浙江省杭州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期暑期階段性測(cè)試試題

PAGE20-浙江省杭州市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期暑期階段性測(cè)試試題姓名：___________準(zhǔn)考證號(hào)：___________本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，選擇題部分1至2頁(yè)；非選擇題部分3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生留意:1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題紙規(guī)定位置上.2.答題時(shí)，請(qǐng)根據(jù)答題紙上“留意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.參考公式：若事務(wù)，互斥，則若事務(wù)，相互獨(dú)立，則若事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，則次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)恰好發(fā)生次的概率臺(tái)體的體積公式其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積，表示臺(tái)體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.已知，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.3.ABC中，，，設(shè)，，則＝（）A.+ B. C.+ D.4.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染人數(shù)．當(dāng)基本傳染數(shù)高于時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)量指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)．當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于時(shí)，疫情才可能漸漸消散．廣泛接種疫苗可以削減疾病的基本傳染數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過(guò)疫苗(稱為接種率)，那么個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為．已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)為了使個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)，該地疫苗的接種率至少為（）A. B. C. D.5.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子，若事務(wù)“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（）A. B. C. D.6.純音數(shù)學(xué)模型是函數(shù)音有四要素：音調(diào)、響度、音長(zhǎng)和音色，它們都與函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，比如：響度與振幅有關(guān)，振幅越大響度越大，振幅越小響度越小；音調(diào)與頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利像我們平常聽(tīng)到樂(lè)音不只是一個(gè)音在響，而是很多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.我們聽(tīng)到的聲音函數(shù)是.下列說(shuō)法中正確的是（）A.函數(shù)不具有奇偶性B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若甲對(duì)應(yīng)函數(shù)為，則甲響度肯定比純音響度大D.若甲對(duì)應(yīng)函數(shù)為，則聲音甲肯定比純音更低沉7.設(shè)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A. B.C. D.8.如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在線段（端點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將沿折起為．設(shè)，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（）

A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長(zhǎng)為a，M是的中點(diǎn)，則（）A.隨意，B.存在，直線與直線BM相交C.平面與底面交線長(zhǎng)為定值D.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球表面積為10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2（an﹣a）（其中a為常數(shù)），則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列{an}肯定是等比數(shù)列 B.數(shù)列{an}可能是等差數(shù)列C.數(shù)列{Sn}可能是等比數(shù)列 D.數(shù)列{Sn}可能是等差數(shù)列11.已知拋物線C：y2＝4x，其焦點(diǎn)為F，P為直線x＝﹣2上隨意一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，斜率分別為k1，k2，則（）A. B.|k1﹣k2|＝2C.AB過(guò)定點(diǎn) D.的最小值為812.設(shè)函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，是奇函數(shù)B.若，，在單調(diào)遞減C.若，，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D.若，，非選擇題部分（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的綻開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_________．14已知數(shù)列，滿意，，，則______.15.已知函數(shù)，若，則的最大值為_(kāi)________．16.如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是上第一角限內(nèi)隨意一點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是_______．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17已知函數(shù)．（1），為銳角，，，求及的值；（2）已知，，，求及的值．18.1.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19.某校數(shù)學(xué)愛(ài)好小組由水平相當(dāng)?shù)膎位同學(xué)組成，他們的學(xué)號(hào)依次為1，2，3，…，n.