的效應(yīng)。

在鐵磁物質(zhì)里，每一個(gè)原子都有極性，平行排列的原子具有指向相同方向的趨勢(shì)，而

埔無(wú)序時(shí)則破壞了這種效應(yīng)，兩種力量互相爭(zhēng)奪。在較高溫度下，牖的作用占主導(dǎo)；而較

低溫度下，有序的趨同的力量占主導(dǎo)。在某個(gè)溫度下，磁體的原子從無(wú)序的狀態(tài)過(guò)渡到完

全有序的狀態(tài)。在完全有序的狀態(tài)下，整個(gè)磁體就顯現(xiàn)出對(duì)外的磁性。

這里，我們可以控制的外部變量就是溫度。溫度越高，端越大。當(dāng)溫度為0時(shí)，系

統(tǒng)自由能最小的狀態(tài)是一致有序的態(tài)，溫度升高，無(wú)序的態(tài)的自由能逐漸減少，直到某個(gè)

點(diǎn)，成為更有優(yōu)勢(shì)的態(tài)。類(lèi)似的還有水到冰的相變，也是在某個(gè)溫度上，無(wú)序和有序交替,

這稱(chēng)為臨界。所謂臨界，就是相變時(shí)候的狀態(tài)，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候最為特別。臨界點(diǎn)上的系統(tǒng)

屬性特別復(fù)雜，統(tǒng)計(jì)上我們經(jīng)常會(huì)看到肥尾分布或類(lèi)似肥尾的分布，這樣的分布無(wú)處不在,

比如股市價(jià)格波動(dòng)、工資分布（帕累托）等。

臨界極為重要，為什么？

因?yàn)橄到y(tǒng)在臨界點(diǎn)上的屬性特別復(fù)雜、豐富且有趣，而且，更重要的是，大部分和我

們息息相關(guān)的系統(tǒng)事實(shí)上都在某種程度上處于臨界態(tài)(或靠近臨界態(tài))，包括大部分的生

物系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。

更多關(guān)于臨界態(tài)的內(nèi)容，可以參考《大自然如何工作》這本書(shū)，知乎上的大V傅渥

成的回答。

“此外，所謂涌現(xiàn)，是在剛才講到的作用、反饋以及自組織臨界基礎(chǔ)上得到的，系統(tǒng)

從微觀到宏觀，性質(zhì)而非數(shù)量上'從零到一'式的改變?！?/p>

最簡(jiǎn)單的例子是路，所謂人走得多了就成了路，森林中交錯(cuò)的小徑是大量人走過(guò)所涌

現(xiàn)出的一種現(xiàn)象。涌現(xiàn)性和相變點(diǎn)也有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，有興趣的讀者可以關(guān)注自組織臨

界(SelfOrganisedCriticality)的理論，去查看更多這個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。

復(fù)雜系統(tǒng)的元素很多，而且元素之間均有相互作用，破好的刻畫(huà)方法就是復(fù)果網(wǎng)絡(luò)。

2用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)看世界經(jīng)濟(jì)（閱讀難度★）

圖2.1描述的是一個(gè)叫作產(chǎn)業(yè)森林的念。產(chǎn)業(yè)森林描述了一個(gè)由種類(lèi)繁多的農(nóng)業(yè)和工

業(yè)產(chǎn)品組成的關(guān)系網(wǎng)。每一個(gè)產(chǎn)業(yè)即網(wǎng)絡(luò)里面的節(jié)點(diǎn)，就像產(chǎn)業(yè)森林里的一棵樹(shù)，例如圖

上標(biāo)出的谷物、采礦業(yè)、電子產(chǎn)品等。這里說(shuō)的是，如果把這些產(chǎn).業(yè)描述成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一

個(gè)點(diǎn)，那么我們會(huì)對(duì)這件事有一個(gè)全新的理解。

如何把產(chǎn)業(yè)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系起來(lái)呢？首先，要做出一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，我們必須有距離和

連接的概念。事實(shí)上，不同產(chǎn)業(yè)之間不是孤立的，這里所說(shuō)的產(chǎn)業(yè)之間的相似度，其實(shí)就

是構(gòu)成它們的技術(shù)或生產(chǎn)資料要素的相似性。我們可以規(guī)定超過(guò)一定相似度閾值的兩個(gè)產(chǎn)

業(yè)就可以被聯(lián)系起來(lái)，這樣，即可得到不同節(jié)點(diǎn)兩兩相連的矩陣，畫(huà)出來(lái)就能得到產(chǎn)業(yè)的

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)圖。

森林中心是高級(jí)工業(yè)品，森林邊緣是農(nóng)產(chǎn)品和原材料等。森林中心樹(shù)木密集，而森林

邊緣樹(shù)木稀疏。值得注意的是，樹(shù)木密集的地方樹(shù)木間也更盤(pán)根錯(cuò)節(jié)（連接密集），而樹(shù)

木稀疏的地方連接也越來(lái)越少。在森林的邊緣，有些樹(shù)木基本就是孤立的，比如說(shuō)奶牛生

產(chǎn)。這個(gè)圖頗像城市的交通圖，市中心路網(wǎng)交錯(cuò)，而到了郊區(qū)的小村，基本就到了路的盡

頭。

水果

圖2.1

這個(gè)網(wǎng)絡(luò)如何理解？

第一，每個(gè)產(chǎn)業(yè)間的連接刻畫(huà)出了兩種產(chǎn)品間在生產(chǎn)過(guò)程中的聯(lián)系，外圍的產(chǎn)品是內(nèi)

側(cè)產(chǎn)品的原材料,當(dāng)然內(nèi)側(cè)產(chǎn)品也可以給外圍產(chǎn)品提供服務(wù)°第二，連線的顏色對(duì)應(yīng)兩種

產(chǎn)品的相似度。何為相似度？這個(gè)概念可用來(lái)刻畫(huà)生產(chǎn)它們時(shí)需要的生產(chǎn)要素的相似性

（如勞動(dòng)、技術(shù)、資本……）。例如，梨和蘋(píng)果的相似度就很高，如果一個(gè)地方適合栽種

梨樹(shù)，那么它也往往適合栽種蘋(píng)果。因?yàn)槔婧吞O(píng)果的生長(zhǎng)要素差不多，同樣的氣候和土壤,

都需要大量勞動(dòng)力投入。節(jié)點(diǎn)的顏色被用以描述產(chǎn)業(yè)的大類(lèi)，比如資本密集型都用藍(lán)色

（圖2.2中的⑦）表示，勞動(dòng)密集型都用藍(lán)色（圖2.2中的⑧）表示。節(jié)點(diǎn)的大小代表

年交易量，如圖2.2所示。

節(jié)點(diǎn)希色（產(chǎn)業(yè)類(lèi)型）

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圖2.2

重新回去看產(chǎn)業(yè)森林的圖，就會(huì)立刻明白，森林的邊緣樹(shù)木稀疏而中心樹(shù)木繁密（樹(shù)

木的間距即產(chǎn)品的相似度，相似度小則間距大，注意樹(shù)木的間距是用顏色表明的，原圖見(jiàn)

下載資源）。邊緣的樹(shù)木果實(shí)稀少（小圓，貿(mào)易量?。?，而中心的樹(shù)木碩果累累（大圓，

貿(mào)易量大），石油產(chǎn)業(yè)除外。

換句話說(shuō)，這張圖對(duì)全球的所有產(chǎn)業(yè)都做了一個(gè)聚類(lèi)，越靠近中心的產(chǎn)業(yè)附加值越高,

邊緣的則與之相反。

這樣一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)究竟有著何種重要意義呢？傳統(tǒng)理論認(rèn)為這樣的一個(gè)結(jié)構(gòu)圖沒(méi)有什

么用，因?yàn)闂l條大道通羅馬，只要經(jīng)濟(jì)在積累，總有機(jī)會(huì)到達(dá)果實(shí)豐碩的森林中心。

而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論則告訴我們一個(gè)完全不同的故事。首先，一個(gè)企業(yè)往往用它所占據(jù)的

較為優(yōu)勢(shì)的產(chǎn)業(yè)來(lái)表示。一個(gè)企業(yè)的發(fā)展，被稱(chēng)作從森林的某些位比向其他位置躍遷的過(guò)

程?？梢园哑髽I(yè)比喻成產(chǎn)業(yè)森林里跳越的猴子，它可以從一棵樹(shù)跳向另一棵樹(shù)（產(chǎn)業(yè)升

級(jí)）。當(dāng)然猴子的目標(biāo)都是朝著果實(shí)豐碩的中心去的。以往的文章往往重視研究猴子，如

果一個(gè)猴子長(zhǎng)期無(wú)法到達(dá)中心，一般認(rèn)為是猴子的問(wèn)題。一個(gè)預(yù)先的假設(shè)是猴子只要跳得

足夠好，總能從一棵樹(shù)跳到另一棵樹(shù)并到達(dá)森林的中心。

下面我們從森林的結(jié)構(gòu)來(lái)闡述為什么有的猴子能夠到達(dá)森林的中心而其他猴子不行，

因?yàn)樯值慕Y(jié)構(gòu)是很重要的制約因素。

網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)至關(guān)重要，因?yàn)橛行┚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，任何一個(gè)猴子經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間都可以到

