2025年新高考數(shù)學一輪復習第3章重難點突破06證明不等式問題(十三大題型)(學生版+解析)

重難點突破06證明不等式問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 2題型一：直接法 2題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造） 3題型三：分析法 5題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù) 5題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友 7題型六：放縮法 8題型七：虛設零點 10題型八：同構(gòu)法 11題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 13題型十：分段分析法、主元法、估算法 15題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值 16題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題 17題型十三：三角函數(shù) 1803過關(guān)測試 19

利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形題型一：直接法【典例1-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．【變式1-1】（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若有3個極值點，求a的取值范圍；(2)若，，證明：．【變式1-2】已知函數(shù)，．(1)求的最小值；(2)證明：．【變式1-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）【典例2-1】（2024·河北滄州·模擬預測）對于函數(shù)和，設，若存在使得，則稱和互為“零點相鄰函數(shù)”.設，，且和互為“零點相鄰函數(shù)”.(1)求的取值范圍；(2)令（為的導函數(shù)），分析與是否互為“零點相鄰函數(shù)”；(3)若，證明：.【典例2-2】（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：函數(shù)的圖象位于直線的下方；【變式2-1】已知函數(shù)有且只有一個零點，其中．(1)求的值；(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最大值；(3)設，對任意，證明：不等式恒成立．【變式2-2】設，當時，求證：．【變式2-3】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若，證明:．題型三：分析法【典例3-1】已知函數(shù)，當時，證明：.【典例3-2】已知函數(shù)，．(1)若直線是函數(shù)的圖象的切線，求實數(shù)的值；(2)當時，證明：對于任意的，不等式恒成立．【變式3-1】（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在點處切線的傾斜角；(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：.題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)【典例4-1】已知函數(shù)，證明：當時，.【典例4-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)證明：當時，．【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值與的最小值之和為，求的值．(2)若，，證明：．【變式4-2】已知，，，求證：．【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．(2)若的極大值為，求的取值范圍．(3)當時，求證：．【變式4-4】已知函數(shù)，求證：.【變式4-5】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：.題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典例5-1】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)的導函數(shù)為.(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：.【典例5-2】（2024·青?！つM預測）已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求m的值；(2)證明：對一切，都有．【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求實數(shù)的值．(2)當時，證明：對，都有．【變式5-2】（2024·廣西·模擬預測）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)證明：．【變式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點.(1)求a；(2)證明：.題型六：放縮法【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值．(2)證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【典例6-2】已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點個數(shù)；(2)證明：．【變式6-1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，證明：.【變式6-2】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知函數(shù)，為的導數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的極大值點，求的取值范圍；(3)若，證明：．【變式6-3】（2024·遼寧大連·模擬預測）定義：若曲線或函數(shù)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為曲線或函數(shù)的圖象的“自公切線”.(1)設曲線C：，在直角坐標系中作出曲線C的圖象，并判斷C是否存在“自公切線”？（給出結(jié)論即可，不必說明理由）(2)證明：當時，函數(shù)不存在“自公切線”；(3)證明：當，時，.【變式6-4】已知函數(shù)，證明：當時，.題型七：虛設零點【典例7-1】（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)若，，求證：．【變式7-1】已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)證明：若，且，則.【變式7-2】（2024·高三·遼寧丹東·開學考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)求證：.【變式7-3】（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．【變式7-4】（2024·山東威海·二模）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)證明：．題型八：同構(gòu)法【典例8-1】已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明．【典例8-2】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求證：在上恒成立；（3）求證：當時，．【變式8-1】（2024·甘肅定西·一模）設函數(shù)，(1)證明：.(2)當時，證明：.【變式8-2】（2024·甘肅白銀·三模）設函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性．(2)證明：．(3)當時，證明：．【變式8-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)（）.(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(2)當時，求證：.【變式8-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)若，求證：當時，．題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理【典例9-1】證明不等式：．【典例9-2】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時．若正實數(shù)，滿足，，，，證明：．【變式9-1】（2024·河南周口·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的極值點的個數(shù)．(2)“”是一個求和符號，例如，，等等．英國數(shù)學家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當時，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個經(jīng)典應用．證明：（i）當時，對，都有；（ii）．【變式9-2】英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；(3)設，證明：.【變式9-3】閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了封不同的信及相應的個不同的信封，他把這封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處階可導，則有：，注表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點后2位），并給出用和表示的估計公式；(3)求證：，其中．題型十：分段分析法、主元法、估算法【典例10-1】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對，恒成立．【典例10-2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當，且時，．【變式10-1】若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．【變式10-2】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求證：對任意的，，．題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值【典例11-1】（2024·河南·模擬預測）已知，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求a，b的值;(2)若方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，證明：【典例11-2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個不相等的零點，且.①證明：隨的增大而增大；②證明：.【變式11-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若是的兩個相異零點，求證：．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知函數(shù)．(1)證明：時，；(2)證明：．【典例12-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在內(nèi)點處的切線斜率為，求點的坐標；(2)①當時，求在上的最小值；②證明：．【變式12-1】（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)，且在上的最小值為0.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證：.【變式12-2】（2024·天津·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求在點處的切線方程；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：．【變式12-3】（2024·湖南衡陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，首項.(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若函數(shù)，正項數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.題型十三：三角函數(shù)【典例13-1】（2024·全國·三模）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求a的值；(2)證明：.【典例13-2】（2024·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.【變式13-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.【變式13-2】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求曲線在處的切線方程(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；(3)證明：．【變式13-3】（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，且，證明：.1．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(3)已知數(shù)列的通項公式為，求證：．2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點個數(shù)(2)記在上的零點為，求證;（i）是一個遞減數(shù)列（ii）．3．（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)當時，判斷的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：時，．4．已知，.(1)若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；(2)設，對，，有恒成立，求k的最小值；(3)證明：..5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(2)求證：．6．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．7．（2024·河北滄州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求證：當時，．8．已知函數(shù).(1)當時，求的極值；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.9．已知，函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值是0，求實數(shù)m的值；(2)已知曲線在點處切線的縱截距為正數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)恰有兩個零點；（ⅱ）證明：．10．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)，(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)證明：.15．（2024·福建莆田·三模）已知函數(shù)，其中.(1)當時，，求的取值范圍.(2)若，證明：有三個零點，，（），且，，成等比數(shù)列.(3)證明：（）.16．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù).(1)當時，證明：是增函數(shù).(2)若恒成立，求的取值范圍.(3)證明：（，）.17．已知函數(shù).(1)證明：，總有成立；(2)設，證明：．18．求證：．19．（2024·河南·二模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.20．已知函數(shù)（），.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)求證：時，.21．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；(2)若曲線在點處的切線與軸垂直，求證：．重難點突破06證明不等式問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 2題型一：直接法 2題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造） 6題型三：分析法 11題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù) 14題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友 20題型六：放縮法 24題型七：虛設零點 31題型八：同構(gòu)法 37題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 43題型十：分段分析法、主元法、估算法 50題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值 55題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題 60題型十三：三角函數(shù) 6703過關(guān)測試 72

