甘肅省酒泉市瓜州縣重點中學2023-2024學年高三上學期1月期末考試數(shù)學試題

甘肅省酒泉市瓜州縣重點中學2023-2024學年高三上學期1月期末考試數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．設全集U={x∣x=2k，k∈Z}，集合M={x∣x=4k，A．{x∣x=4k?1，k∈Z} C．{x∣x=4k?3，k∈Z} 2．已知復數(shù)z=1?i，則1zA．1+12i B．1?12i3．已知雙曲線C：x2a2?y2bA．x2?yC．3x2204．下列可能是函數(shù)y=xA． B．C． D．5．已知圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓，過圓錐高的中點且與底面平行的平面截此圓錐所得的圓臺體積是（）A．73π24 B．3π6 6．記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T，若2π3A．32 B．52 C．17．甲?乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是35和1A．415‘ B．1115 C．2118．已知直線y=k1x與y=k2A．4e B．2a C．4 二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知向量a=(xA．若a∥bB．若a⊥bC．當x<2時，a與b的夾角為銳角D．若x=1，則a與b的夾角的余弦值為1010．若一組不完全相同的數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為x，極差為a，中位數(shù)為b，方差為s2，在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)x后得到一組新數(shù)據(jù)A．x'=x B．a'=a 11．設O為坐標原點，直線y=?3(x?1)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，且與CA．p=2 B．|MN|=C．以MN為直徑的圓與l相切 D．△OMN為等腰三角形12．同學們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實上，這些曲線在數(shù)學上常常被稱為懸鏈線，懸鏈線的相關理論在工程?航海?光學等方面有廣泛的應用.在恰當?shù)淖鴺讼抵?，這類函數(shù)的表達式可以為f(x)=aex+be?x（其中a，bA．a=b是函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的充分不必要條件B．a+b=0是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件C．如果ab<0，那么f(x)為單調函數(shù)D．如果ab>0，那么函數(shù)f(x)存在極值點三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．某班有48名學生，一次考試的數(shù)學成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N(80，σ2)，且成績在14．與兩坐標軸都相切，且圓心在直線2x?y+6=0上的圓的標準方程是.15．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個.（用數(shù)字作答）16．正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為3，點E，F(xiàn)分別在線段DD1和線段AA1上，且D1四、解答題：本大題共6小題?共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17．已知數(shù)列{an}（1）求數(shù)列{a（2）設數(shù)列{bn}滿足bn=an18．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a=42，b=5，c=7（1）求cosA（2）若點D在邊BC上，且BD=3CD，求AD．19．某中學對50名學生的“學習興趣”和“主動預習”情況進行長期調查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：主動預習不太主動預習合計學習興趣高18725學習興趣一般61925合計242650（1）現(xiàn)從“學習興趣一般”的25名學生中，任取2人，用X表示其中“會主動預習”的學生的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）依據(jù)小概率值α=0.參考數(shù)據(jù)?附表及公式：χ2α0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，AC∥DE，且（1）求證：平面ABE⊥平面ABC；（2）求直線AE與平面BDE所成角的余弦值.21．已知橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）M，N是橢圓C上的兩個動點（M，N與點A不重合），直線AM，AN的斜率之和為4，作AH⊥MN于H.是否存在定點P，使得22．已知函數(shù)f(x)=e（1）討論f(x)的單調性；（2）證明：當x∈(0，2)時，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】設全集U={x∣x=2k，k∈Z}，集合M={x∣x=4k，k∈Z}={x∣x=2×2k，k∈Z}，

2．【答案】D【解析】【解答】已知復數(shù)z=1?i，則1=故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合復數(shù)與共軛復數(shù)的關系，從而由復數(shù)的混合運算法則得出所求復數(shù)。3．【答案】B【解析】【解答】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的焦距為25，所以2c=25，所以c=5，(1)，

又因為點P(2，1)在雙曲線C的漸近線上，所以點P在雙曲線C的漸近線y=4．【答案】D【解析】【解答】解：函數(shù)定義域為R，排除選項A、B，當x=2時，y=x故答案為：D.

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和特殊值逐項判斷即可.5．【答案】A【解析】【解答】設圓錐的高為h，底面半徑為r，母線長為l，

已知圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓，所以πrl=2πl(wèi)π=2πr，則r=1l=2，

所以該圓錐的高為h=l2-r2=4-1=3，所以該圓錐的體積為6．【答案】C【解析】【解答】記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T，所以T=2πω，所以ω=2πT，

若2π3<T<π，則1π<1T<32π，所以2<2πT<3，則2<ω<3，

因為y=f(x)的圖象關于點(3π2，2)中心對稱，

所以7．【答案】D【解析】【解答】設事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，又因為甲?乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是35和13，則P(A)=35，P(B)=13，

故P8．【答案】A【解析】【解答】已知直線y=k1x與y=k2x(k1>k2)是曲線y=ax+2ln|x|(a∈R)的兩條切線，

所以曲線的切線過原點O(0，0)，

當x>0時，曲線為y=ax+2lnx(a∈R)，

設x1>0，直線y=k1x在曲線上的切點為(x1，ax1+2lnx1)，y'=a+2x1，

所以切線為：y-(ax1+2lnx19．【答案】A,B,D【解析】【解答】已知向量a=(x，1)，b=(?1，2)，

對于A，若a∥b，則2x=-1，所以x=?12，所以A對；

對于B，若a⊥b，則a→·b→=0，所以-x+2=0，則x=2，所以B對；

對于C，當x=-12時，則a→=(-12，1)，所以10．【答案】A,B【解析】【解答】若一組不完全相同的數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為x，極差為a，中位數(shù)為b，方差為s2，在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)x后得到一組新數(shù)據(jù)x，x1，x2，?，xn，其平均數(shù)為x'=x-+x11．【答案】A,C【解析】【解答】由題意作圖如下：