達(dá)森林的中心；而對(duì)于另一些網(wǎng)絡(luò)，猴子能否到達(dá)中心，則完全取決于它初始所在的區(qū)域,

在某些區(qū)域，即便它有三頭六臂也無(wú)法到達(dá)森林的中心。

前面提到過(guò)，森林的邊緣樹(shù)木如同獨(dú)立的孤島，而中心的樹(shù)木密集（產(chǎn)品相似度大），

如同大陸。猴子的跳躍能力是有限的，猴子從森林外側(cè)向中心跳躍不是一件容易的事情。

當(dāng)猴子所在樹(shù)的周?chē)鷺?shù)木過(guò)少且樹(shù)木間距過(guò)大時(shí)，猴子就無(wú)法跳到下一棵樹(shù)上。森林中心

的猴子可以很輕松地在樹(shù)木之間躍遷并摘取豐美的果實(shí)，而邊緣的猴子則沒(méi)什么選擇。

另外一個(gè)發(fā)人深省的現(xiàn)象是猴子能否進(jìn)入森林的中心和它所在的初始位置以及它選擇

的跳躍方向十分相關(guān)。如果它開(kāi)始所在的位置恰好樹(shù)木間距不太大，而且存在能夠到達(dá)森

林中心的道路，那么它將很有機(jī)會(huì)進(jìn)入中心，反之則很難。即便如此，如果一只猴子沒(méi)有

選擇好方向，不小心跳到了獨(dú)木上，四周沒(méi)有其他樹(shù)，那么它被困在那個(gè)地方的概率就很

大。這里其實(shí)也有不少例子，當(dāng)然只考慮森林的結(jié)構(gòu)肯定是偏頗的，但森林的結(jié)構(gòu)的確是

很多例子背后的隱藏變量。

圖2.3和圖2.4是產(chǎn)業(yè)森林的局部截圖。從圖2.3可以看到，勞動(dòng)密集型工業(yè)（汽車(chē)

制造）和電子產(chǎn)品工業(yè)是一條由森林邊緣通往中心的捷徑，品種繁多，相距很近。從圖

2.4中我們可以看到熱帶作物（咖啡和可可）一直處在森林的邊緣，與森林中心差距較遠(yuǎn)

（僅橡膠與工業(yè)品聯(lián)系較密切），各種熱帶作物間也距離較遠(yuǎn)。

電子產(chǎn)品

圖2.3

圖2.4

3風(fēng)險(xiǎn)管理策略之復(fù)雜科學(xué)視角

黑天鵝效應(yīng)

曾經(jīng)一段時(shí)間，主宰統(tǒng)計(jì)世界的是一個(gè)叫作“高斯分布”的函數(shù)，它的英文“normal”含

有正態(tài)、標(biāo)準(zhǔn)之意，說(shuō)的是決定事物整體性質(zhì)的是它的平均，比如說(shuō)你可以用1米7代

表整個(gè)中國(guó)人的身高?；诟咚狗植嫉母黝?lèi)數(shù)學(xué)工具主宰著龐大的金融帝國(guó)上百年，卻成

為21世紀(jì)初金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)?。這背后的緣由，正是復(fù)雜性主導(dǎo)的黑天鵝效應(yīng)。

在黑天鵝出現(xiàn)之前，天鵝湖里的天鵝都是雪白，你可以想象那種天藍(lán)色的湖面上飛起

千萬(wàn)只白天鵝的感覺(jué)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)看去如同乞力馬扎羅的雪。于是我們把白當(dāng)成天鵝的標(biāo)志，以

趨于100%的概率預(yù)測(cè)天鵝皆白。直到有一天湖面上飛過(guò)一只純黑的天鵝，宛如來(lái)自世外,

但它卻打碎了我們的白天鵝之夢(mèng)。從而我們明白，在生物世界里特例才是本質(zhì)，而不是平

均。特例總會(huì)以比你預(yù)想的還要大的概率出現(xiàn)，而把之前的理論打得粉碎。

經(jīng)典物理的世界是平均數(shù)的世界，細(xì)節(jié)和特例都可以濾掉。但一旦進(jìn)入生物主導(dǎo)的領(lǐng)

域，它們就變成了王道。

在進(jìn)入混亂的生物世界之前，我們先來(lái)看一下高斯定律主宰的“白天鵝之舞”。

高斯定律與大數(shù)定理一一平均的力量

我們經(jīng)常用平均數(shù)表達(dá)事物的總體狀況，對(duì)于做統(tǒng)計(jì)的人，平均數(shù)幾乎成為信仰，我

們往往己經(jīng)忘記了這種信仰背后的基本假設(shè)一一高斯分布，只有在我們統(tǒng)計(jì)的事物呈高斯

分布時(shí)，平均數(shù)才能夠代表事物的屬性。

預(yù)備知識(shí)：加和等于平均。平均數(shù)的運(yùn)算依賴(lài)于把很多的數(shù)據(jù)相加后除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

樣本在平均數(shù)附近的偏差大小用標(biāo)準(zhǔn)差表示。經(jīng)典理論告訴我們，樣本的容量越大，平均

數(shù)就越能代表所研究的群體，圖3.1所示的高斯吊鐘曲線，中間的豎線指代平均數(shù)，底下

的小橫杠標(biāo)注的是標(biāo)準(zhǔn)差。

圖3.1

高斯定律讓我們看到了加法的威力。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件，比如擲骰子，雖然每一次取

得的結(jié)果從1到6完全無(wú)法預(yù)測(cè)，但是如果擲一萬(wàn)次，把每次擲的點(diǎn)數(shù)加起來(lái)就能得到

一個(gè)可以被越來(lái)越精確預(yù)測(cè)的數(shù)。這個(gè)結(jié)果可以被一條高斯曲線描述，它具有兩個(gè)特征量:

平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。平均數(shù)描述總體趨勢(shì)，而標(biāo)準(zhǔn)差則告訴你不確定性的大小。隨著加數(shù)的

增多，標(biāo)準(zhǔn)差在平均數(shù)面前越來(lái)越微不足道，直到可以忽略不計(jì)，或者說(shuō)通過(guò)無(wú)窮加和，

一個(gè)隨機(jī)事件成為確定事件，我們?cè)絹?lái)越精確地得到平均數(shù)。這條法則叫作大數(shù)定理

(LawofLargeNumber),如圖3.2所示。

SOO

450

400

350

300

290

200

150

100

50

0

圖3.2

我們看到隨著樣本總數(shù)N的增加，鐘形曲線越來(lái)越瘦（對(duì)平均數(shù)的偏離減小），想

象一下，當(dāng)N無(wú)限大時(shí)，我們就會(huì)得到一條豎線：代表我們以任意精度都能得到平均數(shù),

不確定性被消除。

大數(shù)定理的威力，在于它使得一個(gè)確定性的世界可以在龐大的不確定性之上產(chǎn)生。就

好比明天太陽(yáng)升起、春天花兒會(huì)開(kāi)這種事，我們知道不發(fā)生的概率幾乎為0,其實(shí)都源于

高斯分布和大數(shù)定理。因?yàn)樘?yáng)升、花兒開(kāi)是組成太陽(yáng)和花兒無(wú)數(shù)的原子和分子共同作用

的結(jié)果，一旦沾上“無(wú)數(shù)”“共同作用”，大數(shù)定理就可以精確地保證事物一定會(huì)發(fā)生。

正態(tài)分布和大數(shù)定理是所有確定性的根源，因?yàn)槲覀兊目梢?jiàn)世界就是無(wú)數(shù)不確定的微

觀因素不斷加和的結(jié)果。

對(duì)于細(xì)節(jié)重要性的啟示：它告訴我們當(dāng)決定事件的因素足夠多、試驗(yàn)的次數(shù)足夠大時(shí),

微小的細(xì)節(jié)不再重要，因?yàn)樗鼈冊(cè)诰蘖康募雍椭斜黄骄袅恕?/p>

不過(guò)不要高興得太早。

高斯定律背后的陷阱

A.細(xì)節(jié)因素要獨(dú)立

看上去有點(diǎn)抽象，其實(shí)說(shuō)的是那些加數(shù)組成事物的要素不能私下暗自溝通，例如，如

果你認(rèn)識(shí)的所有女性私底下申通起來(lái)說(shuō)你很好或很壞，那么你約會(huì)的人的數(shù)量不會(huì)超過(guò)理

想平均數(shù)，因?yàn)樗械呐似鋵?shí)都取得了和你最開(kāi)始約會(huì)對(duì)象一樣的想法，你得到的只是

放大的標(biāo)準(zhǔn)差，你第一次約會(huì)里的隨機(jī)性被放大成為一生的結(jié)果。初始條件的影峋被放大,

正如亞馬遜森林的蝴蝶扇扇翅膀，引起大西洋上的一場(chǎng)風(fēng)暴。

B.時(shí)間平移不變形

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如果你投擲的時(shí)候骰子被人換掉了，變成一個(gè)加了機(jī)關(guān)的般子，每

