24.1 圓的有關性質(zhì)2（知識梳理+典型例題）

24.1圓的有關性質(zhì)（2）?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓24.1圓的有關性質(zhì)（2）?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓按住ctrl并單擊，可訪問相關題型鏈接按住ctrl并單擊，可訪問相關題型鏈接【題型1】弧、弦、圓心角的綜合應用 3【題型2】圓周角、圓周角定理及應用 8【題型3】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 11知識點1：弧、弦、圓心角1．圓心角：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角．2．弧、弦、圓心角之間的關系（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等．3．拓展（1）圓心到弦的距離叫做弦心距．有關弦的問題常常添加圓心到弦的垂線作為輔助線．（2）在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中如果有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．知識點2：圓周角1．圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：同一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，圓心角只有一個．2．圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．推論：（1）同弧或等弧所對的圓周角相等．（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．知識點3：圓內(nèi)接多邊形及性質(zhì)1．概念如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓．注意：（1）所有的三角形都有外接圓，但不是所有的四邊形都有外接圓；（2）四邊形外接圓的圓心到這個四邊形各個頂點的距離相等，都等于外接圓的半徑；（3）如果四邊形各個頂點到某一點的距離相等，那么這個四邊形的四個頂點都在一個圓上（四點共圓）．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形的對角互補．（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．1．圓中證明弧、弦、圓心角相等或倍分關系的方法：在圓中證明弧、弦、圓心角的相等或倍分關系時，應從同類型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分關系入手，轉(zhuǎn)化為另一種元素的相等或倍分關系，從而得到問題的結(jié)論．2．圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．3．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．【題型1】弧、弦、圓心角的綜合應用例1例1（2024?華鎣市模擬）如圖，是的弦，于點，若，，則弦的長為A．4 B． C． D．【答案】【分析】在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂徑定理解答即可．【解答】解：于，，在中，，，，．故選：．?點撥?（1）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（2）在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關部分．【變式1】（2024?汕頭一模）圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為的兩條弧，則弦心距與弦長的比為A． B． C． D．【變式2】（2024?仁懷市模擬）如圖，半徑為5的中，弦，所對的圓心角分別是，，若，，則弦的長等于A．8 B．10 C．11 D．12【變式3】（2024?南山區(qū)二模）如圖，圓的半徑是4，是弦，且是弧的中點，則弦的長為A． B． C．4 D．61．【分析】根據(jù)已知條件得到弦所對的圓心角；求得是等腰直角三角形，過作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：弦將分成了度數(shù)比為兩條?。畡t弦所對的圓心角；是等腰直角三角形，過作于，，弦心距與弦長的比為，故選：．2．【答案】【分析】作直徑，連接，先利用等角的補角相等得到，然后再根據(jù)同圓中，相等的圓心角所對的弦相等得到，再利用勾股定理，繼而求得答案．【解答】解：作直徑，連接，如圖，則，，而，，，，．解法二：如圖，過點作于，于．，，，，，，，，，，，，，，，，．故選：．3．【答案】【分析】連接，，，根據(jù)圓周角定理得，根據(jù)，得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，連接，，，，，是弧的中點，，，，是等邊三角形，．故選：．【題型2】圓周角、圓周角定理及應用例2例2（2024?重慶模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BD，CD是⊙O的弦．若∠D＝30°，AB＝4，則弦AC的長度為（）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理，得到∠ACB＝90°，進而利用勾股定理即可得解．【解答】解：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝30°，∴，∴；故選：D．?點撥?1．在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．2．注意：（1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉(zhuǎn)化．（2）圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”圓心角轉(zhuǎn)化．（3）定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．3．圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．【變式4】（2024?涼州區(qū)二模）如圖，在中，，則的大小是A． B． C． D．【變式5】（2023秋?日喀則市期末）如圖，點、、在上，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【變式6】（2024?貴港二模）如圖，是圓的直徑，是圓的弦，，則等于A． B． C． D．4．【答案】【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：和都對，．故選：．5．【答案】【分析】利用圓周角定理求解即可．【解答】解：，，，故選：．6．【答案】【分析】首先根據(jù)同弧所對的圓周角相等求得角的度數(shù)，然后再求得的度數(shù)即可．【解答】解：是直徑，，，，，故選：．【題型3】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)例3例3（2024?宣恩縣三模）如圖，等腰內(nèi)接于，，點是上的點（不與點，重合），連接并延長至點，連接并延長至點，與交于點．（1）求證：；（2）若的半徑為5，，點是的中點，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由四邊形為圓內(nèi)接四邊形，得到，結(jié)合，得到，，即可求解，（2）作，，由為的垂直平分線，得到，根據(jù)勾股定理，，根據(jù)平行線截線段成比例，得到，依次求出，，，根據(jù)勾股定理，即可求解，【解答】（1）證明：點，，，均在上，四邊形為圓內(nèi)接四邊形．．又，．又，．又，，．（2）解：作于，又，為的垂直平分線，過點作于點，連接，為的垂直平分線，點在上，，，，，，．又，，，，，，故答案為：．?點撥?圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（2）四個內(nèi)角的和是360°；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角．【變式7】（2024?金寨縣模擬）如圖，四邊形內(nèi)接于，平分，交于點．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2，若經(jīng)過圓心，且，，求的長．【變式8】（2023秋?互助縣期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，求的度數(shù)．【變式9】（2024?益陽二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，點是的中點．（1）求的度數(shù)；（2）求證：四邊形是菱形．7．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由角平分線的定義可得，即可得出，結(jié)合圓周角定理推出，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可得證；（2）由圓周角定理結(jié)合角平分線的定義得出，從而得出，推出，由勾股定理得出，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出，作于，求出、的長，即可得解．【解答】（1）證明：平分，，，，，，，；（2）解：為直徑，，平分，，，，在中，，，，在中，，，，作于，，在中，，，，在中，，，，．8．【答案】．【分析】由圓周角定理得到，求出，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出，即可得到．【解答】解：是圓的直徑，