2025屆安徽省肥東圣泉中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆安徽省肥東圣泉中學(xué)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．83．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，4．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A． B． C．或 D．5．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．已知類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分開來，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件類產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類產(chǎn)品時(shí)，檢測(cè)結(jié)束，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為（）A． B． C． D．8．中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（）A． B． C． D．9．以下三個(gè)命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．010．“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．11．已知復(fù)數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i12．命題“”的否定為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào)，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.14．已知點(diǎn)P是直線y=x+1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線y=x2上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則15．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生，6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士，其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地，共有__________種選派方法.16．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則向量的坐標(biāo)為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn).18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）若，求證：（2）若，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.（1）設(shè)函數(shù)（）.①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，，）存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”，，且，求a的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．22．（10分）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必有解，則，且，∴．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).（2）已知函數(shù)求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗(yàn)f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.2、C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值，第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件，即在上有解，即可得出結(jié)論.【詳解】，若在上不單調(diào)，令，則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)（可以用二分法求得）.當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，只需或，解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法，屬于中檔題.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等，求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8、A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題．【詳解】解：.故選：A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無(wú)明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0；故②為真命題；③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、D【解析】

兩邊同乘-i，化簡(jiǎn)即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i，選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為12、C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.14、3【解析】

過點(diǎn)Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，當(dāng)直線相切時(shí)距離最小，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，y=x2，則y'=2x=1，x=1點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，故M在直線y=x+38時(shí)距離最小，故故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，轉(zhuǎn)化為切線問題是解題的關(guān)鍵.15、24【解析】

先求出每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)，再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解：每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有，若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有，則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問題，正難則反，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

點(diǎn)在的平分線可知與向量共線，利用線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，利用向量的坐標(biāo)求向量的模，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，所以平面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥.又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以∥，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題.18、（1）（2）【解析】

（1）按進(jìn)行分類，得到等價(jià)不等式組，分別解出解集，再取并集，得到答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，按和分類討論，分別得到不等式恒成立時(shí)對(duì)應(yīng)的的范圍，再取交集，得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于或或，解得或或，所以不等式的解集為：.（2）依題意即在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，，即，所以對(duì)恒成立∴，得；當(dāng)時(shí)，，即，所以對(duì)任意恒成立，∴，得∴，綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式，分類討論研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）（﹣∞，0]【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求x＜0時(shí)，f（x）的極大值為，即證（2）等價(jià)于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函數(shù)g(x)的最小值得解.【詳解】（1）∵函數(shù)f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）內(nèi)遞增，在（﹣，0）內(nèi)遞減，在（0，+∞）內(nèi)遞增，∴f（x）的極大值為，∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，則g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且x→0+時(shí)，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h(yuǎn)（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，0]．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用證明不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）①極小值為1，無(wú)極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性，即得極值；②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”（），即是的零點(diǎn)，那么由導(dǎo)數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設(shè)，由的單調(diào)性可得，即得.（2）方法一：先求的導(dǎo)數(shù)，存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”，，可以由和韋達(dá)定理表示出，的關(guān)系，再由，可得的關(guān)系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和，可知，是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”，不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”，進(jìn)行討論即得.【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在處取得極小值，極小值為1，無(wú)極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”（）.（），是函數(shù)的零點(diǎn).，由，得，，由，得，即.設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增，注意到，所以方程存在唯一實(shí)根1，所以，得，根據(jù)①知，時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上，得實(shí)數(shù)k的值為1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和，，是關(guān)于x的方程（）的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又，，，即，從而，，即..，，解得.所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）（解法2）因?yàn)椋╝，