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2025屆廣東省汕頭金山中學(xué)高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.2.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.3.記等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為.若,,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)),若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.5.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.116.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,,以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為,若直線與圓相切,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.7.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a8.設(shè)是虛數(shù)單位,則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件9.已知集合,,則為()A. B. C. D.10.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則不等式的解集用區(qū)間表示為__________.14.能說明“在數(shù)列中,若對(duì)于任意的,,則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.(寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式)15.已知二面角α﹣l﹣β為60°,在其內(nèi)部取點(diǎn)A,在半平面α,β內(nèi)分別取點(diǎn)B,C.若點(diǎn)A到棱l的距離為1,則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為_____.16.已知為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍18.(12分)如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,,,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.19.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,側(cè)棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.20.(12分)已知函數(shù),,(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且此時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21.(12分)在中,.(1)求的值;(2)點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),設(shè),求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡(jiǎn)得,所以為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】,選B3、C【解析】

由,和,可求得,從而求得和,再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,還考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.4、A【解析】

若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,分別畫出與的圖象,結(jié)合圖象可得.【詳解】解:,∴,設(shè),∴,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,∴,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,函數(shù)恒過點(diǎn),分別畫出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實(shí)數(shù)m的最大值為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、D【解析】

由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長(zhǎng)度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長(zhǎng)度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長(zhǎng)度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長(zhǎng)度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.6、B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),根據(jù)題意,得到,再由,根據(jù)勾股定理求出,從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形,所以,又因?yàn)閳A與直線的切點(diǎn)為,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此漸近線的方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程,熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.7、C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設(shè),此時(shí)復(fù)數(shù),不是純虛數(shù),所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

分別求解出集合的具體范圍,由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因?yàn)榧?,,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算,考查基本運(yùn)算能力.10、C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域,作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最大值.【詳解】解:作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,如下圖表示:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值,最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.11、A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示:利用數(shù)形結(jié)合思想可知:不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.12、A【解析】

準(zhǔn)確畫圖,由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo),代入圓的方程得到c與a關(guān)系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn),由對(duì)稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點(diǎn)在圓上,,即.,故選A.【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時(shí)注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運(yùn)算繁瑣,準(zhǔn)確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題,需強(qiáng)化練習(xí),才能在解決此類問題時(shí)事半功倍,信手拈來.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè),則,由題意可得故當(dāng)時(shí),由不等式,可得,或求得,或故答案為(14、答案不唯一,如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知,不妨設(shè),則,很明顯為遞減數(shù)列,說明原命題是假命題.所以,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列,還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對(duì)稱性三角形ADC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)長(zhǎng)度最短,結(jié)合對(duì)稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對(duì)稱性三角形ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)M,B,C,N共線時(shí),周長(zhǎng)最小為MN設(shè)平面ADE交l于,O,連接OD,OE,顯然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根據(jù)余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查求空間三角形邊長(zhǎng)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對(duì)稱關(guān)系,結(jié)合解三角形知識(shí)求解.16、【解析】

,所以有,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由已知,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題,采用的是“1”的替換,也可以消元等,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)通過討論x的范圍,得到關(guān)于x的不等式組,解出取并集即可;(Ⅱ)求出f(x)的最大值,得到關(guān)于a的不等式,解出即可.試題解析:(1)不等式等價(jià)于或或,解得或,所以不等式的解集是;(2),,,解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.18、(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)由直徑所對(duì)的圓周角為,可知,通過計(jì)算,利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形,所以有.由已知可以證明出,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面,利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量,利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式,可以求出二面角的余弦值.【詳解】解:(1)證明:因?yàn)榘雸A弧上的一點(diǎn),所以.在中,分別為的中點(diǎn),所以,且.于是在中,,所以為直角三角形,且.因?yàn)椋?所以.因?yàn)椋?,,所以平?又平面,所以平面平面.(2)由已知,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得.設(shè)平面的法向量,則即,取,得.所以,又二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問題.19、(1)見解析;(2).【解析】

(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,因?yàn)?,所?又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因?yàn)?,所以,,,平面,又平面,平面平面;?)由于是底面直角三角形的斜邊的中點(diǎn),所以點(diǎn)是的外心,由(1)知平面,所以三棱錐的外接球的球心在上.在中,的垂直平分線與的交點(diǎn)即為球心,記的中點(diǎn)為點(diǎn),則.由與相似可得,所以.所以三棱錐外接球的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,同時(shí)也考查了三棱錐外接球體積的計(jì)算,找出外接球球心的位置是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)時(shí),在上單調(diào)遞增,時(shí),在上遞減,在上遞增.(2).【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)定義域是,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),令得,時(shí),,遞減,時(shí),,遞增,綜上所述,時(shí),在上單調(diào)遞增,時(shí),在上遞減,在上遞增.(2)易知,由函數(shù)單調(diào)性,若有唯一零點(diǎn),則或.當(dāng)時(shí),,,從而只需時(shí),恒成立,即,令,,在上遞減,在上遞增,∴,從而.時(shí),,,令,由,知在遞減,在上遞增,,∴.綜上所述,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可

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