一面都是一點(diǎn)，而且后面又經(jīng)常被時(shí)不時(shí)地?fù)Q掉，那么你永遠(yuǎn)得不到穩(wěn)定的平均數(shù)。如果

你仍是按照高斯定律做加法，指望最終會(huì)贏得平均數(shù)給定的錢(qián)數(shù)，那么被騙的概率就很人。

大數(shù)定理是我們認(rèn)識(shí)隨機(jī)世界的基礎(chǔ)，它告訴我們確定性如何從偶然性的基礎(chǔ)上浮現(xiàn)。

但是它就如同牛頓第一定律和理想氣體模型，光滑水平面和無(wú)相互作用的基本粒子在真實(shí)

的生物世界如同幻影般不存在，雖然我們的確在某些時(shí)候會(huì)得到一些趨近的情況。

黑天鵝效應(yīng)與幕律分布

高斯定律和大數(shù)定理保駕著莊嚴(yán)的理論物理世界，在這里，好好學(xué)習(xí)就能天天向上，

灰姑娘一定會(huì)遇到王子。但是，黑天鵝還是摧毀了童話。

黑天鵝的木質(zhì)是個(gè)體而總體、細(xì)節(jié)對(duì)全局產(chǎn)生決定性影響。當(dāng)湖面出現(xiàn)一只黑天鵝時(shí),

整個(gè)天鵝群體的屬性就發(fā)生了變化，一個(gè)純白的世界霎時(shí)變成中灰。當(dāng)然，這里更多的是

看到特例的影響。

用高斯的正態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)看，黑天鵝出現(xiàn)的概率本來(lái)可以忽略，因?yàn)槲覀冎耙呀?jīng)統(tǒng)計(jì)

了巨大的白天鵝樣本，但黑天鵝還是出現(xiàn)了，是我們的運(yùn)氣特別不好嗎？錯(cuò)。但錯(cuò)的不是

你，而是正態(tài)分布。

在生物世界里，主導(dǎo)的是幕律分布(PowerLaw),其實(shí)它也正如power的英文原

意，與權(quán)利和財(cái)富有關(guān)(見(jiàn)圖3.3,帕累托分布局部決定整體的象征，MandelbrotSet分

形結(jié)構(gòu)的代表）。塞律分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)潔無(wú)比，不同的察律分布只體現(xiàn)在察指數(shù)的不

同上。它與高斯定律的本質(zhì)不同在于，高斯正態(tài)分布下那些概率小到可忽略的事件，在基

律分布下卻沒(méi)有那么罕見(jiàn)。在累律分布的觀點(diǎn)下，黑天鵝的出現(xiàn)是可以理解的。罕見(jiàn)的黑

天鵝不僅來(lái)到，而且決定著全局。

圖3.3

局部的特征與全局特征具有自相似性，毫律正是它的數(shù)學(xué)表達(dá)。此處由于篇幅所限,

不再繼續(xù)，感興趣的讀者可自行查找資料。

高斯分布與塞律分布的對(duì)比如圖3.4所示。塞律分布最顯著的特征是它的長(zhǎng)尾，表示

那些在高斯分布下的微小概率事件并非那樣罕見(jiàn)。

嚴(yán)重偏離平均值的事件在累律分布下不再是偶然，并且掌控全局。例如，帕累托指出

的社會(huì)財(cái)富的二八定律，20%的富人掌握80%的財(cái)富，這個(gè)少數(shù)贏家通吃(WinnerTake

All)的規(guī)律幾乎統(tǒng)治著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下的各個(gè)領(lǐng)域。還有生態(tài)系統(tǒng)里面的大魚(yú)吃小魚(yú)，魚(yú)的

尺寸也是雅律分布。它們均體現(xiàn)了在這些體系內(nèi)元素間存在的全局關(guān)聯(lián)，你我互吃構(gòu)成的

因果鏈。塞律分布在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的顯現(xiàn)就是帕累托分布。

為什么黑天鵝影響如此之大？現(xiàn)代物理中的相變理論給出了震撼有力的答案。下面用

一個(gè)具體的例子點(diǎn)明一一雪崩。雪崩是山頂大面積的雪體坍塌，本來(lái)要推倒一座雪山幾乎

是不可能的事情，雪崩符合經(jīng)典的黑天鵝事件的定義，按常理幾乎不會(huì)發(fā)生，一旦發(fā)生即

致命。為什么在現(xiàn)實(shí)中我們會(huì)經(jīng)常聽(tīng)到雪崩的事故呢？因?yàn)檠┍赖恼T因與它的影峋相反，

非常的微小，可能是-?粒小石子打到雪山上，或者一個(gè)人在喊話，這些誘因沒(méi)那么罕見(jiàn)。

這些微小因素在絕大多數(shù)情況下都對(duì)雪坡毫無(wú)影響，但是在一種情況下，即雪體的臨界狀

態(tài)，就會(huì)發(fā)生雪崩。

臨界狀態(tài)是一種脆弱的平衡狀態(tài)，維持雪體凝聚在一起的力量和使雪體瓦解的力量幾

乎相等，但是只要天秤稍微傾斜便萬(wàn)劫不復(fù)。你在龐大的雪坡上投一粒微小的石子，石子

的作用力不是被同部的雪體吸收，而是擴(kuò)散到整個(gè)雪體，如同壓死駱駝的最后根稻草，

使平衡整體倒戈。

臨界狀態(tài)使得黑天鵝成為決定性的力量。

雪崩理論的核心是臨界狀態(tài)下細(xì)節(jié)的作用被無(wú)限放大（正反饋）。一個(gè)本來(lái)只限于局

部的小因素在臨界狀態(tài)下擴(kuò)散到全身。雪崩的理論遍布各個(gè)領(lǐng)域，例如地震、股市崩盤(pán)、

金融危機(jī)。

在一場(chǎng)勢(shì)均力敵的戰(zhàn)斗中，任何個(gè)體微小的作用都可以被放大并左右戰(zhàn)局。比如在一

場(chǎng)兩邊力量均等的拔河比賽里，某支隊(duì)伍的一個(gè)成員手機(jī)響了，他一慌神松了口氣，而這

一效應(yīng)又導(dǎo)致慌張情緒在全隊(duì)蔓延，結(jié)果由于一個(gè)手機(jī)鈴響而輸?shù)袅艘粓?chǎng)比賽。所謂丟失

一個(gè)仃子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士;

傷了一位騎士，輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗；輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)帝國(guó)。越是勢(shì)均力敵的高手比

賽，越要拼運(yùn)氣。

生命洪流的本質(zhì)是一種特殊的相變，因此與生物有關(guān)的事情，包括生物的歷史和我們

人類(lèi)的歷史以及我們每個(gè)人的一生，都發(fā)生在臨界狀態(tài)，那個(gè)小小的雪崩的狀態(tài)，那個(gè)不

可預(yù)見(jiàn)的細(xì)節(jié)決定了全局的狀態(tài)。既然明天還活著，黑天鵝就會(huì)起飛。這對(duì)我們?nèi)粘?yīng)對(duì)

風(fēng)險(xiǎn)的策略，具有深刻的啟示。

主動(dòng)應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)（閱讀難度★）

世界如此多變，我將何以應(yīng)對(duì)？

龐大的計(jì)劃有用嗎？No,試錯(cuò)萬(wàn)歲

如果讓你回到過(guò)去重新玩一遍人生，一般人都會(huì)提出我可以怎么樣，那就無(wú)敵了。如

果按你想的那樣來(lái)是否更好，我不確定。但可以確定的是，一定沒(méi)有多少人覺(jué)得H己的生

命是按照一條最優(yōu)軌跡進(jìn)行的。我們的生命過(guò)程就像一個(gè)盲人摸象的過(guò)程，無(wú)論站在哪個(gè)

時(shí)間點(diǎn)，你的信息量都非常有限，根據(jù)非常局部的信息做出最優(yōu)選擇的機(jī)會(huì)幾乎為0。龐

大的世界，復(fù)雜的歷史，我們都捆綁在自己的路徑上，在黑暗里瞎摸。

面對(duì)這種情況，最好的辦法就是不停試錯(cuò)，任何過(guò)度思考和過(guò)度計(jì)劃都是多余的。

本來(lái)就是一片黑暗，多想只會(huì)耗費(fèi)心神。你應(yīng)該通過(guò)快速摸索，增加你對(duì)周邊信息的

把握。每一次錯(cuò)誤，你都可以根據(jù)它矯正你對(duì)世界的判斷，這樣，幾輪之后，你得到正確

選擇的概率將會(huì)大大增加。

復(fù)雜系統(tǒng)的隨機(jī)性和非線性，導(dǎo)致我們對(duì)它的預(yù)測(cè)無(wú)能為力，物理里稱(chēng)之為混沌。三

個(gè)物體的相互作用就可以出現(xiàn)混沌，更不要說(shuō)由無(wú)窮多非線性元件組成的復(fù)雜系統(tǒng)了。南

美洲的蝴蝶扇扇翅膀，就可以引起北美的一次風(fēng)暴。

一個(gè)利用試錯(cuò)進(jìn)步的典型例子是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)。

