黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

1PAGE第13頁哈三中2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高二學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)試卷考試說明：（1）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上，交卷時只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題（共58分）（一）單項選擇題（共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.圓的圓心和半徑分別是（）A，2 B.，2C.， D.，2.下列命題是真命題的是（）A.經(jīng)驗回歸方程至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點，，…，中的一個B.可以用相關(guān)系數(shù)r來刻畫兩個變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的絕對值越小，說明兩個變量線性相關(guān)程度越強(qiáng)C.線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好D.殘差點分布在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好3.某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績分別服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（）A. B.C. D.4.將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)填入如圖所示的3行2列表格中，則表格內(nèi)每一行數(shù)字之和均相等的概率為（）A. B. C. D.5.設(shè)a為實數(shù)，已知直線：，：，若，則（）A.6 B. C.6或 D.或36.已知直線l：，其中t為展開式中的常數(shù)項，則點到直線l的距離為（）A.1 B.2 C.5 D.107.某學(xué)校為了解校慶期間不同時段的校門人流量，從上午8點開始第一次反饋校門人流量，以后每過2小時反饋一次，共統(tǒng)計了前3次的數(shù)據(jù)，其中，2，3，為第i次人流量數(shù)據(jù)（單位：千人），由此得到y(tǒng)關(guān)于i的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程，可預(yù)測下午2點時校門人流量為（）千人.參考數(shù)據(jù)：A.9.6 B.10.8 C.12 D.13.28.已知函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B.C D.（二）多項選擇題（共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.關(guān)于函數(shù)，下列命題中正確的是（）A.是以為最小正周期的周期函數(shù)B.的最大值為C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，與已知函數(shù)的圖象重合D.的圖象關(guān)于直線對稱10.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點Ax1,y1，Bx2,y2的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及直線上任意一點，稱的最小值為點到直線A.，，則B.為坐標(biāo)原點，動點滿足，則的軌跡為圓C.對任意三點、、，都有D.已知點和直線：，則11.高考數(shù)學(xué)試題第二部分為多選題，共個小題，每小題有個選項，其中有個或個是正確選項，全部選對得分，部分選對得部分分，有選錯的得分.若正確答案是個選項，只選對個得分，有選錯的得分；若正確答案是個選項，只選對個得分，只選對個得分，有選錯的得分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個正確選項的概率是，記為小明隨機(jī)選擇個選項的得分，記為小明隨機(jī)選擇個選項的得分，則（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）12.下列說法中正確的有__________（填正確說法的序號）①直線的傾斜角為②直線的斜率為③直線（）過定點④點到直線的距離為113.對于隨機(jī)事件，若，，，則__________.14.已知正方體的棱長為2，E、F為空間內(nèi)兩點且，，.當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為______.三、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求銳角大?。唬?）在（1）的條件下，若，且的周長為，求的面積.16.已知的三個頂點分別是，，（1）求邊AC的高BH所在直線方程；（2）已知M為AB中點，試在直線CM上求一點P，在x軸上求一點Q，使的周長最小，并求最小值.17.隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，我市文旅局隨機(jī)選擇名青年游客對哈爾濱出行體驗進(jìn)行滿意度評分（滿分分），分及以上為良好等級，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計該評分的上四分位數(shù)；（2）若采用按比例分層抽樣方法從評分在，80,90的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行單獨交流，求選取的4人中評分等級為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為進(jìn)一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗反饋，我市文旅局再次隨機(jī)選擇100名中老年游客進(jìn)行滿意度評分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評分為良好等級的人數(shù)為120名.請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).附：，0.050.010.0013.8416.63510.82818.棱長為2的正方體，M為正方體中心，將四棱錐繞逆時針旋轉(zhuǎn)（）后得到四棱錐，如圖1.（1）求四棱錐的表面積和體積；（2）若（如圖2），求證：平面平面；（3）求為多少時，直線與直線DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.19.某志愿者社團(tuán)計劃在周一和周二兩天各舉行一次活動，分別由甲、乙兩人負(fù)責(zé)活動通知，已知該社團(tuán)共有n位同學(xué)，每次活動均需k位同學(xué)參加.假設(shè)甲和乙分別將各自活動通知的信息獨立、隨機(jī)地發(fā)給該社團(tuán)k位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.（1）當(dāng)，時，求該社團(tuán)只有小明同學(xué)同時收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息的概率；（2）記至少收到一個活動通知信息的同學(xué)人數(shù)為X①設(shè)，，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②求使取得最大值的整數(shù)m.