利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形題型一：直接法【典例1-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題意得，當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，當時，令，解得．當時，，當，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜合得：當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當時，的最小值為．要證成立，需成立，即證．令，則．令，得（負值舍去）．當時，；當時，．因此在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．所以當時，取得最小值，，故當時，．【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．【解析】（1）的定義域為，．若，則，在上單調(diào)遞減：若，則由得，當時，；當時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故當時，在上單調(diào)遞減：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）方法1，當時，由（1）知，當時，取得最小值．所以，從而．設，則．當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，，故當時，，即；方法2：當時，由（1）知，當時，取得最小值，所以，從而，令，，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當?shù)忍柍闪?；所以，當時，，即.【變式1-1】（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若有3個極值點，求a的取值范圍；(2)若，，證明：．【解析】（1）由有3個極值點，可得到具有3個變號零點，當時不是的零點，則可得在有3個交點，構(gòu)造函數(shù)，，則，令，解得，所以當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，所以，而當時，，當時，，當時，,所以,則的取值范圍為.（2）構(gòu)造函數(shù)則，且，構(gòu)造函數(shù)，則，再令，則，因為時，則，在單調(diào)遞增，而，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，故，即.【變式1-2】已知函數(shù)，．(1)求的最小值；(2)證明：．【解析】（1）的定義域為，，令解得，又因為當時，為增函數(shù)，故當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；故，故．（2），，則，故當時，，則在單調(diào)遞增；當時，，則在單調(diào)遞減；故．又因為，所以（當且僅當時，取“”），所以．【變式1-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．【解析】（1）由題意知，當時，，所以在上單調(diào)遞減；

