浙江專(zhuān)用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿(mǎn)分沖刺卷第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)梳理新人教A版

第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)問(wèn)梳理一、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)假如當(dāng)Δx→0時(shí)，平均改變率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱(chēng)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)瞬時(shí)改變率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x改變時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱(chēng)它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線(xiàn)的斜率，相應(yīng)的切線(xiàn)方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x).5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，假如通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.常用結(jié)論：1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，則(f(x0))′＝0.2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f（x）)))′＝－eq\f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).3.曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不肯定只有一個(gè)，而直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)相切只有一個(gè)公共點(diǎn).4.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)改變趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了改變的方向，其大小|f′(x)|反映了改變的快慢，|f′(x)|越大，曲線(xiàn)在這點(diǎn)處的切線(xiàn)越“陡”.二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.常用結(jié)論：1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的微小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a旁邊其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a旁邊的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0.則a叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值.(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b旁邊其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b旁邊的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0.則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.(3)微小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，微小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值.2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：假如在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.常用結(jié)論：1.求最值時(shí)，應(yīng)留意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，須要分類(lèi)探討，不行想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與微小值之間沒(méi)有必定的大小關(guān)系.解壓軸題學(xué)問(wèn)拓展（五大類(lèi)方法技巧）：（指對(duì)同構(gòu)、洛必達(dá)法則、極值點(diǎn)偏移、指數(shù)、對(duì)數(shù)均值不等式等機(jī)技巧具體解剖）：①方法技巧：指對(duì)同構(gòu)在解決指對(duì)混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來(lái)的，假如我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù))，無(wú)疑大大加快解決問(wèn)題的速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱(chēng)為同構(gòu)法.(1)五個(gè)常見(jiàn)變形：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝lnxex，x－lnx＝lneq\f(ex,x).(2)三種基本模式①積型：aea≤blnbeq\o(→,\s\up17(三種同構(gòu)方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤（lnb）elnb……f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb……f（x）＝xlnx，,取對(duì)：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）……f（x）＝x＋lnx，))②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)eq\o(→,\s\up17(三種同構(gòu)方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)……f（x）＝\f(x,lnx)，,取對(duì)：a－lna＜lnb－ln（lnb）……f（x）＝x－lnx，))③和差型：ea±a＞b±lnbeq\o(→,\s\up17(兩種同構(gòu)方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb……f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb……f（x）＝x±lnx.))②方法技巧洛必達(dá)法則在解決不等式恒(能)成立，求參數(shù)的取值范圍這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，最常用的方法是分別參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，但在求最值時(shí)假如出現(xiàn)“eq\f(0,0)”型或“eq\f(∞,∞)”型的代數(shù)式，就設(shè)法求其最值.“eq\f(0,0)”型的代數(shù)式，是高校數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的有效方法就是利用洛必達(dá)法則.洛必達(dá)法則法則1若函數(shù)和滿(mǎn)意下列條件：(1)及；(2)在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；(3)，那么=。法則2若函數(shù)和滿(mǎn)意下列條件：(1)及；(2)，和在與上可導(dǎo)，且；(3)，那么=。③方法技巧極值點(diǎn)偏移(1)極值點(diǎn)不偏移已知函數(shù)f(x)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)x0，若f(x)＝c的兩根的中點(diǎn)剛好滿(mǎn)意eq\f(x1＋x2,2)＝x0，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是說(shuō)極值點(diǎn)沒(méi)有偏移.此時(shí)函數(shù)f(x)在x＝x0兩側(cè)，函數(shù)值改變快慢相同，如圖(1).圖(1)(無(wú)偏移，左右對(duì)稱(chēng)，二次函數(shù))若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2x0.(2)極值點(diǎn)偏移若eq\f(x1＋x2,2)≠x0，則極值點(diǎn)偏移，此時(shí)函數(shù)f(x)在x＝x0兩側(cè)，函數(shù)值改變快慢不同，如圖(2)(3).圖(2)(左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＞2x0；圖(3)(左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＜2x0.(3)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的常見(jiàn)解法①(對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法)構(gòu)造協(xié)助函數(shù)：對(duì)結(jié)論x1＋x2＞2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；對(duì)結(jié)論x1x2＞xeq\o\al(2,0)型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),x)))，通過(guò)探討F(x)的單調(diào)性獲得不等式.②(比值代換法)通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.④方法技巧指數(shù)、對(duì)數(shù)均值不等式極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)重要工具就是指數(shù)均值不等式和對(duì)數(shù)均值不等式.一、對(duì)數(shù)均值不等式結(jié)論1對(duì)隨意的a，b＞0(a≠b)，有eq\r(ab)＜eq\f(a－b,lna－lnb)＜eq\f(a＋b,2).證明不妨設(shè)a＞b＞0(0＜a＜b時(shí)同理可得)首先，由eq\r(ab)＜eq\f(a－b,lna－lnb)等價(jià)于lna－lnb＜eq\f(a－b,\r(ab))，即lneq\f(a,b)＜eq\f(\f(a,b)－1,\r(\f(a,b))).令x＝eq\r(\f(a,b))＞1，只要證lnx2＜eq\f(x2－1,x)，即證2xlnx－x2＋1＜0.令f(x)＝2xlnx－x2＋1(x＞1)，則f′(x)＝2lnx＋2－2x，f″(x)＝eq\f(2,x)－2＜0，f′(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞減，f′(x)＜f′(1)＝0，f(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞減，即f(x)＜f(1)＝0.故eq\r(ab)＜eq\f(a－b,lna－lnb).其次，eq\f(a－b,lna－lnb)＜eq\f(a＋b,2)等價(jià)于lna－lnb＞eq\f(2（a－b）,a＋b)，即lneq\f(a,b)＞eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)－1)),\f(a,b)＋1).令x＝eq\f(a,b)＞1，只要證lnx＞eq\f(2（x－1）,x＋1)，即證(x＋1)lnx－2x＋2＞0.設(shè)g(x)＝(x＋1)lnx－2x＋2(x＞1)，同理可證g(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，有g(shù)(x)＞g(1)＝0.故eq\f(a－b,lna－lnb)＜eq\f(a＋b,2).二、指數(shù)均值不等式結(jié)論2對(duì)隨意實(shí)數(shù)m，n(m≠n)，有eeq\f(m＋n,2)＜eq\f(em－en,m－n)＜eq\f(em＋en,2).證明在指數(shù)均值不等式中，令em＝a、en＝b，則m＝