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)把經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的自主權(quán)還給個(gè)體，雖然每個(gè)個(gè)體都不是很聰明，但是它們都有

一個(gè)特點(diǎn)，知錯(cuò)就改，唯利是圖。它們所主宰的經(jīng)濟(jì)，試錯(cuò)和糾錯(cuò)能力都是超強(qiáng)的。其結(jié)

果是，短時(shí)間內(nèi)資源分配就接近了最優(yōu)化，雖然還有點(diǎn)波動(dòng)，但仍超過(guò)世界上最厲害的經(jīng)

濟(jì)學(xué)家的預(yù)測(cè)能力。

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)是反脆弱的，每一次意外的小概率事件，即黑天鵝事件發(fā)生時(shí)，它都可以調(diào)

整過(guò)來(lái)，并且變得更加成熟，自由市場(chǎng)調(diào)節(jié)平衡的能力十分驚人。

另一個(gè)利用試錯(cuò)進(jìn)步的典型例子就是生物系統(tǒng)。

生物系統(tǒng)可以算是已知的圾復(fù)雜的系統(tǒng)，大自然在創(chuàng)造它時(shí)，并不需要一個(gè)精密的計(jì)

劃表，而是用一個(gè)笨辦法，即選擇算法。第一，生物系統(tǒng)可以通過(guò)變異無(wú)限試錯(cuò)；第二，

只有能夠適應(yīng)外界變化的個(gè)體才可以把它的基因傳給后代。兩個(gè)簡(jiǎn)單的辦法，加上一定的

運(yùn)算時(shí)間（進(jìn)化史），就產(chǎn)生了無(wú)比有效卻能夠抗擊各種自然災(zāi)難的生物體。

無(wú)論是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)還是生物系統(tǒng)，都是系統(tǒng)內(nèi)的自由單元通過(guò)不斷試錯(cuò)進(jìn)步的，自由單

元本身不知道下一刻的命運(yùn)，而系統(tǒng)整體卻堅(jiān)定地邁向光明。如果束縛了系統(tǒng)內(nèi)個(gè)體的自

由，則試錯(cuò)的威力無(wú)以發(fā)揮。因此管理這些系統(tǒng)時(shí)，唯一該做的就是維護(hù)這種自由。

大自然的算法，你也能夠掌握，生活中的進(jìn)化算法就是多給自己些選項(xiàng)，多準(zhǔn)備些備

胎，然后快速試錯(cuò)，積累經(jīng)驗(yàn)，稍作改進(jìn)，繼續(xù)試錯(cuò)，繼續(xù)改進(jìn)……

以無(wú)常對(duì)無(wú)常，要用不同幅度調(diào)整自己

復(fù)雜性告訴我們，世界是高速變化的，而且這種變化往往無(wú)序且不可預(yù)測(cè)。如果你想

跟著世界變化，那么你永遠(yuǎn)是落后的。因?yàn)楫?dāng)變化的趨勢(shì)路人皆知的時(shí)候，也是趨勢(shì)將要

變化，新一輪無(wú)常開(kāi)始要肆虐的時(shí)候（看看股市）。因此，個(gè)體在面對(duì)環(huán)境變化的隨機(jī)性

時(shí)，要主動(dòng)尋求變化，以動(dòng)制動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)中搜索信息，調(diào)整步幅。

自然界應(yīng)對(duì)無(wú)常環(huán)境進(jìn)行的一種典型運(yùn)動(dòng)方式是先確定一個(gè)大的區(qū)域，然后做小范圍

的改變（試錯(cuò)），如果得到的反饋信息是不利的，就快速做出一系列大幅度的調(diào)整，直至

達(dá)到一個(gè)比較有利的位置，這樣的變動(dòng)周而復(fù)始。這是一種應(yīng)對(duì)無(wú)常最佳的適應(yīng)方法。如

果環(huán)境豐饒，則不失良機(jī)。反之，又不至于因過(guò)分執(zhí)著于不夠好的機(jī)會(huì)而被困死。

一個(gè)典型的例子是鯊魚(yú)覓食。鯊魚(yú)在魚(yú)類(lèi)豐富的環(huán)境進(jìn)行小步伐的隨機(jī)游走，只要不

停地游動(dòng)就可以吃到最多的魚(yú)。但當(dāng)魚(yú)類(lèi)相對(duì)不足的時(shí)候，鯊魚(yú)就會(huì)進(jìn)行大步伐的躍遷，

這種躍遷也是隨機(jī)的，卻具備一次改變較大的特點(diǎn)。小步伐的隨機(jī)游走比較容易窮盡開(kāi)采

一個(gè)地方的資源，但不容易到達(dá)較遠(yuǎn)的地點(diǎn)，而大步伐的躍遷卻有利于開(kāi)發(fā)新的領(lǐng)地，尋

找新的食物來(lái)源。

自然環(huán)境對(duì)生物來(lái)說(shuō)就是食物分布，最大的特點(diǎn)就是不均勻，要么大量來(lái)（自助餐），

要么什么都沒(méi)有（大饑荒），而這種變動(dòng)往往不可預(yù)測(cè)，這就是鯊魚(yú)選擇這種覓食策略的

原因。即小范圍調(diào)整試錯(cuò)，若是找不到食物，就走一大步。

總結(jié)：自然界的變化幅度靈活多變，人也可以具備這種特點(diǎn)，先給自己制定一個(gè)大方

向邁出去，在一段時(shí)間穩(wěn)住這個(gè)方向后再進(jìn)行小范圍的自由調(diào)整，當(dāng)發(fā)現(xiàn)趨勢(shì)變化的苗頭

或者覺(jué)得自己走錯(cuò)了時(shí)，就大步伐改變。

對(duì)特別猶豫不決的人還有一個(gè)不錯(cuò)的故事。

在《反脆弱》這本書(shū)中有這樣一個(gè)例子：一頭驢子又餓又渴，前面是一條河，后面是

草原，但是都要跋涉一公里。它猶豫不決，就好像二力平衡下的物體，死路一條。這個(gè)時(shí)

候，唯一能夠解救它的是隨機(jī)走一步。結(jié)果朝哪里近，就去哪里。這就是隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的美妙,

整個(gè)宇宙都可以理解為在隨機(jī)運(yùn)動(dòng)下導(dǎo)致對(duì)稱(chēng)破缺（有序產(chǎn)生）的過(guò)程。

用否定法抓大放小，否定最致命的，放開(kāi)其他的

在無(wú)常的世界里，每一個(gè)未來(lái)事件都最好看作一個(gè)分布函數(shù)，而我們一定要注意的是

那些最致命的結(jié)果，如果最致命的不出現(xiàn)，活著就有機(jī)會(huì)等到勝利！

一些人總是拼命地注意小節(jié)，桌上任何東西都要擺放好，卻忘記了關(guān)煤氣灶。注意每

個(gè)小節(jié)會(huì)消耗大量能量，過(guò)于注意小節(jié)反而可能疏漏那些致命的威脅。因此我們應(yīng)該按照

風(fēng)險(xiǎn)的輕重緩急來(lái)相應(yīng)地分配注意力。

事實(shí)上，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，我們只需管理某些對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生核心影響的事件，而對(duì)其他事

件放任，讓自然來(lái)管理。

抓大放小，就是在能量有限的情況下，專(zhuān)注于做重要的事情。若是把精力過(guò)多地放在

微小因素上，就會(huì)無(wú)暇顧及核心因素。而微小因素往往會(huì)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候自發(fā)解決（比如一

些不重要考試前夜的瘋狂補(bǔ)習(xí)）。老子所說(shuō)的無(wú)為而至，就是指大自然早已給我們?cè)O(shè)計(jì)好

了節(jié)能優(yōu)化模型，把一些事情交給自然，剩下的事情才可以盡力到底。

把握復(fù)雜系統(tǒng)，讓它朝著人為意志方向往往適得其反，但是否定一些最壞的東西卻是

切實(shí)可行的。例如，在選擇配偶上，每個(gè)人都應(yīng)該問(wèn)自己，最不能接受對(duì)方做什么？如果

這恰恰是對(duì)方無(wú)法避免會(huì)做的，就可以確定不該在一起，至于其他的小的壞習(xí)慣則可以置

之不理。

杠鈴策略一一風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖

前面談的策略都是比較消極被動(dòng)的，好了，現(xiàn)在是我們主動(dòng)出擊，反向利用“無(wú)?！焙?/p>

分布函數(shù)進(jìn)行獲利的時(shí)候了。

什么是杠鈴：兩頭重，中間輕，其實(shí)它就是無(wú)常的化身一一事律函數(shù)的縮影。黑律函

數(shù)有兩個(gè)特點(diǎn)：一個(gè)是“大頭”，另一個(gè)是“長(zhǎng)尾”。大頭是較高頻率，但影響微小的事件，

而長(zhǎng)尾則是較低頻率，但而系統(tǒng)產(chǎn)生重大影響的黑天鵝（積分發(fā)散），在長(zhǎng)尾理論中被經(jīng)