當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）得，

要證，即證，即證，令，則，

令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，.題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）【典例2-1】（2024·河北滄州·模擬預測）對于函數(shù)和，設，若存在使得，則稱和互為“零點相鄰函數(shù)”.設，，且和互為“零點相鄰函數(shù)”.(1)求的取值范圍；(2)令（為的導函數(shù)），分析與是否互為“零點相鄰函數(shù)”；(3)若，證明：.【解析】（1）令，得，令，得，①，解得，②，解得，所以的取值范圍為.（2），則，令，得，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，又，當時，無零點，所以與不互.為“零點相鄰函數(shù)”；當時，，函數(shù)的零點為，所以與互為“零點相鄰函數(shù)”；當時，，又因為，所以此時在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以與互為“零點相鄰函數(shù)”；當時，，又因為，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以與互為“零點相鄰函數(shù)”.綜上，當時，與不互為“零點相鄰函數(shù)”，當時，與互為“零點相鄰函數(shù)”.（3）當時，，設，則，則，設，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，得證.【典例2-2】（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：函數(shù)的圖象位于直線的下方；【解析】（1），則，又，所以曲線在點處的切線方程為；（2）因為，所以，要證明，只需要證明，即證，令，則，當時，，此時在上單調(diào)遞增，當時，，此時在上單調(diào)遞減，故在取極大值也是最大值，故，所以恒成立，即原不等式成立，所以函數(shù)的圖象位于直線的下方.【變式2-1】已知函數(shù)有且只有一個零點，其中．(1)求的值；(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最大值；(3)設，對任意，證明：不等式恒成立．【解析】（1）的定義域為，．由，得．∵當時，則在區(qū)間上是增函數(shù)，當時，，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴在處取得極大值也為最大值．由題意知，解得．（2）由（1）知，當時，取得，，知不合題意．當時，設．則．令，得，．①若≤0，即≤時，在上恒成立，∴在上是增函數(shù)，從而總有，即在上恒成立．②若，即時，對于，，∴在上單調(diào)遞減．于是，當取時，，即不成立．故不合題意．綜上，的最大值為．（3）由．不妨設，則要證明，只需證明，即，即證．設，則只需證明，化簡得．設，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，得證．故原不等式恒成立．【變式2-2】設，當時，求證：．【解析】要證時，，只需證，記，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，要證時，，只需證，記，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，綜上，，【變式2-3】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若，證明:．【解析】（1），令，所以，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.又因為，所以，即，且至多在一個點處取到.所以在上單調(diào)遞減，沒有單調(diào)遞增區(qū)間.（2）證明，只需證：，即證：，令，所以，只需證：，即證：，由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，所以當時，，即，所以.題型三：分析法【典例3-1】已知函數(shù)，當時，證明：.【解析】當時，有，所以，要證，只需證，即證，,設，則，令，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，得證.【典例3-2】已知函數(shù)，．(1)若直線是函數(shù)的圖象的切線，求實數(shù)的值；(2)當時，證明：對于任意的，不等式恒成立．【解析】（1）直線是函數(shù)的圖象的切線，設切點為，，，得．切點在函數(shù)的圖象上，，代入得，解得或．再代入解得或，∴實數(shù)的值為1或．（2）證明：要證，即，，，又由知即證，設，則．令，則，由，得，當時，；當時，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上，，即，令，則，設，則．令，得，當時，，當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上有最小值，為．的最小值為，原不等式得證．【變式3-1】（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在點處切線的傾斜角；(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：.【解析】（1）由，所以，設曲線在點處切線的傾斜角為，則，又因為，所以，所以曲線在點處切線的傾斜角為0.（2）由（1）知，且，解得：或，當時，，，，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以；當時，，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即此時極小值不可能小于0，所以當時不符合題意；當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即函數(shù)無極值，不滿足題意，所以當時不符合題意；當時，，，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以；綜上可知實數(shù)的取值范圍為或.（3）由（2）知，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，即，兩邊取自然對數(shù)得：，則.要證成立，只需證，.兩邊同除得：，即.只需證：，即證，令，，，解得：，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，即，經(jīng)檢驗，當時，成立.綜上可知不等式得證.題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)【典例4-1】已知函數(shù)，證明：當時，.【解析】由題意等價于，設函數(shù)，則．當時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當時，，即．【典例4-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)證明：當時，．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值.（2）令函數(shù)，求導得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，由（1）知，恒成立，所以，即當時，.【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值與的最小值之和為，求的值．(2)若，，證明：．【解析】（1）因為，所以．令，解得．所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以．

因為，，所以．令，解得．所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以．

由題意可得，解得．（2）證明：方法一

當時，，，則．要證，即證，．令，，則．令，，則，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增．

因為，，所以在上存在唯一零點，且當時，；當時，．所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以．

由，得，所以．兩邊取對數(shù)，得，所以，所以，即．因為，所以，即．

方法二要證，即證，即證．

令，，，．易得，則令，得；令，得．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．

易得．令，得；令，得．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，

所以，故．【變式4-2】已知，，，求證：．【解析】令，，則，則，只需證明，即證；，，故只需證明，即證，記，則，當時，；當時，；即在上遞減，在上遞增，①，當且僅當時等號成立，再記，則，當時，；當時，；在上遞增，在上遞減．②，當且僅當時等號成立．由①②等號不同時取到，得，于是．【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．(2)若的極大值為，求的取值范圍．(3)當時，求證：．【解析】（1）由題意，得，所以．因為曲線在處的切線方程為，又，所以，所以．所以．令，得；令，得．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）由題意得．當時，令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時只有極小值，不符合題意．當時，令，得，．因為的極大值為，所以，解得．綜上，的取值范圍為．（3）當時，．要證，即證，只需證．先證：，．設，，則．設，，則．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以．再證：，，即證．設，則．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以．設，，則．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以．所以，即．綜上，得證．故．【變式4-4】已知函數(shù)，求證：.【解析】由題意，當時，由，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.設，當時，，當時，設，則，所以在上是增函數(shù)，所以，即，，所以，而，所以，綜上，當時，．【變式4-5】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：.【解析】（1）因為，所以，當時，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，，令，解得或（舍去），令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）即，也即，也即.設，則，令，解得，又在上單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以，由題意，所以，所以，得證.題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典例5-1】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)的導函數(shù)為.(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：.【解析】（1），當，即時，此時，，故在上單調(diào)遞增.當，即時，令，則.①當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：當時，，證原不等式等價于證，令，則，且，故只需證，即證令，則，令，則，由于，令則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，當時，，即，當,時，，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，當時，1.【典例5-2】（2024·青海·模擬預測）已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求m的值；(2)證明：對一切，都有．【解析】（1），，，則有，，解得；（2）由，故，要證對一切，都有，即證對一切恒成立，即證對一切恒成立，令，，則當時，，則當時，，即在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故對一切恒成立，即得證.【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求實數(shù)的值．(2)當時，證明：對，都有．【解析】（1）由，得．所以．又，所以曲線在點處的切線方程為．由切線方程為，得．（2）方法一

