2025年新高考數(shù)學一輪復習第7章第02講空間點、直線、平面之間的位置關系(六大題型)(練習)(學生版+解析)

第02講空間點、直線、平面之間的位置關系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點” 2題型二：截面問題 4題型三：異面直線的判定 5題型四：異面直線所成的角 6題型五：平面的基本性質 6題型六：等角定理 702重難創(chuàng)新練 803真題實戰(zhàn)練 13題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”1．如圖所示，四邊形和四邊形都是梯形，，，分別為，的中點．

(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)，，，四點是否共面？為什么？2．如圖，為空間四邊形，點、分別是、的中點，點、分別在、上，且，．求證：(1)、、、四點共面；(2)、必相交且交點在直線上．3．若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內；(2)如果和、和、和分別相交，那么交點在同一直線上（如圖）.4．（2024·河南·模擬預測）在正四棱柱中，O為的中點，且點E既在平面內，又在平面內．

(1)證明：；(2)若，，E為AO的中點，E在底面ABCD內的射影為H，指出H所在的位置（需要說明理由），并求線段的長．題型二：截面問題5．（2024·高三·福建·期中）已知正方體的體積為，點在線段上，點異于點，，點在線段上，且，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段長的取值范圍為（

）

A． B． C． D．6．已知圓錐的底面面積為，其側面展開圖的圓心角為，則過該圓錐頂點做截面，截面三角形面積最大值為（

）A． B． C．2 D．7．（2024·四川·一模）設正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結論正確的是（

）．A．M必為三角形 B．M可以是四邊形C．M的周長沒有最大值 D．M的面積存在最大值8．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B． C． D．9．（2024·全國·模擬預測）如圖，在正四棱柱中，，過點作垂直于直線PC的截面，則以為頂點，截面為底面的棱錐的體積為（

）A．42 B．48 C．56 D．6310．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，過點，，的平面交于點，則（）A． B． C． D．題型三：異面直線的判定11．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結論正確的是（

）A．，是異面直線， B．，是相交直線，C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直12．（2024·上?！つM預測）如下圖，是正方體面對角線上的動點，下列直線中，始終與直線異面的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線13．已知正方體中，，，分別是棱，，的中點，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．題型四：異面直線所成的角14．如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．15．在正方體中，分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等于（

）A． B． C． D．16．（2024·高三·陜西西安·期末）如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（

）A． B． C． D．17．（2024·上海楊浦·二模）正方體中，異面直線與所成角的大小為.題型五：平面的基本性質18．下列說法不正確的是（）A．若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線B．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線C．若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈lD．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面19．如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，平面平面，則下列結論錯誤的是（

）A．過點BB．不一定過點BC．的延長線與的延長線的交點在上D．的延長線與的延長線的交點在上20．若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．題型六：等角定理21．設和的兩邊分別平行，若，則的大小為.22．空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是.23．已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則.24．如圖，正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，及的中點，，則.

25．已知空間兩個角和，若，，則．1．（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．若則下列說法正確的是（）A．a與l相交 B．b與l相交 C．a∥b D．a與β相交2．（2024·吉林·模擬預測）如圖，位于江城廣場某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖櫓人雕像相映成趣，一直以來是吉林市的重要地標之一.該時鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個時鐘正常運行的過程中，兩時針所在直線所成的角的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均相等，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2024·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點.過的平面與正四面體相截，得到一個截面多邊形，則正確的選項是（

）①截面多邊形可能是三角形或四邊形.②截面多邊形周長的取值范圍是.③截面多邊形面積的取值范圍是.④當截面多邊形是一個面積為的四邊形時，四邊形的對角線互相垂直.A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④6．（2024·上海·三模）如圖，點N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點，則（

）A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線7．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點，平面與棱交于點N.給出下面幾個結論，其中所有正確的結論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④8．（2024·重慶·模擬預測）如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點，點P在平面內的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預測）下列基本事實敘述正確的是（

）A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面D．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面10．（多選題）（2024·安徽蕪湖·模擬預測）如圖，長方體，過點作平面的垂線，垂足為點．則以下命題中，正確的是（

）A．點是的垂心 B．垂直平面C．的延長線經(jīng)過點 D．直線和是異面直線11．（多選題）（2024·重慶·三模）如圖，已知正方體中，分別為棱、的中點，則下列說法正確的是（