輔導(dǎo)老師支配一個(gè)挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)填空題的活動(dòng)，活動(dòng)中有兩個(gè)固定的題，同學(xué)們對(duì)這兩個(gè)題輪番作答，每位同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)第一題及四分鐘內(nèi)答對(duì)其次題的概率都為，每個(gè)同學(xué)的答題過(guò)程都是相互獨(dú)立的挑戰(zhàn)的詳細(xì)規(guī)則如下：①挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，第一題做對(duì)才有機(jī)會(huì)做其次題；②挑戰(zhàn)按學(xué)號(hào)由小到大的依次依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)起先第1輪挑戰(zhàn)；③若第號(hào)同學(xué)在四分鐘內(nèi)未答對(duì)第一題，則認(rèn)為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號(hào)同學(xué)接著挑戰(zhàn)；④若第號(hào)同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)了第一題，滿四分鐘后，輔導(dǎo)老師支配該生答其次題，若該生在四分鐘內(nèi)又答對(duì)其次題，則認(rèn)為挑戰(zhàn)勝利挑戰(zhàn)在第輪結(jié)束；若該生在四分鐘內(nèi)未答對(duì)其次題，則也認(rèn)為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號(hào)同學(xué)接著挑戰(zhàn)；⑤若挑戰(zhàn)進(jìn)行到了第輪，則不管第n號(hào)同學(xué)答對(duì)多少題，下輪不再支配同學(xué)挑戰(zhàn).令隨機(jī)變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束.（1）求隨機(jī)變量的分布列；（2）若把挑戰(zhàn)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑥：挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，若有同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)了第一題，以后挑戰(zhàn)的同學(xué)不做第一題，干脆從其次題起先作答.令隨機(jī)變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束.（?。┣箅S機(jī)變量的分布列；（ⅱ）證明.20.如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.21.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦距，線段分別是它的長(zhǎng)軸和短軸．（1）求橢圓E的方程；（2）若是平面上的動(dòng)點(diǎn)，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．①，直線與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P，Q；②，直線與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P，Q．22（1）已知函數(shù)，，.（i）記.證明：．（ii）若，記此時(shí)的兩個(gè)零點(diǎn)為.證明：；（2）某藥物探討所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，須要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則須要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；假如檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液原委哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采納逐份檢驗(yàn)方式，樣本須要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采納混合檢驗(yàn)方式，樣本須要檢驗(yàn)的總次數(shù)為若關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中是不同的正實(shí)數(shù)，滿意，對(duì)隨意的，都有（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）當(dāng)時(shí)，采納混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本須要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D2.已知，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A B. C. D.【答案】B3.ABC中，，，設(shè)，，則＝（）A.+ B. C.+ D.【答案】B4.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．當(dāng)基本傳染數(shù)高于時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)量指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)．當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于時(shí)，疫情才可能漸漸消散．廣泛接種疫苗可以削減疾病的基本傳染數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過(guò)疫苗(稱為接種率)，那么個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為．已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)為了使個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)，該地疫苗的接種率至少為（）A. B. C. D.【答案】C5.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子，若事務(wù)“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（）A. B. C. D.【答案】D6.純音數(shù)學(xué)模型是函數(shù)音有四要素：音調(diào)、響度、音長(zhǎng)和音色，它們都與函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，比如：響度與振幅有關(guān)，振幅越大響度越大，振幅越小響度越?。灰粽{(diào)與頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利像我們平常聽(tīng)到樂(lè)音不只是一個(gè)音在響，而是很多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.我們聽(tīng)到的聲音函數(shù)是.下列說(shuō)法中正確的是（）A.函數(shù)不具有奇偶性B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若甲對(duì)應(yīng)函數(shù)為，則甲響度肯定比純音響度大D.若甲對(duì)應(yīng)函數(shù)為，則聲音甲肯定比純音更低沉【答案】B7.設(shè)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A. B.C. D.【答案】D8.如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在線段（端點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將沿折起為．設(shè)，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（）