當時，設，則．設，則．設，則．令，則．當時，；當時，．所以函數(shù)即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以存在唯一的，使，且當時，，當時，，故函數(shù)即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以，所以存在唯一的，使，且當時，，當時，，故函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為，所以在上恒成立，當且僅當或時取等號，即對，都有．方法二

當時，記，則要證，即證．記，則．令，得．因為，所以當時，，當時，．所以在上分別單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以在上恒成立，當且僅當或時取等號，即對，都有．【變式5-2】（2024·廣西·模擬預測）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)證明：．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，將代入，解得，即，由切線方程，可知切線斜率，故，解得；（2）由（1）知，要證，即證．設，則，令，解得，或（舍去），當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以，所以，即．【變式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點.(1)求a；(2)證明：.【解析】（1），依題意，，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以；（2）由（1）可知，，要證，即證，設，則，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，取得極小值，也是最小值，因為，，所以.題型六：放縮法【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值．(2)證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】（1）由題意知，定義域為，從而．所以當時，；當時，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的最大值為，無最小值．（2）欲證，只需證．由（1）知，從而，當且僅當時取等號．下面證明：．設，則．設，則．設，則，故當時，；當時，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由于，故設存在唯一的，使，且當時，，當時，．故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以存在唯一的，使，故當時，；當時，．從而函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因為，所以在上恒成立，當且僅當時取等號．因為取等條件不相同，所以恒成立，即成立．【典例6-2】已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點個數(shù)；(2)證明：．【解析】（1）由題知，，令，而恒成立，故在單調(diào)遞增．又，，故，由零點存在性定理可知一定存在，使得，綜合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)有且僅有1個零點．（2）當時，，令，而，當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，且，故，成立令，而，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故最大值為，且，故，即，故得證，∴，不等式得證；當時，即證．令，，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．則①，令，，則當時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增．則②．由①②可知，，故不等式得證．【變式6-1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，證明：.【解析】（1）當時，，，則，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）當時，有，所以，因為，所以.令，則，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以.故.【變式6-2】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知函數(shù)，為的導數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的極大值點，求的取值范圍；(3)若，證明：．【解析】（1）由題知，令，則，當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，當時，令，解得，當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當時，，由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點，不符合題意；當時，，且，由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點，不符合題意；當時，，則當時，在上單調(diào)遞增，所以無極值點，不合題意；當時，，且；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；所以是函數(shù)的極大值點，符合題意；綜上所述，的取值范圍是.（3）要證，只要證，只要證，，因為，則，所以只要證對任意，有，只要證對任意，有（※），因為由（2）知：當時，若，則，所以，即①，令函數(shù)，則，所以當時，所以在單調(diào)遞增；則，即，由①②得，所以（※）成立，所以成立.【變式6-3】（2024·遼寧大連·模擬預測）定義：若曲線或函數(shù)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為曲線或函數(shù)的圖象的“自公切線”.(1)設曲線C：，在直角坐標系中作出曲線C的圖象，并判斷C是否存在“自公切線”？（給出結(jié)論即可，不必說明理由）(2)證明：當時，函數(shù)不存在“自公切線”；(3)證明：當，時，.【解析】（1）曲線C：，當時，，表示以點為圓心，半徑為的部分圓弧，當時，，表示以點為圓心，半徑為的半圓圓，從而圖象如下：由圖象可知，存在“自公切線”；（2）由題意，，下面只需證明在上單調(diào)即可，令，則，當時，，此時單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，所以在不同點處的切線斜率不同，所以圖象不存在“自公切線”，得證.（3），，故只需證明，即只需證明，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，從而在上單調(diào)遞減，所以，即，故只需證，設，注意到，，注意到，令，則由（2）知，，且由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以，從而在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而，當，時，.【變式6-4】已知函數(shù)，證明：當時，.【解析】因為，所以，解得，即函數(shù)的定義域為，令，可得，所以在單調(diào)遞增，所以，即，要證不等式，只需證明，又由函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，即，即，當且僅當時，等號成立，所以，當時，，只需證明：，即，即，即，令，可得，設，可得，令，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當且僅當時，等號成立，易知在單調(diào)遞增，故方程有唯一解.又由以上不等式的等號不能同時成立，所以.題型七：虛設零點【典例7-1】（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.【解析】（1）由題意可得：的定義域為，，當時，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞減；當時，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)建，則，由可知，構(gòu)建，因為在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，可知在上存在唯一零點，當，則，即；當，則，即；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因為，則，，可得，即，所以.