）A．四點共面 B．與異面C． D．RS與所成角為12．（多選題）（2024·浙江溫州·三模）已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（

）A．30° B．45° C．75° D．90°13．（2024·全國·二模）已知長方體的底面ABCD為邊長是2的正方形，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點，則過，E，F(xiàn)的平面截長方體的表面所得截面的面積為.14．（2024·遼寧大連·二模）如圖，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為.15．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則平面MNC1截該四棱柱所得截面的周長為．16．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在正方體中，點P是線段上的一個動點，記異面直線DP與所成角為，則的最小值為．17．（2024·四川涼山·三模）如圖，在正四棱柱中，，，點，，，分別在棱，，，上，．

(1)證明：點在平面中；(2)求多面體的體積．18．（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱，各棱長均相等.，，分別為棱，，的中點.(1)證明：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值.19．（2024·貴州貴陽·二模）如圖.直四棱柱的底面為菱形，且分別是上，下底面的中心，是AB的中點，.(1)當時，求直線與直線EC所成角的余弦值；(2)是否存在實數(shù)k，使得在平面EBC內的射影恰好為的重心.若存在，求出點的坐標;若不存在，請說明理由.點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學卷（湖南））如圖1，在正四棱柱中，分別是，的中點，則以下結論中不成立的是（）A．與垂直 B．與垂直C．與異面 D．與異面8．（2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國卷Ⅱ））已知正四棱柱中，，E為中點，則異面直線BE與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．9．（2011年浙江省普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學）若直線不平行于平面，且，則A．內的所有直線與異面 B．內不存在與平行的直線C．內存在唯一的直線與平行 D．內的直線與都相交10．（2010年綏濱一中高一下學期期末考試數(shù)學卷）經(jīng)過同一條直線上的3個點的平面A．有且只有一個 B．有且只有3個C．有無數(shù)多個 D．不存在11．（2002年普通高等學校春季招生考試數(shù)學試題（上海卷））如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段??和在原正方體中相互異面的有對12．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；（2）點在平面內．第02講空間點、直線、平面之間的位置關系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點” 2題型二：截面問題 6題型三：異面直線的判定 11題型四：異面直線所成的角 13題型五：平面的基本性質 16題型六：等角定理 1802重難創(chuàng)新練 2003真題實戰(zhàn)練 39題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”1．如圖所示，四邊形和四邊形都是梯形，，，分別為，的中點．

(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)，，，四點是否共面？為什么？【解析】（1）由，分別為，的中點，可得，又，，所以，四邊形為平行四邊形．（2），，，四點共面，理由如下：由題意易知，四邊形為平行四邊形，．由（1）知，，與共面．又，，，，四點共面．2．如圖，為空間四邊形，點、分別是、的中點，點、分別在、上，且，．求證：(1)、、、四點共面；(2)、必相交且交點在直線上．【解析】（1）連接、，，由，分別為，中點，則，又，，則，，、、、四點共面.（2）由，，易知，又，分別為，中點，即，，結合（1）的結論可知，四邊形是梯形，因此直線、不平行，設它們交點為，平面，同理平面，又平面平面，因此，即、必相交且交點在直線上．3．若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內；(2)如果和、和、和分別相交，那么交點在同一直線上（如圖）.【解析】（1）∵，∴確定平面，∵都在平面內，∴平面；平面，∵，∴確定平面，∵都在平面內，∴平面；平面，∵，∴確定平面，∵都在平面內，∴平面；平面；（2）∵，∴，因為平面，平面，所以點在平面與平面的交線上，∵，∴，因為平面，平面，所以點在平面與平面的交線上，∵，∴，因為平面，平面，所以點在平面與平面的交線上，所以三點共線.4．（2024·河南·模擬預測）在正四棱柱中，O為的中點，且點E既在平面內，又在平面內．