常提到的幕律函數(shù)如圖3.5所示。

圖3.5

杠鈴策略，就是同時(shí)把握大頭和長(zhǎng)尾，利用分布函數(shù)獲利。這和中庸法則恰恰相反,

中庸法則是遠(yuǎn)離極端，而對(duì)沖則是利用兩個(gè)極端的綜合博弈實(shí)現(xiàn)平衡。

下面利用復(fù)雜系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)分別介紹弱杠鈴策略，以及僅僅利用分布函數(shù)形狀

的策略和強(qiáng)杠鈴策略（杠桿原理）。

弱杠鈴策略：風(fēng)險(xiǎn)組合

最簡(jiǎn)單的應(yīng)用莫過(guò)于高風(fēng)險(xiǎn)和低風(fēng)險(xiǎn)事件的組合。比如，一個(gè)人應(yīng)先有一個(gè)穩(wěn)定的職

業(yè)，然后再去做一些高風(fēng)險(xiǎn)的投資。

人是無(wú)法承擔(dān)無(wú)限風(fēng)險(xiǎn)的，一個(gè)領(lǐng)域的風(fēng)險(xiǎn)，總要由另一個(gè)領(lǐng)域來(lái)吸收。如果你找一

個(gè)風(fēng)情萬(wàn)種的法國(guó)美女做老婆，那么你很可能就要承擔(dān)被戴綠帽子的風(fēng)險(xiǎn)。相反，如果找

了呂后那樣穩(wěn)定持家的老婆，那么你就可以在事業(yè)上揮霍或冒險(xiǎn)，因?yàn)榭傆袀€(gè)安穩(wěn)的后方。

比如要做一件有壓力的大事，那么你就需要一些特別簡(jiǎn)單的愛(ài)好讓你能夠在工作之余

吸收進(jìn)去，那個(gè)大事和無(wú)聊的愛(ài)好恰好是啞鈴的兩端。另一個(gè)典型的例子是如果生活特別

枯燥，比如常和數(shù)字打交道，那么就需要做一些瘋狂的事情釋放，看看《華爾街之狼》就

明白了。

總之，當(dāng)你人生從事的事業(yè)中包含了具有相反極端屬性的事情時(shí)，那么你就可以在風(fēng)

向逆轉(zhuǎn)的時(shí)候通過(guò)對(duì)杠鈴另一端的擁抱得到解救。

杠鈴策略的另一個(gè)典型應(yīng)用是人的知識(shí)結(jié)構(gòu)，最有效的知識(shí)結(jié)構(gòu)亦呈現(xiàn)嘉律分布，專(zhuān)

一的技術(shù)是頭，廣博的知識(shí)是尾。專(zhuān)一技術(shù)是人立足江湖的必殺技，但是在很多特殊的關(guān)

鍵時(shí)刻，廣博的知識(shí)又起決定作用。在巨大的未知性面前，僅有專(zhuān)一的技術(shù)往往是脆弱的,

就像溺水的電腦專(zhuān)家，決定他命運(yùn)的不是電腦技能，而是是否會(huì)游泳。

累律之所以廣泛存在，也在于其自身結(jié)構(gòu)具有符合造物法則的反脆弱性。好比歷史總

是由少數(shù)杰出人物引領(lǐng)的，而多數(shù)人民提供基礎(chǔ)，兩個(gè)條件缺一不可。

強(qiáng)杠鈴策略之杠桿原理：風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖

筆者從金融上的對(duì)沖基金得到啟發(fā)，總結(jié)了一個(gè)較強(qiáng)版本的杠鈴策略一一對(duì)沖法。前

面的風(fēng)險(xiǎn)組合強(qiáng)調(diào)互補(bǔ)，而風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖則強(qiáng)調(diào)相反和成。簡(jiǎn)而言之，就是一種事物的風(fēng)險(xiǎn)，

恰恰構(gòu)成另一種事物的機(jī)遇。杠鈴一端的損失就是另一端的收益，當(dāng)一端向下時(shí)，另一端

恰好向上，好比蹺蹺板，也好比杠桿。聰明人利用這個(gè)杠桿，把生活中向下的波動(dòng)轉(zhuǎn)成向

上波動(dòng)的契機(jī)。

對(duì)沖的基礎(chǔ)其實(shí)是事物的非線性，如果你同時(shí)買(mǎi)入分布兩端的事物，而這兩個(gè)事物又

存在反向關(guān)聯(lián)（當(dāng)A下降時(shí)，B有上升趨勢(shì)，或反之），最關(guān)鍵的是，這種關(guān)聯(lián)是非線

性的（A的下降不等于B的上升，下降總是小于上升），一端小的下降總會(huì)引起另一端較

大的提升。

如果啞鈴兩端的事物具有凸函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，即A的減弱引起B(yǎng)的上升，而B(niǎo)的減弱

又引起A的上升，并且兩種變化的和呈上升趨勢(shì)，那么同時(shí)買(mǎi)入這兩種事物，我們就實(shí)

現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，或者說(shuō)反脆弱性。因?yàn)樵谌魏吻闆r下你的獲利都為正。

讓我們看看對(duì)沖基金是怎么操作的，對(duì)沖者同時(shí)買(mǎi)入一個(gè)行業(yè)內(nèi)較優(yōu)和較略的幾只股

票的賣(mài)空期貨（當(dāng)股票的跌幅大于預(yù)期時(shí)，就收益），這就是筆者所說(shuō)的占據(jù)分布的兩端。

當(dāng)行情見(jiàn)長(zhǎng)時(shí)，較優(yōu)股票的收益將大于較略股票賣(mài)空的賠損；而當(dāng)行情見(jiàn)跌時(shí)，略等股的

賣(mài)空收益將高于優(yōu)等股下跌的損失，從而實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖。

如果你發(fā)現(xiàn)一對(duì)具有反向相關(guān)性的事物，而且這種相關(guān)性具有凹函數(shù)性質(zhì)，那么你就

可以做一筆好買(mǎi)賣(mài)，因?yàn)榘己瘮?shù)有在波動(dòng)中受益的木性。

例如，假設(shè)李白成了宰相，那么很可能少了一位文學(xué)泰斗，而多了一個(gè)我們不知道的

唐朝宰相：失眠的時(shí)候就博覽群書(shū)，那么很可能就成為了一個(gè)有智慧的人；事業(yè)不順找一

大堆朋友喝酒，然后叫了一大堆好友一起創(chuàng)業(yè)很可能就成功了。

筆者做一個(gè)大膽的推測(cè)，這個(gè)世界能被記住的所有成功者都是通過(guò)某種杠鈴對(duì)沖成就

的。

懂得在生活中使用對(duì)沖法則的人從不會(huì)焦慮或者為任何事情沮喪，無(wú)論是失戀還是創(chuàng)

業(yè)失敗，因?yàn)槟阌肋h(yuǎn)不知道上帝明天為你準(zhǔn)備了什么，只要你自己不對(duì)生活說(shuō)No!

這也是我認(rèn)為豐富廣博比專(zhuān)于一處更好的原因，因?yàn)橐肜酶茆彿▌t，實(shí)際上需要

動(dòng)用的是你的全部知識(shí)、愛(ài)好和所有的積累。如果你只有一種技術(shù)，那么你就是個(gè)一頭重

的杠鈴，只能在自由落體中顯身了。

最后引用《反脆弱》中的第一句話：風(fēng)會(huì)熄滅蠟燭，卻能使火越燒越旺。

歸零思維

有一個(gè)一般的規(guī)律，人擁有得越多就越害怕失去，從而進(jìn)入一種守成心態(tài)，而這正是

人的脆弱性。擁有得越多，在風(fēng)險(xiǎn)中可以丟失的東西往往會(huì)多于隨機(jī)中的獲益，正如一艘

滿(mǎn)載財(cái)寶在風(fēng)雨飄搖中的船。而相反的情況則是，當(dāng)你所處的位置較低時(shí)，向下空間有限

而向上空間很大，波動(dòng)性造成的平均收益為正。想想那些一無(wú)所有的人，往往無(wú)所畏懼一

一奴隸可以丟掉的只有枷鎖。當(dāng)然這不是說(shuō)都去當(dāng)乞丐，起碼要把自己的心態(tài)歸零，是有

幫助的。正如喬布斯說(shuō)的：StayHungry,StayFoolish?

