2025屆吉林省長(zhǎng)春市五中高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆吉林省長(zhǎng)春市五中高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．42．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．23．如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C． D．4．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位5．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－6．若單位向量，夾角為，，且，則實(shí)數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－17．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．9．已知直線：（）與拋物線：交于（坐標(biāo)原點(diǎn)），兩點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．11．集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè)12．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最大值為__________．14．為了了解一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：毫米）情況，現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測(cè)，如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間的一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為__________．15．如圖，己知半圓的直徑，點(diǎn)是弦（包含端點(diǎn)，）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為___________.16．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于另一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，.若，求直線的斜率.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.19．（12分）已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為，與軸正半軸交點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明：當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn).20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.（2）設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.22．（10分）設(shè)函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

方法一：設(shè)，利用拋物線的定義判斷出是的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得.方法二：設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由拋物線的定義，結(jié)合求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】方法一：由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線恒過(guò)定點(diǎn)，過(guò)分別作于，于，連接，由，則，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以．方法二：拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線由題意設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.2、B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.3、D【解析】

由半圓面積之比，可求出兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度之比，從而可知，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解】解：由題意知，以為直徑的半圓面積，以為直徑的半圓面積，則，即.由，得，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.4、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.5、C【解析】

直線過(guò)定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對(duì)稱性可知k=±．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．6、D【解析】

利用向量模的運(yùn)算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

對(duì)分類討論，當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由可得，所以，故選B．9、D【解析】

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去、列出韋達(dá)定理，再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解：設(shè)，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.10、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.11、B【解析】

由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合，再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．12、C【解析】

利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因?yàn)殇J角，所以，，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.14、100.【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數(shù)．詳解：由題意得，三等品的長(zhǎng)度在區(qū)間，和內(nèi)，根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為，因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率，把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤．15、1【解析】

建系，設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，則，根據(jù)的范圍得出答案．【詳解】解：以為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，設(shè)，則，，，，，，，顯然當(dāng)取得最大值4時(shí)，取得最小值1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．16、【解析】

由約束條件先畫出可行域，然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當(dāng)平行線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取到最小值，由可得，此時(shí)，所以的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識(shí)，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖形求出最值，需要掌握解題方法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理算出的中點(diǎn)，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設(shè)的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，則由拋物線定義，得，因?yàn)榈降木嚯x比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設(shè)直線方程為，由消去，得，設(shè)，，則，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.涉及拋物線的弦的中點(diǎn)，斜率問(wèn)題時(shí)，可采用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”求解.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，，，，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）在中，計(jì)算出的值，可得出的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)已知條件得出，利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡(jiǎn)得出與所滿足的關(guān)系式，代入直線的方程，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）在中，，，，，，，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消去化簡(jiǎn)得，且，，，，，∴代入，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，，，，直線，因此，直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）令，求出的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論；（2）對(duì)分類討論，分別求出以及的最小值或范圍，與的最小值建立方程關(guān)系，求出的值，進(jìn)而求出的取值關(guān)系.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，∵∴，而是增函數(shù)，∴，∴函數(shù)的值域是.（2）當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，在上單調(diào)遞增，最小值為，而的最小值為，所以這種情況不可能.當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減且沒(méi)有最小值，在上單調(diào)遞增最小值為，所以的最小值為，解得（滿足題意），所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.21、（1）；（2）極小值為，遞減區(qū)間為：，遞增區(qū)間為.【解析】

（1）由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結(jié)合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，由當(dāng)時(shí)，有極大值，則，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，則，令，即，解得，令，