浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A=xx2?2x?3≤0，A．1,3 B．1,3 C．?1,1 D．?1,12．已知復(fù)數(shù)z滿足z=?zi（i為虛數(shù)單位），且z=A．2i B．?2i C．2+2i3．已知隨機變量X1，X2分別滿足二項分布X1~B(n1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若0<x<12，則A．3+22 B．6 C．425．冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細(xì)菌引起的，已知某細(xì)菌是以簡單的二分裂法進(jìn)行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個變?yōu)?個）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個該細(xì)菌增長到1億個該細(xì)菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3A．3小時 B．4小時 C．5小時 D．6小時6．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足sinA．fπ3<3fπ6 B．7．已知數(shù)列an，bn滿足a1=b1=1A．2n?1 B．C．2n+12 8．已知四面體ABCD，△ABC是邊長為6的正三角形，DA=DB=23，二面角D?AB?C的大小為23πA．40π B．52π C．72π D．84π二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知平面向量a=3,1A．若a∥b，則x=?33 B．若C．若a+b=7，則x=0 10．已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠DAB=π3，A1A．OA,B．OA,C．直線OP//平面CD．向量CP在平面AB111．已知函數(shù)fx=cosA．將函數(shù)y=fx的圖象右移π12個單位可得到函數(shù)B．將函數(shù)y=fx的圖象右移π6個單位可得到函數(shù)C．函數(shù)y=fx與y=gx的圖象關(guān)于直線D．函數(shù)y=fx與y=gx的圖象關(guān)于點12．（多選）已知數(shù)據(jù)x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，若去掉x4后剩余6個數(shù)的平均數(shù)比7個數(shù)的平均數(shù)大，記x1，xA．xB．xC．sD．s三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．直線y=3的傾斜角是14．已知二項式1+2xn的展開式中含x2的項的系數(shù)為84，則n=15．位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=70°，∠BDC=30°，CD=108米，在點C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高AB為米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：cos80°≈0.17416．已知點P是雙曲線C：x2a2?y2四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=4，b=8，角C為銳角，已知△ABC的面積為47（1）求c；（2）若CD為AB上的中線，求∠BDC的余弦值.18．已知Sn為公差為2的等差數(shù)列an的前n項和，若數(shù)列（1）求an（2）求數(shù)列S2n的前19．已知直三棱柱ABC?A1B1C1，AB=AC=12A（1）證明：平面BDA⊥平面ECA（2）若點B1到平面ECA1的距離為47，求直線20．已知點F1，F(xiàn)2為橢圓C：x22+y2=1的左，右焦點，橢圓C上的點P，Q滿足F1（1）當(dāng)k=1時，求PF（2）記△PF1G，△QF2G的面積分別為21．我國有天氣諺語“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”，說的是如果中秋節(jié)有降水，則來年的元宵節(jié)亦會有降水.某同學(xué)想驗證該諺語的正確性，統(tǒng)計了40地5年共200組中秋節(jié)與來年元宵節(jié)的降水狀況，整理如下：中秋天氣元宵天氣合計降水無降水降水194160無降水5090140合計69131200（1）依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為元宵節(jié)的降水與前一年的中秋節(jié)降水有關(guān)？（2）從以上200組數(shù)據(jù)中隨機選擇2組，記隨機事件A為二組數(shù)據(jù)中中秋節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，記隨機事件B為二組數(shù)據(jù)中元宵節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，求PB參考公式與數(shù)據(jù)：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82822．定義滿足fx0=f'x0（1）證明：對于?a∈R，函數(shù)y=fx（2）設(shè)x0為函數(shù)y=fx的然點，判斷函數(shù)

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由不等式x2?2x?3≤0，可得x+1x?3≤0，

解得：由不等式3x?1≤1，可得3x?1?1≤0，即3?x+1x?1≤0，即x?1x?4≥0x≠1，

故答案為：D.【分析】先解不等式求集合A,B，再根據(jù)集合的交集的定義求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，a,b∈R，則z=a?bi因為復(fù)數(shù)z滿足z=?zi，所以a+bi=?a?bi×i?a+b+a+bi=0?a=?b，

又因為z=所以z=1?i或z=?1+i，則z2=1?i故答案為：B.【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)相等的充要條件、復(fù)數(shù)的模公式求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：因為X1~B(所以D(X所以n1>n若D(X1)>D(所以“n1>n故答案為：C.【分析】本題考查二項分布的方差，利用二項分布的方差公式D(x)=np(1-p)可求出D(X4．【答案】A【解析】【解答】解：因為0<x<12，所以1?2x>0，且則1x當(dāng)且僅當(dāng)1?2xx=2x1?2x時，即x=2?故答案為：A.

