第13章《軸對稱》教學建議

軸對稱

教材分析2024年10月1本章的地位與作用2本章知識結構3課時安排4本章學習目標及重難點5教學建議6具體處理建議7中考試題舉例8經(jīng)典圖形舉例PART1本章的地位與作用線段、角、全等三角形

等腰三角形四邊形多邊形圓圖形的變化圖形的平移（七下）圖形的軸對稱（八上）圖形的旋轉（九上）圖形的相似（九下）圖形的投影（九下）軸對稱變換與平移變換軸對稱變換與旋轉變換PART2本章知識結構PART3課時安排本章教學時間約需14課時，具體分配如下（僅供參考）：13.1軸對稱

3課時13.2畫軸對稱圖形

2課時13.3等腰三角形

5課時13.4課題學習最短路徑問題

2課時數(shù)學活動小結

2課時PART4本章學習目標及重難點1.通過具體實例認識軸對稱、軸對稱圖形，探索軸對稱的基本性質，理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質.2.探索簡單圖形之間的軸對稱關系，能夠按照要求畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸對稱的圖形；認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形.3.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理.本章學習目標4.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理和判定定理；探索并掌握等邊三角形的性質定理和判定定理.5.能初步應用本章所學的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，發(fā)展空間觀念，激發(fā)學習興趣.本章學習目標重點：軸對稱的性質；等腰三角形的性質和判定.難點：運用軸對稱分析、認識復雜圖形，進行推理論證.本章重點與難點2022版課程標準（紅字為與上一版的區(qū)別）通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質：成軸對稱的兩個圖形中對應點的連線被對稱軸垂直平分.能畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸的對稱圖形.理解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質.認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理.2022版課程標準（紅字為與上一版的區(qū)別）理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理.探索并掌握等腰三角形的判定定理.探索等邊三角形的性質定理.探索等邊三角形的判定定理.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形.在平面直角坐標系中，以坐標軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形的對稱圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系.能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.PART5教學建議1.注意聯(lián)系實際，體現(xiàn)具體—抽象—具體的過程.2.注意知識間的聯(lián)系，有機地整合相關內容，通過對比，加深對知識的理解.3.注意實驗幾何與論證幾何地有機結合，讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、探究、歸納、推理、論證的全過程，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維和推理能力.4.引導學生總結歸納，綜合運用所學的知識解決問題.PART6具體處理建議13.1.1軸對稱在注重與實際生活相結合以及讓學生進行動手實踐的同時，還應體現(xiàn)“思維的教學”如何體現(xiàn)“思維的教學”？要讓學生知道，性質是變化中的不變性圖形軸對稱的性質，就是翻折前后兩個圖形的關系，就是這兩個圖形形狀、大小和位置的關系你認為研究軸對稱的性質就是要研究什么？對應元素之間的什么關系？你認為對應元素有哪些？它們在形狀大小和位置關系方面有什么不變性？觀察翻折前后的兩個圖形，你能立即得出它們有哪些不變性嗎？對應點的不變性怎么體現(xiàn)？你認為還有什么不變性？13.1.2線段的垂直平分線的性質可仿照對軸對稱的性質的研究方法，先去研究垂直平分線上的一個點與線段AB的不變的關系然后研究2個點、3個點、······、n個點最后通過對垂直平分線上的基本元素的研究，經(jīng)過歸納和總結，得出性質也可以通過研究過直線外一點作已知直線的垂線的過程中，去讓學生去發(fā)現(xiàn)垂直平分線的性質然后由學生研究出它的證明方法反思：難點在于如何讓學生主動地去發(fā)現(xiàn)該性質的內容，而不是告訴學生，然后讓學生去證明教材中與垂直平分線相關的實際應用問題13.2畫軸對稱圖形教材中在這里給出了畫一個點關于一條直線的對稱點的方法研究了兩個問題：1.探究點或圖形的軸對稱引起的點的坐標的變化規(guī)律；2.如何利用這種坐標的變化規(guī)律在平面直角坐標系中畫出一個圖形的軸對稱圖形.可由此問題作為一個范例，進行一些問題的改編.在此問題中出現(xiàn)了讓學生研究一個圖形關于平行于坐標軸的直線的軸對稱圖形的問題，并用含字母的式子來反映對應點的坐標變化規(guī)律.在日后的幾何與代數(shù)問題中，還會經(jīng)常遇到此類問題.13.3等腰三角形學生對于等腰三角形并不陌生，因此可以直接通過書上設計的探究過程，讓學生自己動手去發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質.也可以借助線段的垂直平分線這一基本圖形工具去研究等腰三角形的性質.線段的垂直平分線對于研究等腰三角形、菱形、箏形、垂徑定理、切線長定理都有重要的作用.邊角底邊：三線合一等腰三角形等邊三角形概念性質判定應用三線等邊對等角兩腰：三線相等邊：按定義，證兩邊相等角：等角對等邊尺規(guī)作圖解決此問題的方法和作法是此例題的重點.作法的前兩條說明，在完成復雜的尺規(guī)作圖問題時，五種基本作圖不用再敘述具體的作法了.學生先由學習等腰三角形的性質與判定的方法研究等邊三角形的性質與判定.再綜合應用等邊三角形的性質來研究直角三角形的性質.可以歸納整理直角三角形已經(jīng)研究出的所有性質并給出繼續(xù)研究的方向13.4課題學習