(1)證明：；(2)若，，E為AO的中點，E在底面ABCD內的射影為H，指出H所在的位置（需要說明理由），并求線段的長．【解析】（1）證明：連接．在正四棱柱中，，則A，，，D四點共面，所以平面．因為側面為矩形，且O為的中點，所以，所以O為平面與平面的一個公共點，所以平面平面，即平面平面，故．（2）取CD的中點F，連接OF，AF，則H為AF的中點．理由如下：因為F，O分別為CD，的中點，所以．在正四棱柱中，底面ABCD，所以底面ABCD，又，所以底面ABCD，即E在底面ABCD內的射影為H．因為底面ABCD，所以．因為，所以．題型二：截面問題5．（2024·高三·福建·期中）已知正方體的體積為，點在線段上，點異于點，，點在線段上，且，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段長的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】要想平面截正方體所得的截面為四邊形，則要平面分別與正方形分別交于，顯然與正方形無交線，只需保證與正方形無交線即可，因為平面平面，面與兩個平面分別交于，由面面平行的性質可得，因為點在線段上，且，由幾何關系知，隨著的增大，增大，故當與重合時，最大，因為正方體的體積為，所以正方體棱長為1，連接，延長相交于點，連接，，如圖所示，由于，故∽，故，故最長為，故.故選：D6．已知圓錐的底面面積為，其側面展開圖的圓心角為，則過該圓錐頂點做截面，截面三角形面積最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意，，，，，可得軸截面頂角大于90°，過該圓錐頂點做截面，當截面三角形頂角為90°，即截面三角形為等腰直角三角形時面積最大，所以截面最大面積為，故選：C．7．（2024·四川·一模）設正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結論正確的是（

）．A．M必為三角形 B．M可以是四邊形C．M的周長沒有最大值 D．M的面積存在最大值【答案】D【解析】對于選項A、B，易知平面為平面或與其平行的平面，故多邊形M只能為三角形或六邊形，選項A和B均錯誤；對于選項C，當M為正三角形時，顯然截面多邊形M為時周長取得最大值為；當截面多邊形M為六邊形時，設，則，，，易得：，，此時截面多邊形M的周長為定值：，綜合兩種情況，M的周長的最大值為，選項C錯誤；對于選項D，當M為正三角形時，僅當截面多邊形M為時的面積為；當截面多邊形M為六邊形時，設，該六邊形可由兩個等腰梯形和構成，其中，，，，兩個等腰梯形和的高分別為和，則，，當且僅當時，六邊形面積最大值為，即截面多邊形是正六邊形時截面面積最大．綜上，當時，截面多邊形為正六邊形時面積取得最大值.選項D正確.故選：D.8．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與中間的，且過棱的中點的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.9．（2024·全國·模擬預測）如圖，在正四棱柱中，，過點作垂直于直線PC的截面，則以為頂點，截面為底面的棱錐的體積為（

）A．42 B．48 C．56 D．63【答案】C【解析】分別在棱，上取點，使，連接，，則，，連接，則，所以為等邊三角形，易證，因為，所以平面，所以五邊形即為截面，設直線與直線間的距離為，因為的面積，四邊形的面積，所以截面的面積為，又點到截面的距離，所以所求棱錐的體積.故選：C.10．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，過點，，的平面交于點，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，平面與平面的交線與平行，即過點作的平行線，交于點，連接，因為，分別為棱和的中點，所以為的四等分點,過點作，交于點.從而G為AD的三等分點，故.故選：D.題型三：異面直線的判定11．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結論正確的是（

）A．，是異面直線， B．，是相交直線，C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直【答案】A【解析】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不經(jīng)過點的直線是異面直線．下面證明與垂直：證明：因為平面，平面，所以，因為，分別為的中點，連接，所以，因為，平面，所以平面，如圖：取的中點，連接，，因為平面，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為為的中點，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．故選：A．12．（2024·上?！つM預測）如下圖，是正方體面對角線上的動點，下列直線中，始終與直線異面的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】D【解析】當P位于中點時，易知，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時、面，故A錯誤；當P與重合時，此時、面，故B錯誤；當P與重合時，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時，故C錯誤；由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，而平面，平面，、平面，，故與始終異面，即D正確.故選：D13．已知正方體中，，，分別是棱，，的中點，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于選項A，面，面，面，所以直線與異面；對于選項B，當與重合時，因為，又，，分別是棱，，的中點，所以，所以，選項B錯誤；對于選項C，連接，在正方體中，易得且，所以與相交，即當與重合時，與相交，選項C錯誤；對于選項D，取中點，連交于，連，因為且，所以且，故當與重合時，與相交，選項D錯誤.故選：A.題型四：異面直線所成的角14．如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，因為在直三棱柱中，分別是棱的中點，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補角；直三棱柱中，所有棱長都相等，設其棱長為，連接，則平面，故平面平面，故，是棱的中點，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D.15．在正方體中，分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，由題意，所以異面直線與所成的角是或其補角，由正方體性質知是等邊三角形，，所以異面直線與所成的角是.故選：B.16．（2024·高三·陜西西安·期末）如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，交于點，取的中點，連接.因為，所以與所成的角為（或其補角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故選：C17．（2024·上海楊浦·二模）正方體中，異面直線與所成角的大小為.【答案】/【解析】正方體中，，因此異面直線與所成的角或其補角，而，因此.所以異面直線與所成角的大小為.故答案為：題型五：平面的基本性質18．下列說法不正確的是（）A．若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線B．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線C．若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈lD．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面【答案】B【解析】若四點中恰有三點共線，則直線和直線外一點，確定一個平面；若四點共線，則四點一定共面；若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線，故A正確．若兩條直線沒有公共點，則兩條直線可能異面，也可能平行，故B錯誤．若a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈α，A∈β.因為α∩β＝l，所以A∈l，故C正確．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確．故選B.19．如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，平面平面，則下列結論錯誤的是（