【分析】由題意可得：1?2x>0，2x+(1?2x)=1，利用配湊法，結(jié)合基本不等式求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)適宜條件下1萬個該細(xì)菌增長到1億個該細(xì)菌大約需要x分鐘，由題意可得：1?2x23則x=4×23lg2故答案為：C.【分析】設(shè)適宜條件下1萬個該細(xì)菌增長到1億個該細(xì)菌大約需要x分鐘，由題意列等式，化簡結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：構(gòu)造函數(shù)Fx=f求導(dǎo)可得F'x=f'xcos則Fx=f故Fπ6<F故答案為：B.【分析】構(gòu)造函數(shù)Fx=fxcos7．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得：an+1因為an+1=an+bn故數(shù)列an的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2由a1=b1=1，可得a其中奇數(shù)項的通項公式為an偶數(shù)項的通項公式為an故數(shù)列an的通項公式為a故答案為：D.【分析】根據(jù)已知遞推關(guān)系，求得an+2an=2，即數(shù)列an8．【答案】B【解析】【解答】解：記AB中點E，連接CE,DE，如圖所示：

因為△ABC是邊長為6的正三角形，DA=DB=23，所以AB⊥CE,AB⊥DE，所以二面角D?AB?C的平面角為∠CED=2取三角形ABC的外心O1，設(shè)外接球的球心為O，則OO1且OA=OB=OC=OD=r，其中r為四面體ABCD外接球的半徑，過點D作DG垂直平面ABC，垂足為點G，由對稱性可知點G必定落在O1E的延長線上，如圖所示：設(shè)DF=x，由正弦定理可得：C1O=12×由勾股定理可得：DE=2故EG=DE?cosπ?∠CED=DE?OO1=FG=由OD=OC=r，可得r2=12+3故四面體ABCD的外接球的表面積為4πr故答案為：B.【分析】根據(jù)題意，畫出幾何圖形，找出外接球球心的位置，利用OD=OC=r以及圖形幾何關(guān)系表示出相應(yīng)的線段長度，結(jié)合勾股定理列方程求出外接球半徑，代入球的表面積公式求解即可.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：平面向量a=3,1，b=x,?3，

A、若aB、若a⊥b，則3x+1×C、若a+b=7，則a?D、若a,b=5π6故答案為：ABD.【分析】根據(jù)向量共線定理求解即可判斷A；根據(jù)向量垂直，向量的數(shù)量積為0，求解即可判斷B；根據(jù)向量的模公式求解即可判斷C；根據(jù)向量的夾角公式求解即可判斷D.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：四棱柱ABCD?A1BA、易知BD=B1D1，則向量OA→,B1B、兩個向量OA,OD都在平面OAD，顯然直線AB與平面OAD是相交關(guān)系，AB不與平面故OA?C、由于BD//B1D1，AB1//DC1從而有平面AB1D1//平面C1BD，且OP?D、取AB,OC=OCOA=其中OC?因為底面ABCD為菱形，且∠DAB=π3，A1得AD2=AB2，AA1?AB其中OC?OA=[1所以O(shè)C?OA=0，即OC因為OC⊥B1D1，OC⊥OA，且B1D1?平面所以O(shè)C⊥平面AB1D1，所以向量CP在平面故答案為：BCD.【分析】易知BD=B1D1，容易判斷OA?,B1D1?,AB1?11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：AB、函數(shù)gx=sin2x+則將函數(shù)y=fx的圖象右移π12個單位可得到C、由A選項可知，gx=fx?π12，則函數(shù)y=fD、若函數(shù)y=fx與y=gx的圖象關(guān)于點則在y=fx上取點Ax1,y1關(guān)于所以y1=cos故答案為：ACD.【分析】先將函數(shù)y=gx化為gx=cos212．【答案】A,C【解析】【解答】解：由x1<x2<x3<x4<x5由s==>14故答案為：AC.【分析】由題意，根據(jù)去掉x4后剩余6個數(shù)的平均數(shù)比7個數(shù)的平均數(shù)大，列出不等式變形化簡即可判斷AB；根據(jù)方差公式作差后變形，再利用x13．【答案】0【解析】【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為α∈0,π，易知直線y=3的斜率為0，則tanα=0則直線y=3故答案為：0.【分析】根據(jù)直線斜率和傾斜角的關(guān)系求解即可.14．【答案】7【解析】【解答】解：二項式1+2xn展開式的通項為：Tr+1=Cnr2xrr=0,1，2，?，n，