博覽群書(shū)

博覽群書(shū)是最佳的獲取反脆弱性的方法。因?yàn)榍‘?dāng)?shù)厥褂酶茆彶呗灾苯右蕾?lài)于你知識(shí)

的廣度，但并不是書(shū)呆子似的死讀書(shū)，而是要恰當(dāng)?shù)匕盐找活?lèi)事物的輪廓和精要，而非死

纏爛打。因此最好是每一種學(xué)科都有所了解，但并非讀那種特別有深度的書(shū)。例如，若只

是想了解哲學(xué)就沒(méi)有必要讀完一整套純粹理性批判類(lèi)的書(shū)。當(dāng)然，你的專(zhuān)業(yè)除外。

寬以待人，有容乃大

寬以待人，其實(shí)也體現(xiàn)了反脆弱性。因?yàn)?，即使自己不總是占便宜的那個(gè)，造成的損

失在較長(zhǎng)時(shí)間來(lái)看也并不算什么。但是不寬容別人或斤斤計(jì)較所造成的損失，或因此失掉

的機(jī)會(huì)，往往是致命的（尤其在信息時(shí)代）。因此寬容和博大的氣度，具有很高的反脆弱

性。

實(shí)用理想主義

杠鈴策略之一就是實(shí)用主義和理想主義的結(jié)合。最優(yōu)秀的理想主義者，往往要奉行最

強(qiáng)大的實(shí)用主義原則，理想和實(shí)用就是杠鈴的兩端。

懂得杠鈴主義的人會(huì)把?些事情用最大的實(shí)用主義解決，然后就可以無(wú)憂無(wú)慮地搞理

想。比如大學(xué)考試，對(duì)于無(wú)心學(xué)術(shù)圈的人，他們?nèi)绻軌蚯擅畹匕殉煽?jī)控制在60分，就

比努力得到80分的人聰明，因?yàn)橐坏┐髮W(xué)結(jié)束，用20分換來(lái)的“其他技能”往往會(huì)幫他

們做成自己想做的事情。

4從物理角度看復(fù)雜

非線性動(dòng)力學(xué)，是用物理學(xué)的思維理解復(fù)雜系統(tǒng)問(wèn)題的一座豐碑，也是非常有前途的

工具學(xué)科，它為大數(shù)據(jù)時(shí)代提供了潛在的分析引擎。

為什么說(shuō)非線性，因?yàn)槲锢碇獾南到y(tǒng)大多數(shù)不能用線性系統(tǒng)表述（詳情請(qǐng)見(jiàn)《動(dòng)力

學(xué)是如何做預(yù)測(cè)的》）。

動(dòng)力學(xué)的核心使命是預(yù)測(cè)系統(tǒng)的變化，非線性動(dòng)力學(xué)的核心使命也是如此。一個(gè)經(jīng)典

的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有標(biāo)準(zhǔn)的表述形式：

dv

fM

dr

預(yù)測(cè)一個(gè)系統(tǒng)的未來(lái)，你需要知道它在微小時(shí)間尺度里的性質(zhì)并列出動(dòng)力學(xué)方程。

X是一個(gè)向量（vector）,它所具有的分量個(gè)數(shù)即系統(tǒng)的維度。

維度是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的最基本屬性，它決定了系統(tǒng)的復(fù)雜性，以及其可能具有的基本性

質(zhì)。還有，我們有多大把握預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)。

高維空間絕非只存在于宇宙之邊（廣義相對(duì)論）或者加速器的深處（弦論），而是你

我的生活中處處皆是。

本篇筆者將從低維到高維的順序，用圖形的思維，講述復(fù)雜性是如何隨著維度的升高

而產(chǎn)生的。

最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)是一維系統(tǒng)，預(yù)測(cè)一個(gè)一維的非線性系統(tǒng)，往往只需抓住一個(gè)關(guān)鍵性信

息定點(diǎn)。

維度，動(dòng)力學(xué)和生活（閱讀難度

馬爾薩斯人口論合不合理?

18世紀(jì)末，在工業(yè)革命前夜的英國(guó)，一個(gè)叫作馬爾薩斯的偉大思想家提出了這樣一

個(gè)困擾了人類(lèi)幾個(gè)世紀(jì)的問(wèn)題：人類(lèi)的人口呈指數(shù)增長(zhǎng)，而食物的總量至多成代數(shù)增長(zhǎng)，

所以當(dāng)人口的增長(zhǎng)超過(guò)食物時(shí)，人類(lèi)將不可避免地陷入饑荒、疾病和戰(zhàn)爭(zhēng)。而普遍性的貧

窮，是人類(lèi)文明的宿命。

這個(gè)理論解釋了為什么許多古代文明陷入發(fā)展停滯的泥沼，例如埃及。

馬爾薩斯的理論，其實(shí)詮釋的是一個(gè)叫作FixPoint（定點(diǎn)）的動(dòng)力學(xué)概念，即在一

個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)里，事物的增長(zhǎng)往往不是線性的，而是存在??定的穩(wěn)恒狀態(tài)，系統(tǒng)的變化會(huì)逐

步減速并自發(fā)地把自己維持在這個(gè)狀態(tài)上。

這樣的現(xiàn)象在生活中不勝枚舉。比如說(shuō)小孩子長(zhǎng)高到一定程度就不長(zhǎng)了；你在網(wǎng)上發(fā)

狀態(tài)，開(kāi)始有很多人點(diǎn)贊，但在一定時(shí)間后減速直至停止。

非線性動(dòng)力學(xué)用定點(diǎn)來(lái)描述這種現(xiàn)象。為什么定點(diǎn)普遍存在？因?yàn)樨?fù)反饋的普遍存在。

當(dāng)一個(gè)事物向一個(gè)方向走得太遠(yuǎn)時(shí)，就往往有一種反方向的作用力把它拉回，有點(diǎn)像我們

所說(shuō)的物極必反或陰陽(yáng)相抵。

馬爾薩斯的人口論符合一個(gè)叫作LogisticModel的經(jīng)典一維動(dòng)力學(xué)模型，它也因它那

美妙絕倫的S曲線而聞名。

這個(gè)模型說(shuō)的是，在沒(méi)有環(huán)境壓力的時(shí)候（人人吃飽飯）人口的增長(zhǎng)率是恒定的，所

以如果第一年是2,那么第N+1年即為2的N次方（幾何增長(zhǎng)），但是一旦人口接近環(huán)

境的閾值，就會(huì)有人開(kāi)始餓死，而這個(gè)餓死的比例會(huì)隨著人口的增長(zhǎng)而增大（負(fù)反饋）。

這樣，當(dāng)餓死的人的數(shù)量等于出生的人的數(shù)量時(shí)，兩個(gè)此消彼長(zhǎng)的要素就在某個(gè)點(diǎn)上平衡

了，即所謂的定點(diǎn)。

反映在數(shù)學(xué)上，就是這樣一個(gè)微分方程：

dNwK-N、

=/W（

dzK

人口的變化取決于兩個(gè)相乘的因子，一個(gè)描述增長(zhǎng)（rN）,一個(gè)描述饑餓（1-

K/N）o定點(diǎn)，就是使微分（人口變化率）為0的點(diǎn)，當(dāng)人口數(shù)恰好處在這個(gè)點(diǎn)上時(shí)，就

會(huì)不增不減。

這個(gè)定點(diǎn)具有一個(gè)更深刻的性質(zhì)，無(wú)論人口一開(kāi)始是多少，只要K給定，系統(tǒng)就會(huì)

趨于一個(gè)相同的值。這個(gè)值由環(huán)境本身的容量所決定。

這個(gè)微分方程的解是一條優(yōu)美的S型曲線（SigmoidFunction）,如圖4.1所示。它

的身影在自然界中比比皆是，反映了自然生長(zhǎng)的一般規(guī)律。

Logisticgrowthmodel

1000000

eooooo

600000

400000

200000

0-.,.,.,.,

0510152025303540

Tvne（days）

圖4.1

馬爾薩斯的確是一個(gè)有著深刻洞察力的思想家，他在沒(méi)有任何這些數(shù)學(xué)概念的時(shí)候發(fā)

現(xiàn)了這一原理。當(dāng)人口的增長(zhǎng)達(dá)到一定限度，大規(guī)模的饑荒和戰(zhàn)爭(zhēng)將使人口增速變慢，從

而實(shí)現(xiàn)大自然的平衡。

定點(diǎn)的穩(wěn)定性

動(dòng)力學(xué)里最重要的概念之一是定點(diǎn)，但是定點(diǎn)本身卻只有很少的信息、，更關(guān)鍵的性質(zhì)

來(lái)自于對(duì)定點(diǎn)周?chē)鷧^(qū)域的分析，或者說(shuō)定點(diǎn)的穩(wěn)定性。

在一些情況里，定點(diǎn)好像是系統(tǒng)變化的宿命。起點(diǎn)是什么并不重要，你不需要擔(dān)心輸

在起跑線上，只要你起跑了，就會(huì)到一個(gè)地方一一定點(diǎn)。而在另一些情況里，定點(diǎn)雖然存

在，但是只有在極特殊的條件下才能達(dá)到，類(lèi)似于逆襲。逆襲是有的，但是要有極好的運(yùn)

