數(shù)學自我小測：不等式的實際應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．如圖所示，P是球O的直徑AB上的動點，PA＝x，過P點且與AB垂直的截面面積記為y，則y＝f（x)的大致圖象是（）解析：不妨設球的半徑為R（常數(shù))．∵PA＝x，∴OP＝R－x．∴截面圓的半徑r＝eq\r（R2－(R－x）2)＝eq\r（2Rx－x2）．∴y＝πr2＝2πRx－πx2(0≤x≤R),故選A．2．乘某種出租車,行程不足4千米時，車票10.40元，行程不足16千米時,大于或等于4千米的部分，每0.5千米車票0。8元，計程器每0.5千米計一次價．例如當行駛路程x（千米）滿足12≤x≤12。5時，按12。5千米計價；當12．5≤x＜13時，按13千米計價．若某人乘車從A到B共付費28元，則從A地到B地行駛的路程m(千米)滿足（)A．10.5≤m＜11B．11≤m＜11。5C．14.5≤m＜15D．15≤m＜15.53．一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價值y（元)之間有如下關系:y＝－2x2＋220x．若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應該生產(chǎn)摩托車數(shù)量的范圍為(）A．{x｜41≤x≤49，x∈N}B．｛x｜51≤x≤59，x∈N}C．{x|61≤x≤69，x∈N}D．｛x｜71≤x≤79，x∈N}4．某品牌彩電為了打開市場，促進銷售，準備對其特定型號彩電降價，有四種降價方案:方案（1）：先降價a％，再降價b%；方案（2）：先降價b％，再降價a％；方案（3）：先降價eq\f(a＋b,2)％,再降價eq\f（a＋b，2)％；方案（4)：一次性降價(a＋b）％．其中a〉0,b〉0，a≠b，上述四種方案中,降價幅度最小的是（)A．方案（1）B．方案（2)C．方案（3）D．方案（4)5．用長度分別為2，3，4，5，6(單位：cm)的5根細木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷）,能夠得到的三角形的最大面積為()A．85cm2B．6eq\r(10)cm2C．3eq\r（55)cm2D．20cm26．某家庭用14。4萬元購買了一輛汽車，使用中維修費用逐年上升，第n年維修費用約為0。2萬元，每年其他費用為0。9萬元．報廢損失最小指的是購車費、維修費及其他費用之和的年平均值最小，則這輛車應在______年后報廢損失最?。?．定義域為［－1，1]的函數(shù)f(x）＝kx＋2k＋1，其值域既有正數(shù)也有負數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是______．8．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝______噸．9．某商場在促銷期間規(guī)定:商場內(nèi)所有商品按標價的80%出售；同時，當顧客在該商場內(nèi)消費滿一定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券：消費金額的范圍/元[200，400)［400，500)［500，700）［700,900）…獲得獎券的金額/元3060100130…根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠．例如，購買標價為400元的商品,則消費金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400×0．2＋30＝110（元）．設購買商品得到的優(yōu)惠率＝eq\f（購買商品獲得的優(yōu)惠額，商品的標價)．試問：（1）若購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）對于標價在[500，800］（元）內(nèi)的商品,顧客購買標價為多少元的商品，可得到不小于eq\f（1，3）的優(yōu)惠率？10．對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度eq\b\lc\(\rc\（\a\vs4\al\co1（,，，，）)含污物體的清潔度的定義為：1－eq\f(污物質(zhì)量,物體質(zhì)量（含污物）)eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1（，，，,))為0。8，要求清洗完后的清潔度是0．99．有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：兩次清洗．該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3)．設用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是eq\f(x＋0.8,x＋1）(x＞a－1），用y質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是eq\f（y＋ac，y＋a），其中c（0．8＜c＜0．99）是該物體初次清洗后的清潔度．（1)分別求出方案甲以及c＝0．95時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少；（2）若采用方案乙，當a為某定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量的影響．