因為該項的系數(shù)為84，所以2n(n?1)=84，即n2?n?42=0，解得故答案為：7.【分析】寫出二項展開式的通項，根據(jù)通項公式求解即可.15．【答案】310【解析】【解答】解：設(shè)AB=h米，因為在點C測得塔頂A的仰角為80°，所以∠BCA=80°，

在△ABC中，ABBC=tan在△BCD中，因為∠BCD=70°，∠BDC=30°，

所以∠CBD=180°?70°?30°=80°，由正弦定理CDsin∠CBD=BCsin即h=BCtan故答案為：310.【分析】設(shè)AB=h米，在△ABC中，求得h=BCtan80°，在△BCD中利用正弦定理求出16．【答案】6【解析】【解答】解：由雙曲線C：x2a2?y2b2=1a,b>0與圓設(shè)點P關(guān)于雙曲線C的漸近線y=?bax的對稱點為Q，則Q恰好在y且OQ=OP=由點P與點Q關(guān)于漸近線y=?bax對稱，所以直線PQ所以33b+a2+則e=ca=故答案為：62【分析】由題意，聯(lián)立雙曲線與圓的方程，求得點P的坐標(biāo)，再求得其對稱點Q的坐標(biāo)，根據(jù)kPQ??17．【答案】（1）解：因為△ABC的面積為47，所以1又因為a=4，b=8，所以sinC=74，由角C根據(jù)余弦定理可得c2=a（2）解：因為CD為AB上的中線，所以CD=則CD?=14b則cos∠BDC=【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合余弦定理求解即可；（2）因為CD為AB上的中線，所以CD=12（1）由△ABC的面積為47可得：1因為a=4，b=8，解得：得sinC=由角C為銳角得cosC=故c2=a（2）因為CD為AB上的中線，所以CD=所以CD2=1解得：CD=4故cos∠BDC=18．【答案】（1）解：因為Sn為公差為2的等差數(shù)列an的前n項和，所以Sn=na1+nn-1，an=a故an（2）解：由（1）得Sn=n故數(shù)列S2n的前n項和為【解析】【分析】（1）由等差中項的性質(zhì)可得2?S2a2=S1（2）由（1）得Sn=n2+n（1）因為數(shù)列Snan因為Sn為公差為2的等差數(shù)列an的前則2?2a1故an（2）由（1）得Sn=n故數(shù)列S2n的前n項和為19．【答案】（1）證明：在直三棱柱中，AB⊥AC，AA1⊥平面ABC，以A為原點，AB，AC，A則A10,0,4，B2,0,0，B12,0,4則BD=?2,2,1，AB=設(shè)BE=t，則E2,0,t，設(shè)平面BDA和平面ECA1的法向量分別為則n1?BD=?2xn2?EC=?2x因為n1?n2=0（2）解：設(shè)點E2,0,t，由A1C=0,2,?4，A由A1B1=2,0,0得點B1到平面由BD=?2,2,1，n=43,4,2得，直線【解析】【分析】（1）以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDA和平面ECA（2）設(shè)出E點坐標(biāo)，由已知點面距離利用向量法解出點E坐標(biāo)，再代入線面角的向量公式求解即可.20．【答案】（1）解：根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示：設(shè)點Px1,y1當(dāng)k=1時，直線PF1的方程為：x22+由韋達(dá)定理可得：x1則x1即PF（2）解：直線PF1的斜率為kk>0，設(shè)直線P聯(lián)立x22+由韋達(dá)定理可得：y1S1=1當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k，即k=22時等號成立，故【解析】【分析】（1）由題意作出圖形，易知F11,0，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得（2）設(shè)直線PF1的方程為：x=yk?1（1）設(shè)直線PF1與橢圓的另一個交點為Q'，由橢圓的對稱性得Q設(shè)點Px1,因為C：x22+y2所以當(dāng)k=1時，直線PF1的方程為：聯(lián)立直線y=x+1與橢圓x2+2y