福建省南平市四校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月聯(lián)考試題含解析

2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月四校聯(lián)考試卷本試卷分四大題，共4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定的并集結(jié)果求出a值，再利用交集的定義求解作答.【詳解】因?yàn)榧?，，，因此，即，所?故選：B2.假如一個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)新定義求得a的值，代入求得復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，可得復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】∵，又∵“等部復(fù)數(shù)”的實(shí)部和虛部相等，復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，∴，解得，∴，∴，即：，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限.故選：A.3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)正弦型函數(shù)的對稱軸可構(gòu)造方程求得的取值，進(jìn)而可確定的最小值.【詳解】關(guān)于直線對稱，，解得：，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.4.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)問確定正確答案.【詳解】，，，所以.故選：C5.已知向量，滿意，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，對兩邊同時平方得到，再由投影向量的定義即可求解.【詳解】由已知條件得：，即，又在方向上的投影向量為，故選：A.6.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的獨(dú)創(chuàng)與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?段圓弧時，“蚊香”的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意得到第一段圓弧到第n段圓弧的半徑構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合圓心角，利用求和公式求出答案.【詳解】依題意，每段圓弧的圓心角為，第一段圓弧到第n段圓弧的半徑構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3，…，n.，所以當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?段圓弧時，“蚊香”的長度為.故選：D.7.過拋物線（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，設(shè)，，若n，，成等比數(shù)列，則（）A. B.3C.3或 D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義及等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由n，，成等比數(shù)列，得．由拋物線的定義知，，，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以．故選：B.8.已知三棱錐，為中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過點(diǎn)的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，，，設(shè)三棱錐外接球的球心為，設(shè)過點(diǎn)的平面為，則當(dāng)時，此時所得截面的面積最小，當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解.【詳解】連接，，由，可知：和是等邊三角形，設(shè)三棱錐外接球的球心為，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，是等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，而底面，因此，所以是矩形,和是邊長為的等邊三角形，所以兩個三角形的高，在矩形中，，連接，所以，設(shè)過點(diǎn)的平面為，當(dāng)時，此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，，因此圓的半徑為：，所以此時面積為，當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：，所以截面的面積范圍為.故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：幾何體的外接球問題和截面問題，考查空間想象實(shí)力，難度較大．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量X，Y，滿意，且X聽從正態(tài)分布，則B.已知隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布，則C.已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布，且，則D.已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是12【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)離隨機(jī)變量的正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)，以及方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念，逐項(xiàng)分析推斷即可得解.【詳解】對于A，因?yàn)閄聽從正態(tài)分布，所以，因?yàn)?，則，所以，故A正確；對于B，因?yàn)閄聽從二項(xiàng)分布，所以，故B錯誤；對于C，因?yàn)槁爮恼龖B(tài)分布，則其正態(tài)分布曲線的對稱軸為，所以，所以，故C正確；對于D，令的平均數(shù)為，方差，所以的方差為，故所求標(biāo)準(zhǔn)差，故D錯誤.故選：AC.10.如圖，在正方體中，點(diǎn)P是底面（含邊界）內(nèi)一動點(diǎn)，且平面，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.平面D.異面直線AP與BD所成角的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】由已知條件，通過面面平行，得點(diǎn)在線段上，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決垂直、夾角等問題.【詳解】連接，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面，同理可證平面，，∴平面平面，則點(diǎn)在線段上，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，設(shè)，，，，，A選項(xiàng)正確；平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，面積也為定值，所以三棱錐的體積為定值，B選項(xiàng)正確；，，，時，，不肯定成立，故C選項(xiàng)錯誤；，，，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，當(dāng)時，取得最小值0，當(dāng)或1時，取得最大值，∴，則，即異面直線與所成角的取值范圍為，D選項(xiàng)錯誤.故選：AB11.已知圓，點(diǎn)P為直線上一動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.直線l與圓C相離B.圓C上有且僅有一個點(diǎn)到直線l的距離等于1C.過點(diǎn)P向圓C引一條切線PA，A為切點(diǎn)，則的最小值為D.過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA和PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB過定點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)圓心到直線的距離推斷A，由圓心到直線的距離與圓的半徑差推斷B，依據(jù)勾股定理轉(zhuǎn)化為求直線上點(diǎn)到圓心距離最小值推斷C，求出過的直線方程，依據(jù)方程求定點(diǎn)推斷D.【詳解】對于A，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；對于B，由A知，，故圓C上有2個點(diǎn)到直線l的距離等于1，故B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)PC與直線垂直時等號成立，所以最小值為，故C正確；對于D，設(shè)點(diǎn)，則，即，由切線性質(zhì)可知四點(diǎn)共圓，且圓的直徑為，所以圓的方程為，兩圓的方程作差，得公共弦所在直線方程為，