【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)若，，求證：．【解析】（1）當時，，定義域為，則．設，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因為，所以．因為，所以在上單調(diào)遞增，且．①若，則，所以當時，恒成立，單調(diào)遞增．又，所以；②若，則，，所以存在，使得，即．當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以．因為在上單調(diào)遞減，所以，所以．綜上所述，當，時，．【變式7-1】已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)證明：若，且，則.【解析】（1）的定義域為，.若，則，所以在上單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在定義域內(nèi)不單調(diào)時，a的取值范圍為.（2）記，則，因為是上的減函數(shù)，且，，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)，所以是的極大值點.令，則，所以是上的增函數(shù)，故，所以當時，，令，則，由，得，時，是減函數(shù)，時，是增函數(shù)，所以，即，所以，下面證明，令，即證，即，設，則，所以是上的增函數(shù)，所以時，，成立，命題得證.【變式7-2】（2024·高三·遼寧丹東·開學考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)求證：.【解析】（1）因為函數(shù)，所以，記，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，即，所以在單調(diào)遞減；當時，，即，所以在單調(diào)遞增，且，所以.（2）要證，只需證明：對于恒成立，令，則，當時，令，則，在上單調(diào)遞增，即在上為增函數(shù)，又因為，，所以存在使得，由，得即即即，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即.【變式7-3】（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．【解析】（1）的定義域為，因為，所以曲線在點處的切線斜率為，又，所以切線方程為，即.（2），令，則，因為，所以存在，使得，即，易知在上單調(diào)遞增，所以，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以當時，取得最小值：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.【變式7-4】（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)．(1)求的極值；(2)證明：．【解析】（1）由題意得的定義域為，則，當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；當時，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點，函數(shù)極大值為，無極小值；（2）證明：設，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，故，使得，即，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故即，即，則.題型八：同構(gòu)法【典例8-1】已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明．【解析】解：（1）的定義域為，，①當時，，此時在上單調(diào)遞減，②當時，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，③當時，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，證明（2）設，則，由（1）可得在上單調(diào)遞增，（1），當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，，，．【典例8-2】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求證：在上恒成立；（3）求證：當時，．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域為，，令，即，△，解得或，若，此時△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．若，此時△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，此時△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述：若，在單調(diào)遞增；若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（1），所以在上恒成立．（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2，設，，設，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當時，．法二：，即，令，則原不等式等價于，，令，則，遞減，故，，遞減，又，故，原結(jié)論成立．【變式8-1】（2024·甘肅定西·一模）設函數(shù)，(1)證明：.(2)當時，證明：.【解析】（1）因為，其定義域為，則，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，證畢.（2）當時，，而，要證，即證，即證，設，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，且，當時，，故只需證明，由（1）知，在上成立，故，即成立.【變式8-2】（2024·甘肅白銀·三模）設函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性．(2)證明：．(3)當時，證明：．【解析】（1）因為，易知定義域為，，由，得到，由，得到或，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.（2）因為，易知定義域為，，當時，，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.（3）由（2）知，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，要證明，即證明，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，所以，命題得證.【變式8-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)（）.(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(2)當時，求證：.【解析】（1）（）（），令，則，當時，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.當時，，則當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，而，.所以綜上所述，當時，，；當時，所以，.（2）方法一：隱零點法因為，，所以，欲證，只需證明，設，（），，令，易知在上單調(diào)遞增，而，，所以由零點的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，因此，，當時，，，在上單調(diào)遞減；當時，，，在上單調(diào)遞增；所以所以，因此.方法二：（同構(gòu)）因為，，所以，欲證，只需證明，只需證明，因此構(gòu)造函數(shù)（），，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增：所以，所以，所以，因此.【變式8-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)若，求證：當時，．【解析】（1）由題意知，，則，即．因為切線與直線垂直，所以直線的斜率為1，得，則，故的方程為，即．（2）解法一

由題知，當時，，故只需證．令，則，，在上單調(diào)遞增，且，，所以在上有唯一零點，設該零點為，則，且，所以．當時，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞增．所以，所以，故當時，．解法二