氣和相當(dāng)高的智慧才行。即使你達(dá)到了這樣的定點(diǎn)，稍有風(fēng)吹草動(dòng)也會(huì)失去它。

我們用一個(gè)被稱(chēng)作穩(wěn)定性的概念來(lái)描述這一特性。穩(wěn)定性描述的是系統(tǒng)處在定點(diǎn)周邊

的狀態(tài)，它是比較容易進(jìn)到定點(diǎn)還是離開(kāi)。

一個(gè)典型的例子是單擺，單擺的微分方程有兩個(gè)取零的點(diǎn)，但是你通?？吹綌[處在最

低點(diǎn)卻極少有機(jī)會(huì)看到一個(gè)處在頂點(diǎn)的單擺。原因很簡(jiǎn)單，單擺的低谷是穩(wěn)定定點(diǎn)，而高

點(diǎn)是不穩(wěn)定的。除非你一開(kāi)始就靜止在最高點(diǎn)而且排除任何外力，否則最輕微的偏離就可

以導(dǎo)致單擺回到穩(wěn)定的最低點(diǎn)。

從物理的角度很容易理解一個(gè)定點(diǎn)是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的，只需要稍微離開(kāi)定點(diǎn)，看

一下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，看看系統(tǒng)在定點(diǎn)的相鄰區(qū)域里的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)怎么隨位置變化的。而這

翻譯成動(dòng)力學(xué)語(yǔ)言就是在定點(diǎn)周?chē)M(jìn)行泰勒展開(kāi)，并取一階線性近似（在一維得到一個(gè)線

性的斜率，高維就是雅可比矩陣的特征值）。如果在定點(diǎn)周?chē)倪\(yùn)動(dòng)趨勢(shì)指向定點(diǎn)（線性

的斜率為負(fù)，雅可比矩陣特征值為負(fù)），則定點(diǎn)在局域內(nèi)穩(wěn)定，反之則不穩(wěn)定，如圖4.2

所示。

圖4.2

注：定點(diǎn)的穩(wěn)定性，取決于泰勒展開(kāi)的不為零的第一項(xiàng)的正負(fù)。圖4.2的左圖為穩(wěn)定

平衡，右圖為不穩(wěn)定平衡，雖然均為定點(diǎn)，但周邊性質(zhì)迎異。

穩(wěn)定性，換一個(gè)詞叫吸引力。一個(gè)穩(wěn)定性定點(diǎn)，就像一個(gè)區(qū)域的主人，它能把進(jìn)入其

轄區(qū)內(nèi)的所有人都吸收到它的點(diǎn)上。它所管轄的區(qū)域，稱(chēng)為BasinofAttractiono它是強(qiáng)

韌性的代表，無(wú)論你怎么干擾它，迫害它，結(jié)局都將歸于它。找到BasinofAttraction是

利用定點(diǎn)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的必備條件，給定一個(gè)系統(tǒng)，如果它的初始位置處在Basinof

Attraction,那么它必歸于定點(diǎn)。

不穩(wěn)定性呢，就是脆弱性的代表了，任何環(huán)境的風(fēng)吹草動(dòng)都能結(jié)束它表面的美麗。

最強(qiáng)的定點(diǎn)具有全局穩(wěn)定性，即無(wú)論任何初始條件，系統(tǒng)都將趨于這樣的定點(diǎn)，這樣

的系統(tǒng)就是高度可預(yù)測(cè)系統(tǒng)。

很多系統(tǒng)往往是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。比如剛才的人口模型，人口為

0就是一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。當(dāng)人口為。的時(shí)候，它可以永遠(yuǎn)為0,但只要系統(tǒng)的人口增長(zhǎng)

了1,它就會(huì)趨于定點(diǎn)K,掌控系統(tǒng)除0之外所有區(qū)域的穩(wěn)定點(diǎn)。

判斷簡(jiǎn)單系統(tǒng)，抓住定點(diǎn)就是抓住了命門(mén)。

二維系統(tǒng)與振動(dòng)

請(qǐng)先看下面幾個(gè)問(wèn)題：

為什么振動(dòng)普遍存在？

為什么自由競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果往往是壟斷？

如何理解經(jīng)濟(jì)周期的運(yùn)行？

解決這些非?；镜膯?wèn)題，我們需耍一個(gè)二維的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。二維可以描述比一維豐

富得多的現(xiàn)象，正如同物理學(xué)從描述兩個(gè)物體的相互俏用開(kāi)始描述了世界。

一維的系統(tǒng)往往歸于單調(diào)的定點(diǎn)，而二維系統(tǒng)的主角卻是振動(dòng)，也是人類(lèi)幾千年來(lái)描

述自然最有利的工具。

看看我們周?chē)?，從自然到人?lèi)，世界可以看作一部不同頻率振動(dòng)組成的交響四季

周而復(fù)始，太陽(yáng)升起落下，我們的呼吸、脈搏、心跳、新陳代謝，生命的更替，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)

的周期漲落等，幾乎有運(yùn)動(dòng)的地方，就有振動(dòng)。

為什么振動(dòng)的形式如此廣泛地存在？其實(shí)是因?yàn)槎c(diǎn)的廣泛存在。振動(dòng)就是圍繞一個(gè)

確定狀態(tài)的上下波動(dòng)。就好像希臘神話里痛苦的西西弗斯，把石頭推上山，可它卻滾下去,

然后他乂推上山，他想讓石頭停在山上不動(dòng)，但卻做不到。

為什么振動(dòng)如此普遍，非線性動(dòng)力學(xué)之父龐加萊給出了一個(gè)神一樣的定理：

Poincare-BendixsonTheorem。

條件如下。

（1）2D：你有一個(gè)二維的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

（2）Continous：系統(tǒng)連續(xù)可微。

（3）Confined：動(dòng)力學(xué)流在一個(gè)區(qū)域內(nèi)封閉。

（4）NoFixPoint：在此區(qū)域內(nèi)定點(diǎn)不可達(dá)到。

結(jié)論：

該區(qū)域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)流將收斂于一條閉合軌道（等價(jià)于圓）。

翻譯一下，相平面的閉合軌道二周期性運(yùn)動(dòng)=振動(dòng)。這個(gè)定理告訴我們，有限二維系

統(tǒng)里的運(yùn)動(dòng)形式只有兩種：（1）平衡態(tài)（歸于定點(diǎn)），（2）周期運(yùn)動(dòng)。不存在其他情況。

有限指的是系統(tǒng)不會(huì)無(wú)限取值或發(fā)散。由于自然中負(fù)反饋的普遍存在，因而這一條一般是

滿(mǎn)足的。這條定律解釋了振動(dòng)普遍存在的根本原因，因?yàn)樗嵌S運(yùn)動(dòng)的范式。

作為一條以拓?fù)鋵W(xué)為根據(jù)的定理，它標(biāo)志了人類(lèi)思維的新形式，即拓?fù)渌季S。這種把

各種不同形式的系統(tǒng)歸于空間里的拓?fù)溲芯康乃枷?，是一種超越性的思想。它標(biāo)志了數(shù)學(xué)

在解釋世界的能力上的新高度。從此，我們對(duì)世界的認(rèn)知，取決于我們對(duì)幾何空間的拓?fù)?/p>

性的歸類(lèi)。那些能夠歸于同?拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，都具有相同的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)，即使它們的物

質(zhì)組成各不相同。因此，拓?fù)涞乃季S具有高屋建令瓦，以一敵百的特性。

龐加萊定理告訴我們，二維動(dòng)力學(xué)流不是流向定點(diǎn)，就會(huì)形成閉合軌道。

這條定理確立了非隨機(jī)的二維系統(tǒng)的絕對(duì)可預(yù)測(cè)性，二維系統(tǒng)沒(méi)有混沌。

當(dāng)你發(fā)現(xiàn)振動(dòng)，你就去找系統(tǒng)里有沒(méi)有兩個(gè)關(guān)鍵性的動(dòng)力學(xué)變量，并且觀察這個(gè)系統(tǒng)

是否有穩(wěn)定的平衡態(tài)（如果沒(méi)有，則往往預(yù)示存在一個(gè)無(wú)定點(diǎn)的閉合區(qū)域），這樣的方法

非常有效。

能量守恒系統(tǒng)的振動(dòng)

經(jīng)典物理的振動(dòng)核心在于能量守恒，無(wú)論是彈簧的振動(dòng)、單擺，還是電磁波。

對(duì)這類(lèi)系統(tǒng)的傳統(tǒng)解法是對(duì)微分方程進(jìn)行積分得到運(yùn)動(dòng)的軌跡，但是利用一些動(dòng)力學(xué)

的基本知識(shí)我們也可以完全不用積分就能了解它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，如圖4.3所示。

下面以單擺為例。首先，把微分方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)形式，即體系內(nèi)有兩

