河北省衡水中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期四調(diào)試題含解析

河北省衡水中學(xué)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期四調(diào)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.實(shí)軸上 B.虛軸上C.第一、三象限的角平分線上 D.其次、四象限的角平分線上【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得出，然后在利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一、三象限的角平分線上．故選：.2.已知向量，滿意，，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)及相關(guān)公式求出，再依據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由，得，則，即，則，所以向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.故選：.3.在直角三角形中，，則（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的定義即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉橹苯侨切?，且，所?且,所以.故選:A.4.設(shè)，，為平面內(nèi)隨意三點(diǎn)，則“與的夾角為鈍角”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，，利用利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及余弦定理，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷即可.【詳解】設(shè)與的夾角為（），，當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，所以，所以，所以，所以為鈍角或，所以“與的夾角為鈍角”是“”的充分不必要條件，故選：B5.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割．所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為．其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)建的．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由黃金分割比可得，結(jié)合矩形的特征可用表示出，再利用向量加減法法則及數(shù)乘向量運(yùn)算法則即可作答.【詳解】在矩形ABCD中，由已知條件得O是線段EG中點(diǎn)，，因，由黃金分割比可得，于是得，即有，同理有，而，即，從而有，所以.故選：D6.已知復(fù)數(shù)z滿意，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)相等，得出的關(guān)系式，消去得到關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，利用，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，整理得：,所以，消去得,因?yàn)榉匠逃薪?，所以，解得?故選：D.7.已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：甲：；乙：；丙：；?。海偃缰挥幸粋€(gè)等式不成立，則該等式為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)向量等式推導(dǎo)出甲中P為△ABC的重心，乙中△ABC為直角三角形，丙中P為△ABC的外心，丁中P為△ABC的垂心，故得到當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【詳解】甲：，則，故P為△ABC的重心；乙：，則，故，即△ABC為直角三角形；丙：點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故P為△ABC的外心；丁：，則，同理可得：，即P為△ABC的垂心，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，滿意要求，當(dāng)乙成立時(shí)，其他三個(gè)均不肯定成立.故選：B．8.對于給定的正整數(shù)，設(shè)集合，，且?．記為集合中的最大元素，當(dāng)取遍的全部非空子集時(shí)，對應(yīng)的全部的和記為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)的定義，推出的表達(dá)式，再計(jì)算即可.【詳解】依據(jù)題意知A為集合的非空子集，滿意的集合只有1個(gè)，即；滿意集合有2個(gè)，即{2}，{1，2}；滿意的集合有4個(gè)，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；滿意的集合有個(gè)，所以，則，兩式相減得，所以，所以；故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)非零向量的夾角為為隨意非零向量，定義運(yùn)算，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.C. D.若，則的最大值為1【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)的定義，以及向量運(yùn)算規(guī)則逐項(xiàng)分析.【詳解】對于A，因?yàn)?，并且，所以，解得或，所以，故選項(xiàng)A正確；對于B，不妨取，設(shè)與的夾角，與的夾角為，與的夾角為，則，，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，，故選項(xiàng)C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.10.已知復(fù)數(shù)滿意，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)計(jì)算的規(guī)則逐項(xiàng)分析.【詳解】設(shè)則，不滿意，也不滿意，故選項(xiàng)AC錯(cuò)誤；對于B，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，且，由向量加法幾何意義知，故，故選項(xiàng)B正確；對于D，設(shè)，則，所以，，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.11.如圖放置邊長為1的正方形的頂點(diǎn)，分別在軸的正半軸、軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則的值可能是（）A B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，由邊長為1的正方形的頂點(diǎn)，分別在軸的正半軸、軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，可得出的坐標(biāo)，由此可表示出兩個(gè)向量，算出它們的內(nèi)積即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，，，故，，所以．同理可得，所以，所以．因?yàn)?，所以，則，故的值可能是，2．故選：12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，對隨意的，，恒有，則下列說法正確的有（）A. B.必為奇函數(shù)C. D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】賦值法求的值，推斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，推斷B；賦值法結(jié)合換元法推斷C;利用賦值法求得的值有周期性，即可求得的值，推斷D.【詳解】對于A，令，則由可得，故或，故A錯(cuò)誤；對于B,當(dāng)時(shí)，令，則，則，故，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，則，所以，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；綜合以上可知必為奇函數(shù)，B正確；對于C，令，則，故。由于,令,即，即有，故C正確；對于D，若，令，則，則，故令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且6個(gè)為一周期，且，故，故D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和特別值以及求函數(shù)值的和的問題，涉及到導(dǎo)數(shù)問題，綜合性強(qiáng)，對思維實(shí)力要求高，解答的關(guān)鍵是利用賦值法確定的周期性.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則的虛部是_______．【答案】##【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的概念與四則運(yùn)算求解【詳解】由題意化簡得，故故z的虛部是，故答案為：14.