）A．過點BB．不一定過點BC．的延長線與的延長線的交點在上D．的延長線與的延長線的交點在上【答案】B【解析】連接，，如圖，因為P，Q分別是棱，的中點，由勾股定理得，所以四邊形是菱形，所以，P，B，Q四點共面，即平面.又平面，所以，故A結論正確，B結論錯誤.如圖，延長與的延長線交于點F，延長與的延長線交于點E.因為平面，所以平面，因為平面，所以平面，所以，同理，故C，D正確.故選：B20．若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考慮平面上個點兩兩距離相等，構成等邊三角形，成立；若平面內個點兩兩距離相等，則其中有三個點、、構成等邊三角形，第四個點到等邊三角形三個頂點的距離相等，則第四個點必為等邊三角形的中心，則，易知，則，矛盾，當時，也不成立；在空間中，個點兩兩距離相等，構成一個正四面體，成立；當時，考慮四個點構成的正四面體，第五個點與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，將棱長為的正四面體置于正方體中，則正方體的棱長為，正四面體的外接圓半徑為，矛盾，同理時不成立．故選：C．題型六：等角定理21．設和的兩邊分別平行，若，則的大小為.【答案】45°或135°/135°或45°【解析】根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.故答案為：45°或135°.22．空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是.【答案】正方形【解析】連接、，、、、分別為各邊的中點，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，且，，且，四邊形是正方形；故答案為：正方形．23．已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則.【答案】或【解析】根據(jù)等角定理知：或，若，則或.故答案為：或24．如圖，正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，及的中點，，則.

【答案】【解析】連接，如下圖所示：依題意且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得，根據(jù)空間等角定理可知或與互補，顯然與不互補，所以，由正方體可知，平面，而平面，所以，即，又，所以.故答案為：.25．已知空間兩個角和，若，，則．【答案】或【解析】因為，，當和開口方向相同時，；當和開口方向相反時，；綜上所述：或.故答案為：或.1．（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．若則下列說法正確的是（）A．a與l相交 B．b與l相交 C．a∥b D．a與β相交【答案】C【解析】對于AB，平面，，則，同理可得，則AB錯誤；對于C，由AB知道，則C正確；對于D，由A知道平面，平面，則，故D錯誤.故選：C.2．（2024·吉林·模擬預測）如圖，位于江城廣場某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖櫓人雕像相映成趣，一直以來是吉林市的重要地標之一.該時鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個時鐘正常運行的過程中，兩時針所在直線所成的角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知兩異面直線的夾角范圍為，結合正方體的特征不難發(fā)現(xiàn)：當一側時針指向3時，另一側時針指向9時時，兩時針所在直線所成角為直角，故在相鄰兩個時鐘正常運行的過程中，兩時針所在直線所成的角的最大值為.故選：D3．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均相等，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，取的中點，連接，由題意知，，則異面直線與所成角為（或其補角），在中，，則，則異面直線與所成角的余弦值為，故選：C．4．（2024·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，，與交點即為，因為，所以‖，因為‖，所以‖，所以共面，所以平面截正方體所得的截面為梯形，因為正方體的棱長為6，且，所以，在中，，則，在中，，則，在，，則，過作于，則，所以,所以等腰梯形的面積為,故選：A5．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點.過的平面與正四面體相截，得到一個截面多邊形，則正確的選項是（