由題知，當時，，故只需證，即證．令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以，即，當且僅當時取等號．易知函數(shù)的值域為，所以，當且僅當時取等號，故當時，．題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理【典例9-1】證明不等式：．【解析】設，則，，代入的二階泰勒公式，有，．所以原題得證．【典例9-2】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時．若正實數(shù)，滿足，，，，證明：．【解析】解：（1），，△，①時，恒成立，故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，②時，或，故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，綜上，時，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，時，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，（2），對，恒成立，即，時，恒成立，令，，則，令，則，在遞減且（1），時，，，遞增，當，，，遞減，（1），綜上，的范圍是，．（3）證明：當時，，，不妨設，下先證：存在，，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，即存在，，使得，又為增函數(shù)，，即，設，則，，①，②，由①②得，，即．【變式9-1】（2024·河南周口·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的極值點的個數(shù)．(2)“”是一個求和符號，例如，，等等．英國數(shù)學家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當時，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個經(jīng)典應用．證明：（i）當時，對，都有；（ii）．【解析】（1），令，則，當時，，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，即有在上單調(diào)遞減，則，故函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點；（2）（i）令，其中，，則，又當時，，則，即，令，則，令，則，由，故，又，故恒成立，即在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即；（ii）由，，故要證，即證，即證，只需證，由（1）知，當時，，則可令，此時，則，即，即，即，故只需證，令，，則，由（i）知，當時，，即，即，故在上單調(diào)遞增，故，即，即得證.【變式9-2】英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；(3)設，證明：.【解析】（1）令，則，，，，故，，，，，由麥克勞林公式可得，故．（2）結(jié)論：，證明如下：令，，則令，則，故在上單調(diào)遞增，，則故在上單調(diào)遞增，，即證得，故．（3）由（2）可得當時，，且由得，當且僅當時取等號，故當時，，，，而，即有故而，即證得．【變式9-3】閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了封不同的信及相應的個不同的信封，他把這封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處階可導，則有：，注表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大小（保留小數(shù)點后2位），并給出用和表示的估計公式；(3)求證：，其中．【解析】（1）因為，所以，，，所以．（2）由麥克勞林公式，令，有再取，可得，所以估算值為．在中，取，可得.（3）證明：由麥克勞林公式，當時，令，有，猜想：令，有，猜想：令，由，所以，即．令，由，再令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，且，所以在上為增函數(shù)，所以，即．又時，，，所以.令，當，有，則，命題得證．題型十：分段分析法、主元法、估算法【典例10-1】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對，恒成立．【解析】（1）由已知可得，，設，則．當時，有恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增；當時，由可得，．由可得，，所以，即在上單調(diào)遞減；由可得，，所以，即在上單調(diào)遞增．綜上所述，當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因為，所以對，有．設，則．解可得，或或．由可得，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；由可得，或，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．所以，在處取得極大值，在處取得極小值．又，所以，即．所以，有，整理可得，，所以，有，恒成立．【典例10-2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當，且時，．【解析】（1），，①當，即時，，在區(qū)間單調(diào)遞增．②當，即時，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．③當，即時，若，則，在區(qū)間單調(diào)遞增．若，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增．綜上，時，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；時，在區(qū)間單調(diào)遞增時，在區(qū)間單調(diào)遞減、在區(qū)間單調(diào)遞增．（2）證明：要證，即證，即證．令，，則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時，，即時，．令，，則在時恒成立，所以，且時，單調(diào)遞增，因為時，，，且，所以，且時，，即．所以，且時，．【變式10-1】若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（Ⅱ），，①時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，由得，時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增．綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）解：設，，，在，上為減函數(shù)，又（e），當時，；當時，．，，在，上為增函數(shù)，又（1），，時，，在，上為增函數(shù)，（1）．①當時，，設，則，在，上為減函數(shù)，（1），當，，，比更接近．②當時，，設，則，，在時為減函數(shù)，（e），在時為減函數(shù)，（e），，比更接近．綜上：在且時時，比更接近．【變式10-2】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求證：對任意的，，．【解析】解：（1）當時，，則，，故則在上單調(diào)遞減．（2）當時，，要證明對任意的，，．則只需要證明對任意的，，．設（a），看作以為變量的一次函數(shù)，要使，則，即，恒成立，①恒成立，對于②，令，則，設時，，即．，，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，則當時，函數(shù)取得最大值，故④式成立，綜上對任意的，，．題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值【典例11-1】（2024·河南·模擬預測）已知，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求a，b的值;(2)若方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，證明：【解析】（1）因為，所以，由題意知，所以，聯(lián)立方程組，解得.（2）由（1）可知，，，設，，所以即在上單調(diào)遞增.又，所以存在，使得，且時，，時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設，令，則，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當時，，當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故，即，當且僅當時，等號成立.