對于A，直線y=?3(x?1)過點(1，0)，所以拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F為(1，0)，

所以p2=1，p=2，所以A對；

對于B，由選項A知p=2得出2p=4，所以拋物線C的標準方程為：y2=4x，

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由y12．【答案】B,C,D【解析】【解答】對于A，當a=b時，函數(shù)f(x)定義域為R關于原點對稱，

f(-x)=ae-x+bex=f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；

當函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時，f(x)-f(-x)=0，故(a-b)ex-(a-b)e-x=0，

所以a-b=0，所以a=b，所以a=b是函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的充要條件，所以A錯‘

對于B，當a+b=0時，函數(shù)f(x)的定義域為R關于原點對稱，

f(x)+f(-x)=(a+b)ex+(a+b)e-x=0，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

當函數(shù)f(x)為奇函數(shù)時，f(x)+f(-x)=(a+b)ex+(a+b)e-x=0，所以a+b=0，

所以a+b=0是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件，所以B對；

對于C，f'(x)=aex-be?x，因為ab<0，

當a>0，b<0時，則f'(x)=aex-be?x>013．【答案】8【解析】【解答】由X服從正態(tài)分布N(80，σ2)，由正態(tài)密度曲線的對稱性為x=80，成績在[80，14．【答案】(x+2)【解析】【解答】設圓心C(a，b)，因為圓與兩坐標軸都相切，則半徑為r=a=b，

且圓心到兩坐標軸的距離相等，所以a=b，(1)，

又因為圓心在直線2x?y+6=0上，所以2a-b+6=0，(2)，(1)(2)聯(lián)立得出a=-6b=-6或a=-2b=2，

所以r=2或r=6，所以圓的標準方程是(x+215．【答案】225【解析】【解答】根據(jù)題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬位與個位數(shù)字相同且不能為0，千位與十位數(shù)字相同，求在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類方法：

最多一個0：取奇數(shù)字有A51種，取能重復的偶數(shù)字有A41種，它們排入數(shù)位有A22種，取偶數(shù)字占百位有A51種，所以滿足要求的不同的“回文數(shù)”的個數(shù)是A51A41A216．【答案】10???????【解析】【解答】依題意，在BB1上取點H，使得B1H=13BB1，在CC1上取點G，使得CG=13CC1，連接FH，EG，HG，D1H，D1G，作出以下圖形，

根據(jù)正方體的性質可知，AA1∥BB1，AA1=BB1，

由已知可得，A1F=12AF=13AA1，又B1H=13BB1，所以B1H=1317．【答案】（1）解：設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則a1>0，q>0，則q2+q?20=0，解得q=4或（2）解：bn所以T=(1+4+16+?+=1×(1?【解析】【分析】（1）利用數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，所以得出公比為正，再利用a5=256，a3+a4=20a2結合等比數(shù)列的通項公式，進而解方程組得出等比數(shù)列的首項和公比的值，再結合等比數(shù)列的通項公式，進而得出數(shù)列{a18．【答案】（1）解：在△ABC中，因為a=42，b=5，c=7由余弦定理可得cos（2）解：因為點D在邊BC上，且BD=3CD，所以BD=32，CD=又因為cosB=在△ABD中，由余弦定理得AD2=【解析】【分析】(1)由已知利用余弦定理即可求解cosA的值；

(2)由已知可求BD的值，進而利用余弦定理可求cosB的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值.19．【答案】（1）解：依題意，隨機變量X～H(2，6，X012P57191所以X的數(shù)學期望是E(X)=0×（2）解：提出零假設H0χ2因此在犯錯率小于0.001的條件下，認為“學習興趣”與“主動預習”有關.【解析】【分析】（1）利用已知條件得出隨機變量滿足超幾何分布，進而得出隨機變量的分布列，再結合隨機變量的分布列求數(shù)學期望公式，進而得出隨機變量X的數(shù)學期望.

（2）利用已知條件結合獨立性檢驗的方法，所以在犯錯率小于0.001的條件下，認為“學習興趣”與“主動預習”有關.20．【答案】（1）證明：分別取BC?BA的中點M?N，連接DM?MN?EN，∵M?N分別是BC?BA的中點，∴MN∥AC，且AC=2MN，又∵AC∥DE，且AC=2DE，∴MN∥DE且MN=DE，可得四邊形MNED是平行四邊形，可知EN∥DM，∵DB=DC?BM=CM，∵AC⊥平面BCD，DM?平面∵AC∩BC=C，AC，∴DM⊥平面ABC，結合EN∥DM，得EN⊥平面ABC，又∵EN?平面ABE，∴平面ABE⊥平面（2）解：由（1）知DM⊥平面ABC，AC⊥BC即以MN?MB?MD所在直線為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得A(所以AE=(?1，1，3)，BD=(0，?1，3)，∵cos∴若AE與平面BDE的所成角為α，則sinα=155，可得∴直線AE與平面BDE的余弦值為105【解析】【分析】（1）利用中位線的性質，進而得出線段平行和線段相等，再結合平行四邊形得出線線平行，再利用等腰三角形三線合一證出線線垂直，得到證出線面垂直，最后由線面垂直證出面面垂直.（2）由（1）結合線面垂直的性質定理證出線線垂直，從而建立空間直角坐標系，利用坐標法求得直線AE與平面BDE的余弦值.21．【答案】（1）解：由題意可得b=1，ca=63（2）解：設直線MN為x=my+n，聯(lián)立橢圓C：(m2+3)y2則y1+y2=?∴=2m?∴m=n+12，∴直線MN可化為∴直線MN過定點Q(?1又A(0