）①截面多邊形可能是三角形或四邊形.②截面多邊形周長的取值范圍是.③截面多邊形面積的取值范圍是.④當截面多邊形是一個面積為的四邊形時，四邊形的對角線互相垂直.A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】對于①，當平面過或時，截面為三角形.易知正四面體關于平面對稱，將平面從平面開始旋轉與交于點時，由對稱性可知，此時平面與交于點，且，此時截面為四邊形，①正確；對于②，設，由余弦定理得，，由兩點間距離公式知，表示動點到定點和的距離之和，當三點共線時取得最小值，由二次函數(shù)單調性可知，當或時，取得最大值，所以截面多邊形周長的取值范圍是，所以②錯誤；對于③，記與的交點為，由對稱性，，所以，，因為，所以，所以，記，則，因為，所以，由二次函數(shù)性質可知，，即，所以，③正確；對于④，由③知，當截面為四邊形時，對角線，垂直，所以④正確．故選：D6．（2024·上?！と＃┤鐖D，點N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點，則（

）A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線【答案】D【解析】連接，因為點N為正方形ABCD的中心，所以是的中點，所以平面，所以與相交，因為四邊形ABCD是正方形，所以，又因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，又因為是等邊三角形，所以，所以，所以，又因為是的中點，所以.故選：D.7．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點，平面與棱交于點N.給出下面幾個結論，其中所有正確的結論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解析】對于①，因為平面與棱交于點，所以四點共面，在正方體中，由平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故①正確對于②，在正方體中，面，因為面，所以，若是正方形，有，，若不重合，則與矛盾，若重合，則不成立，故②錯誤；對于③，因為平面，，若直線與平面垂直，則直線，顯然矛盾，所以平面與直線不可能垂直，故③錯誤對于④，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理：，又平面，平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故④正確.綜上所述，正確的有①④.故選：C.8．（2024·重慶·模擬預測）如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點，點P在平面內的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，取的中點E，連接．因為分別是的中點，所以．因為四邊形是平行四邊形，所以．因為N為的中點，所以，所以．故四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與所成的角為．連接，因為點P在平面內的射影為N，所以平面，所以與平面所成的角為，所以．不妨令，則，所以，所以，在中，由余弦定理得．故選：A．9．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預測）下列基本事實敘述正確的是（

）A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面D．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面【答案】AB【解析】根據(jù)基本事實以及推論，易知A，B正確；對于C項，若三點共線，經(jīng)過三點的平面有無數(shù)多個，故C錯誤；對于D，若這個點在直線外，則確定一個平面，若這個點在直線上，可有無數(shù)平面，故D不正確；故選：AB10．（多選題）（2024·安徽蕪湖·模擬預測）如圖，長方體，過點作平面的垂線，垂足為點．則以下命題中，正確的是（

）A．點是的垂心 B．垂直平面C．的延長線經(jīng)過點 D．直線和是異面直線【答案】AB【解析】對于A，垂直平面，平面，故，在長方體中直線兩兩互相垂直，則平面，平面，故，可得，又是平面內兩條相交直線，則平面，因為平面，所以.同理可得，則是的垂心，故A正確；對于B，由長方體的性質可知，平面，平面，所以平面；同理平面，平面，所以平面；又因為是平面內兩條相交直線，則平面平面，由題意可知垂直平面，則垂直平面，故B正確；對于C，根據(jù)正方體的性質可知，對角線垂直于平面，則在不是正方體的長方體中，不垂直于平面，又因為垂直平面，兩直線不重合，正方體是長方體的特殊情況，則的延長線經(jīng)不一定過點，故C錯誤；對于D，根據(jù)正方體的性質可知，當長方體為正方體時，即.由于四邊形為平行四邊形，故直線和是相交直線，即直線和不一定是異面直線，故D錯誤；故選：AB11．（多選題）（2024·重慶·三模）如圖，已知正方體中，分別為棱、的中點，則下列說法正確的是（

）A．四點共面 B．與異面C． D．RS與所成角為【答案】AC【解析】以D為坐標原點，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系：設正方體的棱長為2，則，因為分別為棱、的中點，所以，對于A，因為，所以，所以，所以四點共面，正確；對于B，因為，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，錯誤；對于C，因為，所以，所以，即，正確；對于D，因為，所以，，所以，設RS與所成角為，，則，所以，即與所成角為，錯誤.故選：AC12．（多選題）（2024·浙江溫州·三模）已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（

