浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中聯(lián)考試題含解析

Page15浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中聯(lián)考試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．3．全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導，然后干脆驗證答案可得.【詳解】因為，，，所以ACD錯誤，B正確.故選：B2.函數(shù)的最小正周期是（）A.π B.2π C.3π D.4π【答案】A【解析】分析】化簡得出，即可求出最小正周期.【詳解】，最小正周期故選：A.3.曲線在點處的切線方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設，，曲線在點處的切線方程為化為，故選B.【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線，屬于簡潔難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.4.寧波某中學某次高二年級測試，經(jīng)抽樣分析，成果X近似聽從正態(tài)分布，且，該校有500人參與此次測試，估計該校數(shù)學成果不低于96分的學生人數(shù)為（）A.60 B.80 C.100 D.120【答案】C【解析】【分析】先求出，再由對稱性得，再求人數(shù)即可.【詳解】由題意知：，，則學生人數(shù)為人.故選：C.5.已知是第四象限角，且，（）A.7 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系求出、，再由兩角和的正切公式計算可得；【詳解】解：因為且，所以，又是第四象限角，所以，所以，所以；故選：D6.定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（）

A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得微小值【答案】D【解析】【分析】先由函數(shù)圖像得到在各區(qū)間上的正負，再推斷單調(diào)性及極值即可.【詳解】由圖像知：當時，，當時，，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A錯誤，B錯誤；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C錯誤；函數(shù)在單減，在上單增，在處取得微小值，D正確.故選：D.7.甲、乙、丙、丁四名同學分別從籃球、足球、排球、羽毛球四種球類項目中選擇一項進行活動，則四名同學所選項目各不相同且只有乙同學選籃球發(fā)生的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分步乘法計數(shù)原理可得總的選法，然后特別元素優(yōu)先排可得滿意題意的選法，再由古典概型概率公式可得.【詳解】四名同學從四種球類項目中選擇一項，每人有4種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可得總的選法有種，由于乙同學選籃球，且四名同學所選項目各不相同，所以問題相當于將足球、排球、羽毛球三種球類項目分別安排給甲、丙、丁3位同學，共種，所以所求概率.故選：B8.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意在上恒成立，依據(jù)二倍角公式得到，令，即，恒成立，參變分別可得，再構造函數(shù)，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解；【詳解】解：在區(qū)間上是增函數(shù)，在上恒成立，，因為，所以令，則，即，，，令，，則，在上單調(diào)遞減，，即，故選：A．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．9.(多選)設P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，則（）A.P(AB)＝ B.P(AB)＝C.P(B)＝ D.P(B)＝【答案】AC【解析】【分析】【詳解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.10.下列說法正確的是（）A.是其次象限角 B.已知，則C. D.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為3【答案】ACD【解析】【分析】由終邊相同角的性質(zhì)推斷A；由誘導公式推斷B；由倍角公式推斷C；由弧長公式得出半徑，進而得出扇形面積.【詳解】，是其次象限角，則是其次象限角，故A正確；，，故B錯誤；，故C正確；設扇形的半徑為，則，則，故D正確；故選：ACD11.的綻開式中（）A.常數(shù)項為8 B.常數(shù)項為16 C.的系數(shù)為32 D.的系數(shù)為40【答案】BD【解析】【分析】由結合二項綻開式求解即可.【詳解】，常數(shù)項為，A錯誤，B正確；含的項為，則的系數(shù)為40，C錯誤，D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)在（0，+）上的最小值為3，直線l表達式為，則下列結論正確的是（）A.實數(shù) B.當時，l是曲線的切線C.存在直線l與曲線相切且與有2個公共點 D.曲線與直線l可能有4個公共點【答案】AC【解析】【分析】對函數(shù)進行求導，通過導數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)侏得時，取得最小值，進而可推斷A;對B，推斷方程是否有解；對C，利用導數(shù)的幾何意義；對D，轉(zhuǎn)化為三次方程的根的個數(shù)；【詳解】對A，因為,因為,所以時，取得最小值，所以,所以.故A正確；對B，設切點為,又因為，所以切線滿意斜率,方程無解，故B錯誤；對C，設切點，則，切線方程為，因為切線過點，所以，即，令，所以，令，，或；，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；，，所以，使得，所以，聯(lián)立方程與可得：，，令，則，令或，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以在僅有一個零點，故C正確；對D，方程在上至多有三個根，故D錯誤；故選：AC非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.甲從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取4次，記摸得白球個數(shù)為X，若，則___________，____________．【答案】①.4②.【解析】【分析】先推斷出，再由二項分布的期望方差公式求解即可.【詳解】由題意知：，則，解得；.故答案為：4；.14.設函數(shù)的導函數(shù)為，且，則___________．【答案】【解析】【分析】求導，將代入導函數(shù)可得，然后可得.【詳解】因為所以，整理得所以所以.故答案為：15.冬奧會首金誕生于短道速滑男女混合接力賽，賽后4位運動員依次接受采訪，曲春雨要求不第1個接受采訪，武大靖在任子威后接受采訪（可以不相鄰），則采訪支配方式有__________種．【答案】9【解析】【分析】先考慮曲春雨，再結合倍縮法解確定序問題考慮剩下的3位選手，最終由分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】先考慮曲春雨，有3種采訪支配，再考慮剩下的3位選手，武大靖在任子威后，有種，依據(jù)分步計數(shù)原理共有種.故答案為：9.16.已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的導函數(shù)，由條件是函數(shù)的唯一極值點，說明在上無解，或有唯一解，求實數(shù)的取值【詳解】的定義域為是函數(shù)的唯一極值點是導函數(shù)的唯一根（Ⅰ）在無變號零點令，則，即在上單調(diào)遞增此時（Ⅱ）當在有解時，此時，解得此時在和上均單調(diào)遞增，不符合題意故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的二項式綻開式的各項二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和均為128，（1）求綻開式中全部的有理項；（2）求綻開式中系數(shù)最大的項．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)二項式系數(shù)和性質(zhì)，以及二項式系數(shù)和為，可得，解出，再由通項公式，再寫出有理項；（2）由通項得出綻開式中系數(shù)最大的項．【小問1詳解】二項綻開式的各二項式系數(shù)的和為，各項系數(shù)的和為由已知得，故，此時綻開式的通項為：，當時，該項為有理項，故綻開式中全部的有理項為，【小問2詳解】綻開式通項為，，故二項式系數(shù)最大時系數(shù)最大，即第或第項系數(shù)最大，即系數(shù)最大的項為，；18.已知函數(shù)（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）2（2）最大值為3，最小值為.【解析】【分析】（1）先由倍角公式和協(xié)助角公式得到，再代入計算即可；（2）先求出，再由正弦函數(shù)的最值求解即可.【小問1詳解】