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則___________.【答案】【解析】【分析】由題知，進(jìn)而解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)在時(shí)取得最值，所以，結(jié)合協(xié)助角公式得：，即，整理得：，解得.故答案為：15.在中，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，有下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③．則全部正確結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】①【解析】【分析】依據(jù)條件知是等邊三角形，建立直角坐標(biāo)系，用平面對量逐項(xiàng)分析.【詳解】因?yàn)椋允堑冗吶切?，取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為軸，OA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，所以，，，即，故①正確；，故②錯(cuò)誤；，故③錯(cuò)誤；故答案為：①.16.已知向量，滿意，，，則向量與的夾角的最大值是_______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)條件化簡整理可得，然后利用向量的夾角公式和均值不等式即可求解.【詳解】由，得．又由，得，則，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以向量與的夾角的最大值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)復(fù)數(shù)，，其中.（1）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求的值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算可得，再列出等量關(guān)系，求解即可；（2）先計(jì)算，結(jié)合和余弦函數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【小問1詳解】由題意，若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則故，解得：【小問2詳解】由題意，，由于，故故故故的取值范圍是18.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知的外接圓半徑，且．（1）求B和b的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1），b=2；（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系切化弦得，再由正弦的和角公式化簡可求得B，再利用正弦定理可求得b；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面積公式可求得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，，即，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又的外接圓半徑，所以由正弦定理得；【小問2詳解】解：由余弦定理得，由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故面積的最大值為．19.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，E為CD中點(diǎn)，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，依題意可得，從而得到的坐標(biāo)，再依據(jù)，即可得到，依據(jù)平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）依題意可得的坐標(biāo)，依據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【小問1詳解】在平行四邊形中，，，，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，，為中點(diǎn)，故，，故，，，，，所以，；【小問2詳解】由（1）可知，，，，所以，，，對稱軸為．，當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，最小值為，所以．20.若函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，，由函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)求出，確定函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義與斜率公式列出方程，得到，設(shè)，通過探討其單調(diào)性，極值狀況，求出的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，因，所以，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以．【小問2詳解】，因?yàn)榍€方程為，，點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿意，因?yàn)?，故切線的斜率為，整理得：，因?yàn)檫^點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根．設(shè)，則，由，得，，得或，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為，，所以關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根的必要條件是，解得：，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，必有三個(gè)實(shí)根，故所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】過函數(shù)上某一點(diǎn)的切線條數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)探討函數(shù)單調(diào)性，極值和最值狀況，從而解決問題.21.治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措．去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬噸，通過擴(kuò)大宣揚(yáng)、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)料從今年起先，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年削減20萬噸，從第6年起先，每年的垃圾排放量為上一年的．（1）寫出S市從今年起先的年垃圾排放量與治理年數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)為從今年起先n年內(nèi)的年平均垃圾排放量．假如年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，則認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無效，試推斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說明理由．【答案】（1）（2）有效，理由見詳解【解析】【分析】（1）分別求出當(dāng)時(shí)和時(shí)的通項(xiàng)公式，即可得到年垃圾排放量的表達(dá)式；（2）先依據(jù)，利用作差法，可證明數(shù)列為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢【小問1詳解】設(shè)治理年后，S市的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列.當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表達(dá)式為【小問2詳解】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．由于由（1）知，時(shí)，，所以為遞減數(shù)列，時(shí)，，所以為遞減數(shù)列，且，所以為遞減數(shù)列，于是因此，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的22.已知函數(shù)（1）求證：；（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將所證不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，并求出最小值證明即可；（2）令，再求導(dǎo)分，和三種狀況探討可得的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得的零點(diǎn)區(qū)間，進(jìn)而推斷出有最大值即可.【小問1詳解】要證明，只要證明設(shè)，則，令，則；令，則，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，即，即．【小問2詳解】由題可得，令，則，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，無