2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算(六大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平面向量的基本概念 2題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題 2題型三：共線定理及其應(yīng)用 3題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用 3題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 5題型六：向量共線的坐標(biāo)表示 502重難創(chuàng)新練 603真題實(shí)戰(zhàn)練 8題型一：平面向量的基本概念1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的?？梢员容^大小2．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒(méi)有方向的3．若向量與為非零向量，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若非零向量，則與的方向相同D．若，則題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題4．如圖所示，在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).若，，則等于（

）A． B． C． D．5．（2024·山東聊城·一模）是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，則（

）A． B．1 C． D．6．已知向量共線，且，則．題型三：共線定理及其應(yīng)用7．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線8．已知非零向量和不共線，若與共線，則的值為．9．已知是不共線的向量，且，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線 C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線10．已知分別為的邊上的點(diǎn)，線段和相交于點(diǎn)，若，，，其中．則的最小值為．11．在中，為上的一點(diǎn)，滿足.若為上的一點(diǎn)，滿足，則與的關(guān)系為；的最小值為.題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用12．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋13．（2024·廣東汕頭·三模）已知四邊形是平行四邊形，，，則（

）A． B．C． D．14．設(shè)為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和15．在中，，，則（

）A． B．C． D．16．（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．17．如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．18．（2024·云南昆明·一模）在中，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算19．若向量，則對(duì)應(yīng)的位置向量的終點(diǎn)坐標(biāo)是．20．如圖，直線?與軸正方向的夾角分別為和，，，則的坐標(biāo)是.21．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）菱形中，，，則．22．已知，，點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.23．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．24．已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.題型六：向量共線的坐標(biāo)表示25．如果三點(diǎn)共線，則的值為.26．已知，，且，則實(shí)數(shù)．27．若，，三點(diǎn)共線，則.28．在平面直角坐標(biāo)系中，，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．1．已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．2．設(shè)是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．4．已知為不共線向量，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）在中，，若，，，則（

）A． B． C． D．6．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知點(diǎn)O為的重心，，則（）A． B． C．1 D．67．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B． C．0 D．28．（2024·河北承德·二模）在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．

15．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量，，若向量與向量共線，則角．16．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是.1．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（廣東卷））已知平面向量，，且，則等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）2．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（陜西卷））已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A．－ B．C．－或 D．03．（2015年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）如下圖，是線段的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么能夠表示為（

）A． B．C． D．4．（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．5．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（大綱卷Ⅱ））在中，是邊上一點(diǎn).若，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（瓊、寧卷））平面向量，共線的充要條件是（

）A．，方向相同 B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．， D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，7．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（浙江卷））已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．8．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（廣東卷））已知向量，，且，則．9．（2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是．