，則；【小問2詳解】由得，則，則，即在區(qū)間上的最大值為3，最小值為.19.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當時，函數(shù)在上的最小值為2，求實數(shù)a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)換為恒成立問題即在上恒成立，進行求解即可；（2）求導可得，依據(jù)，進行探討，由單調(diào)性求最值即可得解.【小問1詳解】∵，∴∵在上是增函數(shù)，∴在上恒成立，即在上恒成立.∴.【小問2詳解】由（1）得，.①若，在上恒成立，此時在上是增函數(shù).所以，解得（舍去）.②若時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以，解得綜上，20.某中學設計了一個生物試驗考查方案：考生從5道備選題中一次性隨機抽取3題，依據(jù)題目要求獨立完成全部試驗操作，規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過，已知5道備選題中考生甲有3道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學期望；（2）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的試驗操作實力．【答案】（1）分布列見解析，期望均為；（2）見解析【解析】【分析】（1）先求出甲正確完成的題目為1，2，3，乙正確完成的題目為0，1，2，3，分別計算對應的概率，列出分布列計算期望即可；（2）干脆比較兩人完成題數(shù)的數(shù)學期望及至少正確完成2題的概率即可做出推斷.【小問1詳解】設甲、乙兩考生正確完成題數(shù)分別為，則，，則甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列為：123數(shù)學期望；易得，，，則乙考生正確完成題數(shù)的概率分布列為：0123數(shù)學期望；【小問2詳解】由（1）知：，從期望上看兩人水平相當；，，因為，則甲通過的可能性要大于乙，因此可以推斷甲的試驗操作實力更強.21.某中學調(diào)查暑假學生居家每天熬煉時間狀況，從高一、高二年級學生中分別隨機抽取100人，由調(diào)查結果得到如下的頻率分布直方圖：

（1）求的值，并求高一、高二全體學生中隨機抽取1人，該人每天熬煉時間超過40分鐘的概率；（2）在高一、高二學生中各隨機抽取1人，求至少有一人的熬煉時間小于30分鐘的概率；（3）由頻率分布直方圖可以認為，高二學生熬煉時間Z聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學生熬煉時間相互獨立，設X表示從高二學生中隨機抽取50人，其熬煉時間位于的人數(shù)，求X的數(shù)學期望．注：①計算得標準差；②若，則：，．【答案】（1），概率為；（2）0.84；（3）17.065【解析】【分析】（1）由頻率和為1求出即可，干脆由古典概型計算概率即可；（2）先分別求出在高一、高二學生中隨機抽取1人，熬煉時間小于30分鐘的概率，再由對立事務計算至少有一人的熬煉時間小于30分鐘的概率即可；（3）先求出，再由二項分布期望公式求解即可.【小問1詳解】，解得，該人每天熬煉時間超過40分鐘的概率為；【小問2詳解】設事務在高一學生中隨機抽取1人，熬煉時間小于30分鐘，事務在高二學生中隨機抽取1人，熬煉時間小于30分鐘，事務在高一、高二學生中各隨機抽取1人，至少有一人熬煉時間小于30分鐘，則，，則；【小問3詳解】，又，則，從而，則，依題意知：，則.22.已知函數(shù)，（1）探討單調(diào)性；（2）構造函數(shù)若對于隨意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，對a進行探討，解導數(shù)不等式，即可得到函數(shù)單調(diào)性;（2）由題意可將原不等式變形為，構造函數(shù)，不等式可變?yōu)?，求導推斷函?shù)的單調(diào)性，可得，通過分別參數(shù)，構造函數(shù)即可得到答案.【小問1詳解】的定義域為，，當時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，時，則：當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減