因為方程有兩個實數(shù)根，且，也就是，且注意到在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.設的根為：，則，又在上單調(diào)遞增，所以，故①.易知的圖象在坐標原點處的切線方程為，令，則，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，，當且僅當時，等號成立.因為，所以，即.設的根為，則，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，從而②.由①②可知：.【典例11-2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個不相等的零點，且.①證明：隨的增大而增大；②證明：.【解析】（1）由可得，令，故在單調(diào)遞增，令，故在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）①由于有兩個不相等的零點，且.所以是的兩個實數(shù)根，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，當時，，當時，，故，對任意的，設，則其中其中由于在單調(diào)遞減，，故，所以，在單調(diào)遞增，，故，所以，又，所以，所以，故隨的增大而增大；②設，令，則；令在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故在恒成立，此時恒成立，由①知所以，即，令，記，則，當時，，在單調(diào)遞減，時，，在單調(diào)遞增，故，進而，因此，所以，故，即，進而，又因為，所以，得證【變式11-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若是的兩個相異零點，求證：．【解析】（1）令，則．令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，所以．（2）易知函數(shù)的定義域是．由，可得．令得；令得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．①當，即時，至多有1個零點，故不滿足題意．②當，即時，．因為在上單調(diào)遞增，且．所以，所以在上有且只有1個零點，不妨記為，且．由（1）知，所以．因為在上單調(diào)遞減，，所以在上有且只有1個零點，記為，且．所以，所以．同理，若記則有，綜上所述，．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知函數(shù)．(1)證明：時，；(2)證明：．【解析】（1）證明：要證，只要證，即證時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以時，，所以時，．（2）證明：由（1）知，令得，即，所以，，，……，，所以，即．【典例12-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在內(nèi)點處的切線斜率為，求點的坐標；(2)①當時，求在上的最小值；②證明：．【解析】（1）設點.由于，則，得，則，且，所以點的坐標為.（2）①，則，記，則易知在上單調(diào)遞減，且,，即，所以，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減.因為，所以時，，在單調(diào)遞增，所以，當時，取得最小值.②由①可知，時恒成立，即恒成立.設，則，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，取，則，，得證.【變式12-1】（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)，且在上的最小值為0.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證：.【解析】（1），，，，，令，等號不同時取，所以當時，，在上單調(diào)遞增，①若，即，，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，符合題意.②若，即，此時，，又函數(shù)在的圖象不間斷，據(jù)零點存在性定理可知，存在，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減，所以，與題意矛盾，舍去.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）（i）由（1）可知，當時，.要證函數(shù)在上具有性質(zhì).即證：當時，.即證：當時，.令，，則，即，，，所以在上單調(diào)遞增，.即當時，，得證.（ii）法一：由（i）得，當時，，所以當時，.下面先證明兩個不等式：①，其中；②，其中.①令，，則，在上單調(diào)遞增，所以，即當時，.②令，，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即當時，，故，得.據(jù)不等式②可知，當時，，所以當時，.結(jié)合不等式①可得，當時，.所以當時，當，時，，有.所以.又，所以法二：要證：.顯然，當時，，結(jié)論成立.只要證：當，時，.即證：當，時，.令，.所以，，所以，在上單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，即當時，.所以當，時，，有，所以當，時，.所以【變式12-2】（2024·天津·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求在點處的切線方程；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：．【解析】（1），有，因為，所以，則曲線在點處的切線方程為．（2）因為，的定義域為，所以是的極大值點，因為，所以，所以，需驗證，當時，恒成立即可，因為，令，則，①當時，，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，，②當時，，則在上單調(diào)遞減，所以，綜上，符合題意．所以恒成立時，.（3）由（2）可知，，當且僅當時取等號，當時，，所以，，因為，所以即證，令，則，當時，，，所以即證：，令，則，所以時，單調(diào)遞減，所以，即，綜上，.【變式12-3】（2024·湖南衡陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，首項.(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若函數(shù)，正項數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.【解析】（1）正項數(shù)列中，，，，當時，，兩式相減得，即，而，則，因此數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.（2）（i）令，求導得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，于是，即，即，當時，，當時，因此，所以（ii）由已知，所以，得，當時，，于是，當時，，又，所以，恒有，當時，，由，得當時，，則當時，，從而，于是，所以.題型十三：三角函數(shù)【典例13-1】（2024·全國·三模）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求a的值；(2)證明：.【解析】（1）由題意可得函數(shù)的定義域為，又，函數(shù)在處的切線方程為，其斜率為，得：，解得.（2）注意到，且，則，，令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因為，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以當時，；當時，，所以.【典例13-2】（2024·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.【解析】（1）令，由可知，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以的最小值為1.（2）由（1）可知：，即，又因為，則，可得，則，構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，注意到，則，所以.【變式13-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.【解析】（1）由，，得，當時，，則單調(diào)遞增，不存在極值；當時，令，則，當，則，即在上單調(diào)遞減，當，則，即在上單調(diào)遞增.所以是的極小值點，所以當時，存在極值，綜上所述，存在極值時，的取值范圍是.（2）欲證不等式在時恒成立，只需證明在時恒成立.設，，則，令，，則.當時，，所以，所以即在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當，時，不等式恒成立.