基本不等式（第一課時）課件-2024-2025學年高一上學期數學人教A版（2019）必修第一冊

2.2基本不等式

（第一課時）教學目標：1.推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義.2.會用基本不等式解決簡單問題.教學重點：準確熟練運用基本不等式教學難點：將問題轉化為基本不等式解決復習引入性質別名性質內容注意1對稱性a>b?a<b?2傳遞性a>b，b>c?a>c?3可加性a>b?a＋c>b＋c?4可乘性a>b，c>0?ac>bc；

a>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向同正7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)8可開方性a>b>0?(n∈N*，n≥2)探索新知重要不等式:

?a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（當且僅當a=b時，等號成立）思考如果a>0,b>0,我們用分別代替上式中的a,b,

可以等到什么的結果？?a,b∈R，有a2+b2

≥2ab（當且僅當a=b時，等號成立）探索新知可以得到：通常把上式寫作：通常稱上述不等式為基本不等式．其中，叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．↑算術平均值↑幾何平均值代數解釋：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。思考我們如何來證明基本不等式呢？證明：

（當且僅當a=b時，等號成立）方法一（作差法）證明：思考除了可以用作差法證明，我們還可以用其它方法嗎？下面我們來分析一下。方法二顯然，（3）成立，當且僅當a=b時，等號成立。這是一種執(zhí)果索因的證明方法，叫做分析法。只要把上述過程倒過來，就是我們熟悉的方法了。思考除了可以用作差法證明，我們還可以用其它方法嗎？下面我們來分析一下。方法三（綜合法）當且僅當a=b時，等號成立。探索

如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋？如圖，可證△ACD∽△DCB，則CD=，半徑為，圓的半徑大于或等于CD，用不等式表示為，當且僅當點C與圓心重合，即當a＝b時，上述不等式的等號成立．幾何解釋：在同一圓中，圓的半徑不小于半弦。還有其它的解釋嗎例題精講例1.已知x>0，求

的最小值思考例題精講例2.已知a，b都是正數，滿足a+b=18，求

ab的最大值.當且僅當a=b=9時，等號成立因此所求最大值為81.思考：你能從例1和例2中得出怎樣的結論？積定和最小，和定積最大利用不等式應注意哪些條件？一正二定三相等課堂練習已知x，y都是正數，且x≠y，求證：課堂練習已知x，y都是正數，且x≠y，求證：例題精講例3.已知x

，y都是正數，求證：

（1）若xy

等于定值P，那么當x=y時，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么當x=y時，xy

取得最大值.例題精講例3.已知x

，y都是正數，求證：

（1）若xy

等于定值P，那么當x=y時，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么當x=y時，xy

取得最大值.課堂總結基本不等式：利用基本不等式求最值時，需滿足:（1）a，b必須是正數.（正）（2）當a+b為定值時，便可求ab的最大值；

當ab為定值時，便可求a+b的最小值.

（定）（3）當且僅當a=b時，等式成立.

（相等）課后練習1.已知x＞0，求