參考答案1．答案:A2．解析：可以根據(jù)條件首先判斷出m的大致范圍，然后代入驗證即可．當m＝15時，付費10。40＋（15－4）×2×0。8＝28元．故選D．答案：D3．解析：設在一個星期內(nèi)大約應該生產(chǎn)x輛摩托車．根據(jù)題意，得－2x2＋220x＞6000．移項整理，得x2－110x＋3000＜0．因為＝100＞0，所以方程x2－110x＋3000＝0有兩個實數(shù)根x1＝50，x2＝60．由二次函數(shù)y＝x2－110x＋3000的圖象得不等式的解集為50＜x＜60．因為x只能取整數(shù)值，所以當這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在｛x｜51≤x≤59，x∈N｝內(nèi)時,這家工廠能夠獲得6000元以上的收益．答案：B4．解析：設原來的價格為1，按四種方案降價后的價格分別為:方案(1):(1－a％）(1－b%），方案（2）：（1－b%）（1－a%)，方案(3）：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（a＋b,2)％）)2，方案（4)：1－(a＋b)%．很明顯（1－a％)(1－b%)＝(1－b％）(1－a％)<eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1－a%＋1－b％，2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（a＋b，2)%））2．又eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(a＋b，2)%）)2－［1－（a＋b)%］＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b，2)％))2>0，∴按方案（3)降價后的價格最高．故降價幅度最小的是方案（3)．答案:C5．解析:設三角形各邊長為x，y，z,且x,y，z∈N＋,則x＋y＋z＝20．由于在周長一定的三角形中，各邊長越接近的三角形面積越大，于是當三邊長為7cm，7cm,6cm時面積最大，則S＝eq\f(1,2）×6×eq\r（72－32）＝6eq\r(10)(cm2),故選B．答案：B6．解析：年平均值eq\x\to(y）＝eq\f(14。4＋0。9n＋0。2(1＋2＋…＋n)，n)＝eq\f(14.4,n）＋0．1n＋1≥3．4，當且僅當eq\f(14。4，n)＝0．1n，即n＝12時，年平均值最小,所以12年后報廢損失最?。鸢福?27．解析：由已知可得f（x)＝kx＋2k＋1是單調(diào)函數(shù)，其值域既有正數(shù)也有負數(shù)，應有f（－1）·f(1）＜0，且k≠0，即（k＋1)(3k＋1)＜0，且k≠0．所以－1＜k＜－eq\f（1,3)．答案:eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1,－\f（1，3）））8．解析:某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸，則需要購買eq\f(400,x）次,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元，所以一年的總運費與總存儲費用之和為eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（\f(400，x）·4＋4x）)萬元，而eq\f（400,x)·4＋4x≥160，當且僅當eq\f（1600,x)＝4x，即x＝20時,一年的總運費與總存儲費用之和最?。鸢福?09．解：(1）eq\f（1000×0。2＋130,1000）＝33％．（2）設商品的標價為x元，則500≤x≤800，消費額：400≤0．8x≤640．由已知，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(0。2x＋60，x）≥\f（1，3），,400≤0.8x<500))①或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0。2x＋100,x）≥\f(1，3)，,500≤0。8x≤640.))②不等式組①無解，不等式組②的解集為625≤x≤750．因此，當顧客購買標價在[625,750]元內(nèi)的商品時，可得到不少于eq\f(1,3）的優(yōu)惠率．10．解：(1）設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設有eq\f（x＋0.8，x＋1)＝0．99，解得x＝19．由c＝0．95得方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足方程:eq\f(y＋0.95a,y＋a）＝0．99，解得y＝4a,故z＝4a＋3．即兩種方案的用水量分別為19與4a＋3．因為當1≤a≤3時，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z，故方案乙的用水量較少．（2)設初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似（1)得x＝eq\f(5c－4，5（1－c)），y＝a（99－100c）．(*)于是x＋y＝eq\f（5c－4,5(1－c））＋a（99－100c)＝eq\f(1,5（1－c)）＋100a（1－c）－a－1．當a為定值時，x＋y≥2eq\r(\f（1，5(1－c））×100a(1－c））－a－1＝－a＋4eq\r(5a)－1．當且僅當eq\f(1,5(1－c))＝100a（1－c)時等號成立．此時c＝1＋eq\f(1，10\r(5a))(不合題意，舍去)或c＝1－eq\f(1，10\r(5a)）∈(0．8，0．99)．將