【變式13-2】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求曲線在處的切線方程(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；(3)證明：．【解析】（1）函數(shù)，，，，，所以曲線在處的切點坐標為，切線斜率為0，切線方程為.（2），因為，所以，則，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.，，所以函數(shù)的值域為.若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最小值為，所以實數(shù)的最大值為.（3），設，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，，則有，，故存在，使得，即，所以當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有極小值，且是唯一的極小值，故函數(shù)，，，故，所以即.【變式13-3】（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，且，證明：.【解析】（1）由，得，則，，.故曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：由，，且，不妨設，，，則證明等價于證明，，即證，從而構(gòu)造函數(shù)，利用其調(diào)性證明結(jié)論.令，則，當時，，在單調(diào)遞減，故，，即，，則，要證，只需證.令，則，令，得.令，，則，令，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.當時，，則，則，在單調(diào)遞減，當時，，則，則，在單調(diào)遞增.因為，所以，即在上恒成立，從而.1．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(3)已知數(shù)列的通項公式為，求證：．【解析】（1）由題意可知：等價于，其中．構(gòu)建，則，可知在上單調(diào)遞減，則時，，所以時，．（2）由題意可知：，則①若，則，由可得，可知在上單調(diào)遞減，不合題意；②若，則，可知上為增函數(shù)，符合題意；③若，則，由可得，可知在上單調(diào)遞減，不合題意；綜上所述：．（3）由（2）知：在上單調(diào)遞增，所以時，，即，由（1）知：時，，則，所以時，，令得：，即，因為，所以，由知：，又因為，所以，所以．2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點個數(shù)(2)記在上的零點為，求證;（i）是一個遞減數(shù)列（ii）．【解析】（1）當為奇數(shù)時，有1個零點；當為偶數(shù)時，有2個零點.證明如下：當時，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點；當時，，若為奇數(shù)，，則，此時在內(nèi)無零點；若為偶數(shù)，設，則，方程有一個解，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，此時在內(nèi)有1個零點.綜上，當為奇數(shù)時，有1個零點；當為偶數(shù)時，有2個零點.（2）（i）由（1）知，當時，在在內(nèi)的零點，當時，，，則，故，所以數(shù)列是一個遞減數(shù)列；（ii）由（i）知，當時，，當時，，有，所以，求和可得，當且僅當時等號成立；當時，，故，則，得，即，即，即，即，即，即，當時，，所以當時，均有成立，求和可得.綜上，.3．（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)當時，判斷的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點．（ⅰ）證明：；（ⅱ）證明：時，．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，則，令，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值為，當時，當時，若存在兩個極值點，則有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，又，所以，且當時，即，則單調(diào)遞增，當時，即，則單調(diào)遞減，當時，即，則單調(diào)遞增，所以為的極大值點，為的極小值點，因為，所以，要證，即證，又，只需證，即證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立，所以；（ⅱ）由（?。┲?，，且當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以.4．已知，.(1)若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；(2)設，對，，有恒成立，求k的最小值；(3)證明：..【解析】（1）由題意，函數(shù)，.則，又，故，而，所以，故在上單調(diào)遞增.（2）由題意知，，對，，有恒成立.，設，則，由于，故，時，單調(diào)遞增，又，，因此在內(nèi)存在唯一零點，使，即，且當，，，單調(diào)遞減；，，，單調(diào)遞增.故，故，由于，則，故，即，設，，，又設，故在上單調(diào)遞增，因此，即，在上單調(diào)遞增，，又，所以，故所求k的最小值為2.（3）由（1）可知時，，即，設，則，因此，即，得證.5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(2)求證：．【解析】（1）由題意，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，令，則，當時，因為，所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，所以恒大于等于0不成立.當時，由得，所以當，當，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，若恒成立，則，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當時，.綜上，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.（2）由（1）得，當時，恒成立，即，當且僅當時等號成立，令，則，所以令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，，即，所以，所以，故得證.6．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【解析】（1）在恒成立．構(gòu)造函數(shù)，則在恒成立．當時，，所以在遞增，所以，矛盾，故舍去當時，由得，所以在遞增，故，均有，矛盾，故舍去當時，，所以在遞減，所以，滿足題意；綜上，實數(shù)a的取值范圍為（2）由（1）知當時，恒成立，即在恒成立且當且僅當時取等號．所以當時，可得同理，，，兩邊分別累加得：即即7．（2024·河北滄州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求證：當時，．【解析】（1），，令，則，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故的值域為．（2）令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故當時，，所以．由（1）知，當1時，所以當時，，所以，令，其中，，2，3，，n，則，所以，，，，，以上n個式子相加得，即當時，．8．已知函數(shù).(1)當時，求的極值；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.【解析】（1）當時，，，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以在處取到極大值，無極小值.（2）因為，恒成立，所以恒成立，令，則，令，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）可知，取，當時，，所以，取，則有，即，所以將上述式子相加得即9．已知，函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值是0，求實數(shù)m的值；(2)已知曲線在點處切線的縱截距為正數(shù)．（ⅰ）證明：函數(shù)恰有兩個零點；（ⅱ）證明：．【解析】（1）因為，則，且，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，解得.（2）由（1）可知：，，可得，，即切點坐標為，斜率，則切線方程為，令，可得，由題意可得：，且，解得；（i）因為，可知的定義域為，，設，則在內(nèi)恒成立，可知函數(shù)在上遞增，由（1）可知：當時，，即，當且僅當時，等號成立，則，可得，又因，由零點的存在性定理可得，存在，使得，即，（*）當