第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平面向量的基本概念 2題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題 3題型三：共線定理及其應(yīng)用 4題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用 7題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 10題型六：向量共線的坐標(biāo)表示 1302重難創(chuàng)新練 1403真題實(shí)戰(zhàn)練 21題型一：平面向量的基本概念1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的?？梢员容^大小【答案】D【解析】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯(cuò)；由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯(cuò)；長(zhǎng)度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長(zhǎng)為1的向量只規(guī)定了長(zhǎng)度相等，方向不一等相同，故C錯(cuò)；向量的模長(zhǎng)是一個(gè)數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確.故選：D.2．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒(méi)有方向的【答案】B【解析】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯(cuò)誤，B正確；速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯(cuò)誤；零向量方向任意，D錯(cuò)誤.故選：B3．若向量與為非零向量，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若非零向量，則與的方向相同D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由于向量不能比大小，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)向量又向量與是非零向量，所以，又，所以，故與的方向相同；C正確；若，方向不一定相同，則不一定相等，D錯(cuò)誤；故選：C.題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題4．如圖所示，在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，則，所以，則，所以，則.故選：B.5．（2024·山東聊城·一模）是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由，則，所以，即，又，故，故.故選：D6．已知向量共線，且，則．【答案】或【解析】由向量共線，故向量可能同向、可能反向，當(dāng)向量同向時(shí)，由，則，當(dāng)向量反向時(shí)，由，則.即可能為或.故答案為：或.題型三：共線定理及其應(yīng)用7．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線【答案】C【解析】對(duì)A，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)椋?，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，，則，故、、三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C8．已知非零向量和不共線，若與共線，則的值為．【答案】/【解析】非零向量和不共線，則，由與共線，得，因此，解得，所以的值為.故答案為：9．已知是不共線的向量，且，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線 C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】C【解析】A：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；B：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；C：，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，解得，所以假設(shè)成立，故C正確；D：，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則三點(diǎn)共線.，得，無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C10．已知分別為的邊上的點(diǎn)，線段和相交于點(diǎn)，若，，，其中．則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示：因?yàn)椋杂?，所以，所?三點(diǎn)共線，，化簡(jiǎn)得；，當(dāng)且僅當(dāng)，，取等；故答案為：.11．在中，為上的一點(diǎn)，滿足.若為上的一點(diǎn)，滿足，則與的關(guān)系為；的最小值為.【答案】【解析】如圖所示，由得，即，又，所以，又為上的一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：；.題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用12．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【解析】分別為的邊上的中線,則,,由于，，所以,故解得故選：B13．（2024·廣東汕頭·三模）已知四邊形是平行四邊形，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，由，，得.故選：A14．設(shè)為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】平面向量的基底由兩個(gè)不共線的非零向量組成，C選項(xiàng)中，，即和為共線向量，所以它們不能作為基底.其它選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.故選：C15．在中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以M是位于BC上的靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，如下圖所示：所以.故選：D16．（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則，因此，.故選：A.17．如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且，所以，?故選：D18．（2024·云南昆明·一模）在中，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如下圖所示：易知；即可得.故選：C題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算19．若向量，則對(duì)應(yīng)的位置向量的終點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【解析】，所以對(duì)應(yīng)的位置向量的終點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：20．如圖，直線?與軸正方向的夾角分別為和，，，則的坐標(biāo)是.【答案】【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A、B分別作垂線，垂足分別為C、D,由題得A的坐標(biāo)為由于,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以的坐標(biāo)為即.故答案為：21．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）菱形中，，，則．【答案】-3【解析】由題意，在菱形中，，，可得，，∴，解得：．故答案為：-3．22．已知，，點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，由于在線段延長(zhǎng)線上，且，所以，則，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：23．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則，，∴，∴，解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4).故答案為：(2，4).24．已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】(3,3)【解析】法一:由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè),則,又，由共線，得，解得，所以,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),故答案為：法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則，因?yàn)?，且與共線，所以，即x=y.又，，且共線，所以，解得x=y=3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)，故答案為：題型六：向量共線的坐標(biāo)表示25．如果三點(diǎn)共線，則的值為.【答案】3【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在使得.即，解得.故答案為：326．已知，，且，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故答案為：27．若，，三點(diǎn)共線，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以與共線，所以，得，故答案為：28．在平面直角坐標(biāo)系中，，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【解析】A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則與不共線，，若與共線，則有，解得，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：1．已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】由，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，得，解得，，所以.故選：A2．設(shè)是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】對(duì)于非零向量，由可知向量共線，但不一定是，所以充分性不成立；由，可知向量共線同向，則，所以必要性成立，所以設(shè)是非零向量，則是成立的必要不充分條件，故選：C.3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，所以，從而與向量同方向的單位向量為.故選：A.4．已知為不共線向量，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】A【解析】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，故選：A．5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）在中，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，，則．設(shè)，由于，則，則．假如的起點(diǎn)均為，運(yùn)用加法的平行四邊形法作圖求和，對(duì)角線對(duì)應(yīng)的終點(diǎn)如圖所示，所以．故選：A．6．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知點(diǎn)O為的重心，，則（）A． B． C．1 D．6【答案】A【解析】根據(jù)向量加法三角形運(yùn)算法知（?）；F為中點(diǎn)，則（??）；點(diǎn)O為的重心，則，代入（??）得到，，代入（?）得到，，結(jié)合，可得，所以.故選：A.7．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】若，有，解得．故選：B．8．（2024·河北承德·二模）在中，為中點(diǎn)，連接，設(shè)為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，所以，故選：D9．（多選題）（2024·高三·山東泰安·期末）如圖，在四邊形ABCD中，為BC邊上一點(diǎn)，且為AE的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，由向量加法的三角形法則得，又F為AE的中點(diǎn)，則，故A正確；，故B正確；，故D正確；，故C錯(cuò)誤.故選：ABD10．（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得D．若是兩個(gè)單位向量，且，則【答案】ACD【解析】對(duì)A，若為零向量時(shí)，與的方向不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，分別表示，方向上的單位向量，根據(jù)題意可知B正確；對(duì)C，若為零向量，不為零向量時(shí)，不存在實(shí)數(shù)使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ACD11．（多選題）（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為4【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，又，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，又，為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD12．（2024·上海·三模）設(shè)平面向量，，若，不能組成平面上的一個(gè)基底，則．【答案】/【解析】由，不能組成平面上的一個(gè)基底，得，而，，因此，所以.故答案為：13．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在中，，P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是.【答案】【解析】因?yàn)樵谥?，，所以，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，結(jié)合題意知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：14．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若將，作為平面向量的一個(gè)基，則向量可表示為（用表示）.

【答案】【解析】由已知，則，所以，所以.故答案為：.15．（2