即，整理可得，解方程，解得，所以直線AB過定點(diǎn)，故D正確.故選：ACD12.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.的圖象關(guān)于對稱B.C.D.有100個零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)條件可得，，，即函數(shù)關(guān)于直線對稱且周期為4奇函數(shù)，利用周期性求出，推斷選項(xiàng)；再畫出函數(shù)與的函數(shù)部分圖象，數(shù)形結(jié)合推斷它們的交點(diǎn)狀況推斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)正確；又函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以，則，即函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，由，即.所以，故選項(xiàng)正確；，，所以，故選項(xiàng)錯誤；綜上：，作出與的函數(shù)部分圖象如下圖所示：當(dāng)時，函數(shù)過點(diǎn)，故時，函數(shù)與無交點(diǎn)；由圖可知：當(dāng)時，函數(shù)與有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)的每個周期內(nèi)與有兩個交點(diǎn)，共個交點(diǎn)，而且，即時，函數(shù)與無交點(diǎn)；當(dāng)時，過點(diǎn)，故當(dāng)時，函數(shù)與無交點(diǎn)；由圖可知：當(dāng)時，函數(shù)與有3個交點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)的每個周期內(nèi)與有兩個交點(diǎn)，共個交點(diǎn)，而且，即時，函數(shù)與無交點(diǎn)；綜上，函數(shù)共有個零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于本題選項(xiàng)D，正確作出函數(shù)的大致圖象，利用關(guān)鍵點(diǎn)處的函數(shù)值以及周期是解題關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.2024年4月24日是第七個“中國航天日”，今年主題是“航天點(diǎn)亮幻想”.某校組織學(xué)生參加航天學(xué)問競答活動，某班8位同學(xué)成果如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)的值可以是___________（寫出一個滿意條件的m值即可）.【答案】7或8或9或10（填上述4個數(shù)中隨意一個均可）【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念即可得出答案.【詳解】7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：6，7，7，8，8，9，10，則，故第25百分位數(shù)為其次個數(shù)即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位數(shù)為7，而，所以7為其次個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，所以的值可以是7或8或9或10.故答案為：7或8或9或10.14.已知為銳角，，則__________．【答案】【解析】【分析】利用三角恒等變換求得，從而得到，由此結(jié)合角的范圍即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以.故答案為：15.設(shè)是曲線上的點(diǎn)，，，則的最大值等于______．【答案】10【解析】【分析】作出曲線和橢圓的圖象，延長交橢圓于點(diǎn)，可得出，由三角形三邊關(guān)系得出，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)時，等號成立，由此可得出的最大值.【詳解】由可得，作出橢圓和曲線(去肯定值后，可得圖象為四條線段)的圖象如下圖所示：則點(diǎn)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓定義得.延長交橢圓于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時，由三角形三邊關(guān)系得，所以，；當(dāng)點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)時.綜上所述，，因此，的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程之間的關(guān)系，同時也考查了橢圓定義的應(yīng)用，建立不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的實(shí)力.16.是函數(shù)的圖象上不重合的三點(diǎn)，若函數(shù)滿意：當(dāng)時，總有三點(diǎn)共線，則稱函數(shù)是“零和共線函數(shù)”．若是“零和共線函數(shù)”，則a的范圍是__________．【答案】【解析】【分析】推斷函數(shù)的奇偶性，利用奇函數(shù)的對稱性推斷符合“零和共線函數(shù)”的定義對應(yīng)的a取值.【詳解】由的定義域?yàn)镽，又，所以，有均為奇函數(shù)，且，即圖象在y軸一側(cè)的點(diǎn)，在其另一側(cè)肯定存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，所以，上述y軸兩側(cè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)與原點(diǎn)可構(gòu)成滿意題設(shè)的三點(diǎn)，綜上，對于，都有是“零和共線函數(shù)”.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入已知式子可得是等差數(shù)列，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，再由與的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式.（2）由裂項(xiàng)相消求和可得，再由的單調(diào)性可求得其范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由，得，所以，所以，即．在中，令n=1，得，所以a1=1．所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，即：．當(dāng)時，，也適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】由（1）知，，所以，因?yàn)閎n＞0，所以隨著n的增大而增大，所以，又明顯，所以，即的取值范圍為．18.某商場安排在一個兩面靠墻的角落規(guī)劃一個三角形促銷活動區(qū)域（即區(qū)域），地面形態(tài)如圖所示．