哈三中2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高二學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)試卷（一）單項選擇題（共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】D（二）多項選擇題（共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.【答案】ABD10.【答案】ACD11.【答案】BCD第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）12.【答案】①③13.【答案】14.【答案】三、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；（2）先求出，再根據(jù)正弦定理，令，求出，再根據(jù)三角形的周長求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以；【小問2詳解】因為，所以，又，所以，則，由正弦定理，令，則，所以的周長為，解得，所以，所以.16.【解析】【分析】（1）求出邊AC的高BH的斜率，再由點斜式方程即可得出答案.（2）先求出直線CM的方程，如圖，作出關(guān)于直線CM的對稱點，作出關(guān)于軸的對稱點，則連結(jié)，交直線CM于，交軸于，則的周長的最小值等于，最后求出直線的方程，即可求出點Q.【小問1詳解】因為，，所以，所以邊AC的高BH的斜率為，又因為直線BH過點，所以BH所在直線方程為：，化簡可得：.所以BH所在直線方程為.【小問2詳解】因為M為AB中點，所以，，直線CM的方程為：，化簡可得：，如圖，作出關(guān)于直線的對稱點，則，解得：，所以，作出關(guān)于軸的對稱點，連結(jié)，交直線CM于，交軸于，，，三角形的周長為線段的長，由兩點間線段最短得此時的周長最小，的周長最小時，最小值為：，此時直線的斜率為，直線的方程為：，化簡可得：，令，所以，所以，令，所以,所以,所以當(dāng)時，的周長最小，最小值為.17.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為計算出的值；先判斷出上四分位數(shù)所在區(qū)間，然后結(jié)合區(qū)間端點值以及該組的頻率完成計算；（2）先根據(jù)分層抽樣計算出每組抽取的人數(shù)，然后確定出的可取值并計算對應(yīng)概率，由此可求分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)已知條件得到對應(yīng)列聯(lián)表，然后計算出的值并與對應(yīng)比較大小，由此得到結(jié)論.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，，解得；因為90,100的頻率為，且90,100為最后一組，所以評分的上四分位數(shù)位于區(qū)間90,100中，所以上四分位數(shù)為：；【小問2詳解】評分在與80,90兩組的頻率分別為，所以內(nèi)抽取人數(shù)為，80,90內(nèi)抽取人數(shù)為，故人中評分等級為良好的有人，由題意可知，的可取值為，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望；【小問3詳解】青年游客評分等級良好的有人，所以老年游客評分等級良好的有人，由上可得如下列聯(lián)表，

青年游客老年游客總計評分等級良好評分等級非良好總計零假設(shè)：游客的評分等級是否良好與年齡段無關(guān)，由表中數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可知零假設(shè)成立，即無法認(rèn)為游客的評分等級是否良好與年齡段有關(guān).18.【解析】【分析】（1）根據(jù)棱錐的表面積公式和體積公式計算即可；（2）易得平面?平面為同一個平面，補(bǔ)全正方體，證明為二面角的平面角，再證明即可；（3）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】由題意，，則，所以四棱錐的表面積為，四棱錐的高為，則；【小問2詳解】若，則平面?平面為同一個平面，如圖，補(bǔ)全正方體，連接、，則是中點，是中點，所以平面與平面重合，平面與平面重合，由正方體性質(zhì)可知平面，因為平面，所以，，為二面角的平面角，因為，則，同理可得，所以，所以平面平面；【小問3詳解】如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，即，故，則，因為，所以，所以，所以，所以，此時，即，所以時，直線與直線DC所成角最小，最小角的余弦值為.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率，結(jié)合事件的獨立性及組合計數(shù)問題列式求解.（2）①求出的可能取值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望；②按和分類求出的表達(dá)式，再建立不等式求出對應(yīng)的整數(shù).【小問1詳解】設(shè)事件“該社團(tuán)只有小明同學(xué)同時收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息”，所以.【小問2詳解】①的可能取值為2，3，4，，所以的分布列為：234