江西省贛州市2025屆高三數(shù)學上學期1月期末考試理試題含解析

江西省贛州市2024屆高三數(shù)學上學期1月期末考試（理）試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.2.函數(shù)則（）A. B.0 C. D.23.若數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A. B. C.62 D.644.為了探討某班學生的右手一拃長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機抽取了12名學生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來直線方程為，已知，，，若某學生的右手一拃長為22厘米，據(jù)此估計其身高為（）A.175 B.179 C.183 D.1875.若復數(shù)（a，，為其共軛復數(shù)），定義：.則對隨意的復數(shù)，有下列命題：：；：；：；：若，則為純虛數(shù).其中正確的命題個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.46.程大位（1533~1606），明朝人，珠算獨創(chuàng)家.在其杰作《直指算法統(tǒng)宗》里，有這樣一道題：蕩秋千，平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記。仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素新奇，算出索長有幾？將其譯成現(xiàn)代漢語，其大意是，一架秋千當它靜止不動時，踏板離地一尺，將它向前推兩步（古人將一步算作五尺）即10尺，秋千的踏板就和人一樣高，此人身高5尺，假如這時秋千的繩索拉得很直，請問繩索有多長？（）A.14尺 B.14.5 尺C.15尺 D.15.5尺7.已知過拋物線C：的焦點F的直線l被C截得的弦長為8，則坐標原點O到l的距離為（）A. B. C. D.8.若綻開式的各項系數(shù)和為729，綻開式中的系數(shù)為（）A. B. C.30 D.909.直線與雙曲線E：（，）交于M，N兩點，若為直角三角形（其中O為坐標原點），則雙曲線E的離心率為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，的最小值為a，則實數(shù)a的值為（）A. B. C. D.111.在三棱錐中，，，且，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.12.已知，，，則（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13～21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22～23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，均為單位向量且夾角為45°，則________.14.已知tan，則__________.15.如圖，、、是同一平面內(nèi)的三條平行直線，與間的距離是1，與間的距離是2，等腰直角三角形的三頂點分別在、l2、上，則的斜邊長可以是__________（寫出一個即可）.16.斐波那契，意大利數(shù)學家，其中斐波那契數(shù)列是其代表作之一，即數(shù)列滿意，且，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列.已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，數(shù)列滿意，若數(shù)列的前12項和為86，則__________.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.（本小題滿分12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿意.（1）求B的值；（2）若與邊上的高之比為3∶5，且，求的面積.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面，且，，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19.（本小題滿分12分）設(shè)有標號為1，2，3，…，n的n個小球（除標號不同外，其余均一樣）和標號為1，2，3，…，n的n個盒子，將這n個小球隨意地放入這n個盒子，每個盒子放一個小球，若i（，2，3，…，n）號球放入了i號盒子，則稱該球放對了，否則稱放錯了.用表示放對了的球的個數(shù).（1）當時，求的概率；（2）當時，求的分布列與數(shù)學期望.20.（本小題滿分12分）已知橢圓C：（）過點且離心率為，過點作兩條斜率之和為0的直線，，交C于A，B兩點，交C于M，N兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在實數(shù)使得？若存在，懇求出的值，若不存在，說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），且曲線在處的切線方程為.（1）求實數(shù)m，n的值；（2）證明：對隨意的，有.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線l的一般方程和曲線C的直角坐標方程；（2）設(shè)點，直線l與曲線C的交點為A，B，求的值.23.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)的最小值為m.（1）求m的值；（2）設(shè)a，b，c為正數(shù)，且，求證：.

贛州市2024～2024學年度第一學期期末考試高三理科數(shù)學參考答案一、選擇題題號123456789101112答案ADCCBBCDBDCA12.解：由，得，由得，即，當時，令，，則，則在上單調(diào)遞增，則，即，即，則.或由對數(shù)平均不等式得，即，即.二、填空題13.1；14.；15.或或（三個任選一個）；16.8.16.解析：斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…….（特征：每三項中前兩項為奇數(shù)后一項為偶數(shù)）由得：，，，則，同理：，，，，，得：，，，，則，，則，則.三、解答題17.解：（1）由，由內(nèi)角和定理得： 1分進而得： 2分解得：，（舍去） 4分從而得. 6分（2）由題設(shè)知，不妨設(shè)， 7分由余弦定理得： 8分聯(lián)立得： 9分即，， 10分故，從而的面積 12分18.解：（1）連接，由題設(shè)，，得. 1分又，故，由余弦定理可得 2分從而有 3分又面且面，得 4分，故面 5分又面，所以面面 6分（2）法一：由（1）同理可得面， 6分以為坐標原點，,分別為x，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，， 7分由（1）知面，故面的一個法向量為 8分設(shè)面的法向量為，由，，結(jié)合，令，得 9分故的一個法向量為 10分記平面與平面夾角為，則有 12分（注：取的中點，連接，易證面，則為平面的一個法向量）法二：以為坐標原點，，分別為，軸的正方向建系，可得面的一個法向量為，面的一個法向量為19.證：（1）由題設(shè)知： 4分（2）的全部可能取值為0，1，2，3，5 5分 6分 7分 8分 9分 10分故的分布列為01235P故的數(shù)學期望為 12分20.解：（1）解得 3分∴橢圓C的方程為 4分（2）∵直線與的斜率之和為0，令直線的斜率為，則直線的斜率為，令，，則的方程為， 6分則， 7分則直線的斜率為，令，，同理：， 8分，， 10分同理： 11分，所以存在實數(shù) 12分方法二（2）∵直線與的斜率之和為0，令直線的傾斜角為，則直線的斜率為傾斜角為 5分令直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） 6分代入得：即 7分令點，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，則 9分同理：令直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）代入得：即令點，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則 10分則 11分則，所以存在實數(shù) 12分21.解：（1）由，得 1分由題意知： 3分 4分（2）記 5分則記記 6分明顯在上單調(diào)遞增，且當時，；當時，；所以在上遞減，在上遞增，故 7分（注：這里的符號也可以通過來說明.）又，故存在唯一，，使得 8分故當時，；當時，；即在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 9分且，，故存在唯一，使 10分故當時，；當時，.所以在與單調(diào)遞減，在與上遞增 11分故是與中的較小值，又且，故恒成立.證畢 12分22.解：（1）直線l的一般方程為. 2分由