個(gè)動(dòng)力學(xué)變量：角度和速度。

60

——=v

dt

dt

然后，尋找定點(diǎn)（動(dòng)力學(xué)流為0）,顯然是。=0,v=0。

看看定點(diǎn)可不可以達(dá)到。只要能量不為0的系統(tǒng)都不可以，因?yàn)椤?0,v=0,意味著系

統(tǒng)能量為0。

根據(jù)能量守恒定律，能量不為0的系統(tǒng)無(wú)法到達(dá)這個(gè)點(diǎn)。

最后，系統(tǒng)是否在相平面里封閉？是的，回復(fù)力-sin（9）起負(fù)反饋的作用，根據(jù)能

量守恒定律，6和v均在有限區(qū)間取值。

因此，系統(tǒng)在相平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4.4所示。

System

圖4.4

單擺在相平面的圓周運(yùn)動(dòng)（右）對(duì)應(yīng)其在真實(shí)空間的振動(dòng)（左）。只要把握了相空間

的性質(zhì)，無(wú)須解方程也可以了解運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。

注：如果系統(tǒng)內(nèi)有摩擦力，能量守恒不再成立，則系統(tǒng)具有穩(wěn)定點(diǎn)。x=0,8=0,依然

符合龐加萊定理。系統(tǒng)如果不再振動(dòng)，則歸于定點(diǎn)。

當(dāng)然，經(jīng)典物理的例子基本是不太重要的，動(dòng)力學(xué)的威力要在更復(fù)雜抽象的系統(tǒng)里顯

現(xiàn)。

能量不守恒的開(kāi)放系統(tǒng)里的振動(dòng)

當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)有能量流入流出時(shí)，我們稱(chēng)之為開(kāi)放系統(tǒng)（為與能量守恒的保守系統(tǒng)區(qū)

分），對(duì)于一個(gè)二維的開(kāi)放系統(tǒng)，龐加萊定理依然成立，系統(tǒng)若不歸于平衡，則步入永恒

的循環(huán)。

這樣的系統(tǒng)比比皆是，神經(jīng)細(xì)胞周期性的電震蕩、心臟的跳動(dòng)（心肌細(xì)胞的電震蕩引

致）、宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)動(dòng)的周期等。這類(lèi)問(wèn)題，顯然具有比兩個(gè)多得多的變量，但是如果把關(guān)

注點(diǎn)集中在它們進(jìn)行周期運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍，往往可以抓住兩個(gè)關(guān)鍵性變量，從而用二維動(dòng)

力學(xué)系統(tǒng)的知識(shí)來(lái)解決。這體現(xiàn)了物理的核心思維：Rcductionism（簡(jiǎn)化，抓住主要矛盾）

的應(yīng)用。

例如，在經(jīng)濟(jì)周期的問(wèn)題里，兩個(gè)關(guān)鍵性的變量是國(guó)民收入與資本存量。對(duì)于神經(jīng)細(xì)

胞，關(guān)鍵性的變量是電位和疲憊指數(shù)（放電導(dǎo)致的疲憊）。

注：黑格爾的辯證法說(shuō)，正是矛盾導(dǎo)致變化。翻譯過(guò)來(lái)，就是當(dāng)系統(tǒng)有兩個(gè)相互制約

的變量時(shí)，就會(huì)引起永恒的振動(dòng)。抑或說(shuō)，Poincare-Bendixon原理就是辯證法的數(shù)學(xué)精

確表達(dá)。

一個(gè)最典型的例子依然是延續(xù)我們關(guān)于物種數(shù)量的故事，剛才講到一維的人口模型里

人口將達(dá)到定值，而事實(shí)上，自然界中的物種數(shù)量卻是震蕩變化的，為什么？

要想解答這個(gè)問(wèn)題，就需要討論兩個(gè)物種共存的情況（二維）。試問(wèn)下面的問(wèn)題，在

一片草原里生活著獅子和羚羊，獅子吃羚羊，羚羊吃草（假設(shè)無(wú)限），假設(shè)一開(kāi)始物種數(shù)

量是均等的，那么后來(lái)兩個(gè)物種的數(shù)量變化會(huì)是怎樣的呢？顯然，兩種物種間有相互作用,

獅子的存在依賴(lài)于羊（簡(jiǎn)單的想法是羊肉變成了獅子），而羊的數(shù)量因?yàn)楠{子而減少.如

果沒(méi)有獅子，羊的數(shù)量增長(zhǎng)就符合之前的S曲線。

這個(gè)系統(tǒng)可以用一個(gè)Lotka-Volterra方程的經(jīng)典二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)表述：

d.-v

dz

山

.

一

出

這個(gè)方程極為容易理解。系統(tǒng)的兩個(gè)變量一個(gè)是羊的數(shù)量（X）,另一個(gè)是獅子的數(shù)

量（y）。第一項(xiàng)描述羊的芻然生長(zhǎng)率。第二項(xiàng)描述羊被吃的數(shù)量，X和y的乘積決定了

兩個(gè)物種相遇的機(jī)會(huì)，所以羊被吃的速率正比于xyo相應(yīng)的，獅子可以理解為由羊肉轉(zhuǎn)

化出來(lái)的，所以其增長(zhǎng)率正比于捕獲的羊數(shù)量（方程二第一項(xiàng)），方程二最后一項(xiàng)描述獅

子的死亡率。

那么，如何預(yù)測(cè)兩種物種數(shù)量變化？首先進(jìn)入相平面，我們看到系統(tǒng)的流形（每一點(diǎn)

的微分（dx,dy）構(gòu)成一個(gè)向量，畫(huà)出箭頭猶如流體力學(xué)的流速線）。然后我們分析定點(diǎn),

二維系統(tǒng)里含有兩個(gè)微分方程，如果一個(gè)微分方程為0,例如dx=0,我們將得到一個(gè)代

數(shù)關(guān)系x二k,xy.在相平面里這對(duì)應(yīng)一條線，即Nullclineo在這條線上，第一個(gè)變量處于平

衡態(tài)。同樣的，我們可以找到變量y的Nullcline,對(duì)應(yīng)相平面的另一條線，這兩條線如

果有交點(diǎn)，即二維系統(tǒng)的定點(diǎn)，或者說(shuō)系統(tǒng)的平衡態(tài)。

但本章討論的是穩(wěn)定性而非平衡態(tài)本身。

這個(gè)問(wèn)題可以很容易找到四條Nullcline和兩個(gè)定點(diǎn)：一個(gè)是（0,0）,另一個(gè)是第一

象限中的（a,b）o（0,0）代表兩個(gè)物種都滅絕了，這種情況是羊死光了才可能出現(xiàn)。假

設(shè)獅子死光了，那么羊就會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)（遠(yuǎn)離定點(diǎn)）。

在相平面上，就表現(xiàn)為動(dòng)力學(xué)流沿著y軸（對(duì)應(yīng)羊死光的情況）收斂為0,而沿著x

軸（對(duì)應(yīng)獅子死光的情況）發(fā)散，如圖4.5所示。

圖4.5

這一現(xiàn)象的隱含含義是（0,0）點(diǎn)在x方向上是不穩(wěn)定性定點(diǎn)，而在y方向上是穩(wěn)定

性定點(diǎn)。這種在一定方向上收斂，而在另一些方向上發(fā)散的定點(diǎn)，被稱(chēng)為SaddlePoint

（鞍點(diǎn)），因?yàn)槿S空間的勢(shì)能曲面形如馬鞍而得名，如圖4.6所示。

圖4.6

再看看第一象限內(nèi)的定點(diǎn)（a,b）,它描述兩個(gè)物種數(shù)量互相制約的平衡狀態(tài)，看似

是一個(gè)合理的結(jié)局。當(dāng)獅子和羊的數(shù)量達(dá)到平衡時(shí)，這不就是生態(tài)平衡嗎？如果這樣想，

那么就是停留在初中生物課本了。在這個(gè)定點(diǎn)周?chē)規(guī)讉€(gè)點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)出（dx,dy）的箭頭

即可知道，它們都不是朝向這一點(diǎn)，而是圍著這點(diǎn)轉(zhuǎn)圈。利用龐加萊大法可知，系統(tǒng)將永

不能陷入這個(gè)點(diǎn)。而是圍繞這個(gè)點(diǎn)形成閉合軌道，即振蕩。系統(tǒng)的兩個(gè)物種的初始數(shù)量只

要不是有一個(gè)滅絕或恰好開(kāi)始就匹配平衡，就都將形成一個(gè)振動(dòng)變化關(guān)系。

獅子和羊在固定系統(tǒng)里的數(shù)量里周期震蕩。圖4.7中上圖為相平面，下圖為兩個(gè)物種

數(shù)量隨時(shí)間的變化關(guān)系。

整個(gè)生態(tài)學(xué)可以用動(dòng)力學(xué)語(yǔ)言描述。其核心議題，即生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，正是動(dòng)力學(xué)

最擅長(zhǎng)分析的內(nèi)容。

Lotka-Volterra系統(tǒng)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有重要應(yīng)用。凱恩斯學(xué)派用以解釋勞動(dòng)雇用率和資

本的周期震蕩。這一理論把資本對(duì)應(yīng)為獅子，而勞動(dòng)雇用率是獵物，兩者總是不能自發(fā)地

處于定點(diǎn)（100%雇用率），而是進(jìn)入周而復(fù)始的震蕩狀態(tài)。

甚至整個(gè)凱恩斯的理論可以放入一個(gè)簡(jiǎn)化的二維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。生產(chǎn)和需求作為一對(duì)互

相追捕卻永遠(yuǎn)捕不到對(duì)方的對(duì)手，將陷入不停歇的振動(dòng)