已知已有兩面墻的夾角為銳角，假設(shè)墻的可利用長度（單位：米）足夠長．（1）在中，若邊上的高等于，求；（2）當(dāng)?shù)拈L度為6米時，求該活動區(qū)域面積的最大值．【答案】（1）（2）平方米【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作交于．設(shè)，則，，在中，求得，由計(jì)算即可得解；（2）設(shè)，則，，從而得出，利用三角恒等變換、協(xié)助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【小問1詳解】過點(diǎn)作交于．設(shè)米，，則米，米．在中，．故．【小問2詳解】設(shè)，則米，米，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時，該活動區(qū)域的面積取得最大值，最大值為平方米．19.如圖，在四棱錐中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).（1）證明：平面EAC⊥平面PBC；（2）若直線PB與平面PAC所成角的正弦值為，求二面角P-AC-E的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的性質(zhì)及勾股定理的逆定理可證出線面垂直，再由面面垂直的判定定理求證即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】∵平面，平面，∴.∵，由，且是直角梯形，∴，即，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面【小問2詳解】∵平面，平面，∴.由（1）知.∵，平面，平面，所以平面，∴即為直線與平面所成角.∴，∴，則取的中點(diǎn)G，連接，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以??為x軸?y軸?z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，，得設(shè)為平面的法向量，則，令，則，，得.∴.由圖知所求二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.在上海舉辦的第五屆中國國際進(jìn)口博覽會中，硬幣大小的無導(dǎo)線心臟起搏器引起廣闊參會者的關(guān)注．這種起搏器體積只有傳統(tǒng)起搏器的，其無線充電器的運(yùn)用更是避開了傳統(tǒng)起搏器囊袋及導(dǎo)線引發(fā)的相關(guān)并發(fā)癥．在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動無線充電器主控芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期同步進(jìn)行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測與人工抽檢．智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包含平安檢測、電池檢測、性能檢測等三項(xiàng)指標(biāo)，人工抽檢僅對智能檢測三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測，且僅設(shè)置一個綜合指標(biāo)，四項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品才能視為合格品．已知試產(chǎn)期的產(chǎn)品，智能檢測三項(xiàng)指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率約為，，，設(shè)人工抽檢的綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)率為（）．（1）求每個芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)的概率；（2）人工抽檢30個芯片，記恰有1個不達(dá)標(biāo)的概率為，求的極大值點(diǎn)；（3）若芯片的合格率不超過，則需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的作為p的值，推斷該企業(yè)是否需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．【答案】（1）（2）（3）該企業(yè)需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)每個芯片智能檢測中平安檢測、電池檢測、性能檢測三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別記為，，，并記芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)為事務(wù)，視指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率為任取一件新產(chǎn)品，該項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率，依據(jù)對立事務(wù)的性質(zhì)及事務(wù)獨(dú)立性的定義即可求解；（2）依據(jù)條件得到（），利用導(dǎo)數(shù)對進(jìn)行探討即可；（3）設(shè)芯片人工抽檢達(dá)標(biāo)為事務(wù)，工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事務(wù)，依據(jù)條件概率得到，再由乘法公式得到，即可推斷.【小問1詳解】每個芯片智能檢測中平安檢測、電池檢測、性能檢測三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別記為，，，并記芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)為事務(wù).視指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率為任取一件新產(chǎn)品，該項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率，則有，，，由對立事務(wù)的性質(zhì)及事務(wù)獨(dú)立性的定義得：，所以每個芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)的概率為.【小問2詳解】人工抽檢30個芯片恰有1個不合格品的概率為（），因此令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點(diǎn).【小問3詳解】設(shè)芯片人工抽檢達(dá)標(biāo)為事務(wù)，工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事務(wù)，由（2）得：，由（1）得：，所以，因此，該企業(yè)需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良.21..已知雙曲線的虛軸長為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于、兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，且．（1）求雙曲線的方程：（2）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時，且時，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，其中，利用點(diǎn)差法可得出，由已知條件可得出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由兩角差的正切公式以及已知條件分析得出，將此關(guān)系式代入韋達(dá)定理可求得的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，易知、，則，由已知，可得，，因此，雙曲線的方程為.【小問2詳解】解：由（1）可知，則點(diǎn)，易知、，若直線與軸重合，此時直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，不合乎題意，