最短路徑問題可利用信息技術手段，在學生畫圖探究時，及時在屏幕上展示出學生的研究成果并組織學生對展示出的成果進行評價.另外，還可以利用本節(jié)學習到的內容，去設計綜合實踐活動，比如設計公園的最佳游覽路線，體育比賽的最佳疏散路線等.距離之和最小值三角形周長最小值13.4課題學習

最短路徑問題兩點一線13.4課題學習

最短路徑問題一點兩線在銳角∠AOB內有一定點P，試在OA、OB上確定兩點C、D，使△PCD的周長最短．13.4課題學習

最短路徑問題兩點兩線如圖，點M、N在∠AOB的內部，P為射線OA上的一個動點，Q為射線OB上的一個動點，求作點P、Q，使得MP+PQ+QN的長最短．PART7經(jīng)典圖形舉例經(jīng)典圖形舉例由角平分線+平行線得等腰三角形經(jīng)典圖形舉例由角平分線+垂線得等腰三角形經(jīng)典圖形舉例由倍角角平分線得等腰三角形經(jīng)典圖形舉例等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和不變經(jīng)典圖形舉例以一條線段為邊做等腰三角形——兩圓一線經(jīng)典圖形舉例等腰（等邊三角形）的手拉手經(jīng)典圖形舉例等腰（等邊三角形）的手拉手經(jīng)典圖形舉例等腰（等邊三角形）的手拉手經(jīng)典圖形舉例對角互補一組鄰邊相等經(jīng)典圖形舉例常見的等腰三角形輔助線添加方法【作中線構造三線合一】【作垂線構造等腰三角形】【構造等腰（直角）三角形】【作平行線構造等腰三角形】【倍長中線構造等腰三角形】【截長補短構造等腰三角形】【旋轉構造等腰三角形】PART8中考試題舉例中考試題舉例2024年北京中考已知∠MAN=α（0°<α<45°），點B，C分別在射線AN，AM上，將線段BC繞點B順時針旋轉180°-2α得到線段BD，過點D作AN的垂線交射線AM于點E.如圖，當點D在∠MAN內部時，作DF∥AN，交射線AM于點F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關系，并證明.方法1：在AE上截取點G，使BA=BG，連接DG，取EF中點H，連接DH可得等腰三角形HFD和DHG中考試題舉例2024年北京中考已知∠MAN=α（0°<α<45°），點B，C分別在射線AN，AM上，將線段BC繞點B順時針旋轉180°-2α得到線段BD，過點D作AN的垂線交射線AM于點E.如圖，當點D在∠MAN內部時，作DF∥AN，交射線AM于點F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關系，并證明.方法2：取EF中點H，連接BH，將BH繞點B逆時針旋轉（180°-2α），得BG，連接AG、CG、GH可得等腰三角形BGH和AGC中考試題舉例2023年北京中考在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于點M，G是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段GM繞點G順時針旋轉2α得到線段GE.若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足GF=GC，連接AE,EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．方法1：延長GE，交AC于點H，連接FH

由二倍角得等腰三角形，

由GH=GF=GC得直角三角形中考試題舉例2023年北京中考方法2：延長FE至點H，使HE=FE，

連接AH，CH

由中位線得黃色三角形全等，

由等腰三角形三線合一得垂直在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于點M，G是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段GM繞點G順時針旋轉2α得到線段GE.若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足GF=GC，連接AE,EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．中考試題舉例2023年北京中考方法3：延長EG至點H，使HG=EG，

連接CH，MH，EH

由倍長EG得黃色三角形全等，

由2倍角得等腰三角形，

由GM=GE=GH得直角三角形在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于點M，G是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段GM繞點G順時針旋轉2α得到線段GE.若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足GF=GC，連接AE,EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．經(jīng)典試題舉例如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上任意一點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證：AE＝EF.

方法1：連接AC并延長至點G，使CG=CF，連接GE

由△GCE≌△FCE，