不定積分的概念和性質(zhì)

不定積分的概念和性質(zhì)前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)微分學(xué)。但在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，還會(huì)遇到與此相反的問題：即尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)等于一個(gè)已知函數(shù)。從而產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學(xué)。積分學(xué)分為不定積分和定積分兩部分。本章我們先從導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出不定積分的概念然后介紹其性質(zhì)，最后著重系統(tǒng)地介紹積分方法。2021/6/271重點(diǎn)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式換元積分法分部積分法有理函數(shù)積分難點(diǎn)換元積分分部積分有理函數(shù)積分2021/6/272基本要求①正確理解原函數(shù)和不定積分概念②熟記基本積分公式③熟練地運(yùn)用換元積分法和分部積分法④會(huì)用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分⑤會(huì)用萬能代換和三角代換求三角有理式積分⑥會(huì)求簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分2021/6/273例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念2021/6/274對(duì)原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個(gè)問題(1)是否任何一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子若存在可導(dǎo)函數(shù)則由的定義關(guān)于原函數(shù)的說明：2021/6/275（左、右極限存在且相等）而已知矛盾這說明沒有原函數(shù)

既然不是每一個(gè)函數(shù)都有原函數(shù)，那么我們自然要問：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對(duì)此我們給出如下的結(jié)論：原函數(shù)存在定理：2021/6/276簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).（證明待下章給出）（2）原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有什么聯(lián)系？①若，則對(duì)于任意常數(shù)，②若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）2021/6/277任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量

為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可2021/6/278例1

求解解例2

求2021/6/279例3

設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為2021/6/2710顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.2021/6/2711實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表2021/6/2712基本積分表

是常數(shù));說明：簡(jiǎn)寫為2021/6/27132021/6/2714以上15個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分表，必須熟練掌握。2021/6/2715例4

求積分解根據(jù)積分公式（2）2021/6/2716證等式成立.此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況三、不定積分的性質(zhì)2021/6/2717證明只須驗(yàn)證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)（1）+（2）即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合這說明不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì)

注意到上式中有n個(gè)積分號(hào)，形式上含有n個(gè)任意常數(shù),但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)，故實(shí)際上只含有一個(gè)任意常數(shù)——分項(xiàng)積分法2021/6/2718例5

求積分解注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)2021/6/2719例6

求積分解例7

求積分解2021/6/2720例8

求積分解2021/6/2721例9解例10解2021/6/2722例11解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.2021/6/2723解所求曲線方程為2021/6/2724例13求解故2021/6/2725因被積函數(shù)連續(xù)，故原函數(shù)可導(dǎo)，進(jìn)而原函數(shù)連續(xù)于是有2021/6/2726說明①求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù)，它表明一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，即要求的是全體原函數(shù)，若不加積分常數(shù)則表示只求出了一個(gè)原函數(shù)②寫成分項(xiàng)積分后，積分常數(shù)可以只寫一個(gè)③積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實(shí)質(zhì)上只相差一個(gè)常數(shù)2021/6/2727基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)

原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)2021/6/2728思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？2021/6/272