）A．30° B．45° C．75° D．90°【答案】AD【解析】過點作，從兩對角的角平分線開始，直線與所成角的范圍為或，而均為的直線有且僅有一條，根據(jù)對稱性，可得或.故選：AD.13．（2024·全國·二模）已知長方體的底面ABCD為邊長是2的正方形，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點，則過，E，F(xiàn)的平面截長方體的表面所得截面的面積為.【答案】【解析】在長方體中，連接并延長與的延長線交于點，直線交于，交的延長線于，連接交于，連接，則五邊形即為過點的長方體的截面，由，為的中點，得是中點，，，由，是中點，得，則，則，等腰底邊上的高，的面積，平面平面，平面平面，平面平面，則，于是∽，同理，∽，，因此，所以所得截面的面積為.故答案為：.14．（2024·遼寧大連·二模）如圖，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為.【答案】/【解析】連接，由題設及圖易知是圓柱的母線，所以為矩形，設，則是的中點，設是的中點，連接，則，則是異面直線與所成角或其補角.由于，，所以，由于，而是圓柱底面圓的直徑，則，所以，則，，而，在三角形中，由余弦定理得.故答案為：15．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則平面MNC1截該四棱柱所得截面的周長為．【答案】【解析】延長相交于點，連接交于點，連接，因為正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，所以MN=AM2+AN因為∽，，故，，在上取點，連接，則，同理可知，所以四邊形為平行四邊形，故四點共面，則平面MNC1截該四棱柱所得的截面為五邊形，，同理，故截面周長為.故答案為：16．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在正方體中，點P是線段上的一個動點，記異面直線DP與所成角為，則的最小值為．【答案】【解析】連接，在正方體中，可得，所以（或其補角）是異面直線與所成的角，在正方體中，可得平面，又平面，所以，所以，即，當最小時，最小，此時最小，當時，最小，令，可得，可得，所以.故答案為：.17．（2024·四川涼山·三模）如圖，在正四棱柱中，，，點，，，分別在棱，，，上，．

(1)證明：點在平面中；(2)求多面體的體積．【解析】（1）取中點，中點，連接，，．∵，∴四邊形為平行四邊形∴①又∵，，∴．∴四邊形為平行四邊形∴②,由①②得．∴，，，四點共面，即點在平面中．（2）連接，，．∵為正四棱柱．∴，又，，分別是，中點．∴．∴．∵∴平面，即平面．在中由勾股定理，．∴由（1）可得四邊形為平行四邊形且．∴四邊形為菱形．∴為中點．∴平面，平面，∴．在中，，，∴∴在中，，，∴多面體的體積.18．（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱，各棱長均相等.，，分別為棱，，的中點.(1)證明：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值.【解析】（1）證明：由題意在等邊三角形中，為的中點，所以，在直棱柱中，平面，平面，所以，而，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）連接，因為，，分別為棱，，的中點，所以，且，在三棱柱中，，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以即為直線與所成的角，在△中，設直三棱柱的棱長為2，則可得．故即直線與所成角的正弦值為．19．（2024·貴州貴陽·二模）如圖.直四棱柱的底面為菱形，且分別是上，下底面的中心，是AB的中點，.(1)當時，求直線與直線EC所成角的余弦值；(2)是否存在實數(shù)k，使得在平面EBC內的射影恰好為的重心.若存在，求出點的坐標;若不存在，請說明理由.【解析】（1）法一：取的中點Q，CD的中點，連接，則且，且，故四邊形均為平行四邊形，，，為直線與直線EC所成角或補角，不妨設，則，則，在中，中，，直線與直線EC所成角的余弦值為；法二：如圖，設，以為原點建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，，直線與直線EC所成角的余弦值為；（2）如圖，設，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，故，設平面EBC的法向量，，令，又的重心，，但與不平行，所以不存在實數(shù)，使得在平面EBC內的射影恰好為的重心．1．（2002年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（新課標））已知，為異面直線，平面，平面，，則（

）A．與，都相交 B．與，中至少一條相交C．與，都不相交 D．至多與，中的一條相交【答案】B【解析】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；故C不正確；如圖，與中的一條相交，另一條不相交，也可以與兩條都相交，但不交于同一點，如圖綜上：與中的至少一條相交.故選：B2．（2006年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（上海卷））已知空間四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“這