A. B. C. D.【答案】A9.已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長(zhǎng)為a，M是的中點(diǎn)，則（）A.隨意，B.存在，直線與直線BM相交C.平面與底面交線長(zhǎng)為定值D.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球表面積為【答案】AC10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2（an﹣a）（其中a為常數(shù)），則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列{an}肯定是等比數(shù)列 B.數(shù)列{an}可能是等差數(shù)列C.數(shù)列{Sn}可能是等比數(shù)列 D.數(shù)列{Sn}可能是等差數(shù)列【答案】BD11.已知拋物線C：y2＝4x，其焦點(diǎn)為F，P為直線x＝﹣2上隨意一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，斜率分別為k1，k2，則（）A. B.|k1﹣k2|＝2C.AB過(guò)定點(diǎn) D.的最小值為8【答案】AC12.設(shè)函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，是奇函數(shù)B.若，，在單調(diào)遞減C.若，，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D.若，，【答案】BC13.若的綻開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_________．【答案】18014.已知數(shù)列，滿意，，，則______.【答案】15.已知函數(shù)，若，則的最大值為_(kāi)________．【答案】16.如圖，橢圓：的離心率為，F(xiàn)是的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是上第一角限內(nèi)隨意一點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是_______．【答案】17.已知函數(shù)．（1），為銳角，，，求及的值；（2）已知，，，求及的值．【答案】（1），（2）【小問(wèn)1詳解】，，，為銳角，即，，．，，，，，，．綜上，，；【小問(wèn)2詳解】，，，所以，即，且，又，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，與相沖突，不符合題意．綜上所述，．18.1.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為d，的公比為q，則，所以，則，即，所以【小問(wèn)2詳解】解：由（1），記的前n項(xiàng)和為，所以……①則……②，①-②，得：，所以.19.某校數(shù)學(xué)愛(ài)好小組由水平相當(dāng)?shù)膎位同學(xué)組成，他們的學(xué)號(hào)依次為1，2，3，…，n.輔導(dǎo)老師支配一個(gè)挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)填空題的活動(dòng)，活動(dòng)中有兩個(gè)固定的題，同學(xué)們對(duì)這兩個(gè)題輪番作答，每位同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)第一題及四分鐘內(nèi)答對(duì)其次題的概率都為，每個(gè)同學(xué)的答題過(guò)程都是相互獨(dú)立的挑戰(zhàn)的詳細(xì)規(guī)則如下：①挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，第一題做對(duì)才有機(jī)會(huì)做其次題；②挑戰(zhàn)按學(xué)號(hào)由小到大的依次依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)起先第1輪挑戰(zhàn)；③若第號(hào)同學(xué)在四分鐘內(nèi)未答對(duì)第一題，則認(rèn)為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號(hào)同學(xué)接著挑戰(zhàn)；④若第號(hào)同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)了第一題，滿四分鐘后，輔導(dǎo)老師支配該生答其次題，若該生在四分鐘內(nèi)又答對(duì)其次題，則認(rèn)為挑戰(zhàn)勝利挑戰(zhàn)在第輪結(jié)束；若該生在四分鐘內(nèi)未答對(duì)其次題，則也認(rèn)為第輪挑戰(zhàn)失敗，由第號(hào)同學(xué)接著挑戰(zhàn)；⑤若挑戰(zhàn)進(jìn)行到了第輪，則不管第n號(hào)同學(xué)答對(duì)多少題，下輪不再支配同學(xué)挑戰(zhàn).令隨機(jī)變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束.（1）求隨機(jī)變量的分布列；（2）若把挑戰(zhàn)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑥：挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，若有同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)了第一題，以后挑戰(zhàn)的同學(xué)不做第一題，干脆從其次題起先作答.令隨機(jī)變量表示n名挑戰(zhàn)者在第輪結(jié)束.（?。┣箅S機(jī)變量的分布列；（ⅱ）證明.【詳解】（1），，因此的分布列為1234P（2）（ⅰ）時(shí)，第k人必答對(duì)其次題，若前面人都沒(méi)有一人答對(duì)第一題，其概率為，若前面人有一人答對(duì)第一題，其概率，故.當(dāng)時(shí)，若前面人都沒(méi)有一人答對(duì)第一題，其概率為，若前面人有一人答對(duì)第一題，其概率為，故.的分布列為：123…P…（ⅱ）.法1：，故，求得，故，∴，①，②②①，.故.法2：令，則，因此：.又，故.20.如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）由已知得.取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，，，，，，，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即可取.于是.【考點(diǎn)】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角．【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，經(jīng)常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行經(jīng)常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離經(jīng)常可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理．21.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦距，線段分別是它的長(zhǎng)軸和短軸．（1）求橢圓E的方程；（2）若是平面上的動(dòng)點(diǎn)，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．①，直線與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P，Q；②，直線與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P，Q．【小問(wèn)1詳解】由已知，，點(diǎn)在橢圓上，所以，又因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為：.【小問(wèn)2詳解】選①，則，設(shè)，所以消去得：，所以，所以，則，所以，，消去得：，，所以，所以，則，所以，所以，所以直線的方程為：，所以，所以，故直線恒過(guò)定點(diǎn).選②，則，設(shè)，所以消去得：，所以，所以，所以同理：，所以，所以所以直線的方程為：令，則故直線恒過(guò)定點(diǎn).22.（1）已知函數(shù)，，.（i）記.證明：．（ii）若，記此時(shí)的兩個(gè)零點(diǎn)為.證明：；（2）某藥物探討所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，須要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方